厄米算符的本征值與本征函數(shù).pdf

3 5 厄米算符的本征值與本征函數(shù) 1 厄米算符的平均值厄米算符的平均值 定理定理 I 體系任何狀態(tài) 下 其厄米算符的平均值必為實(shí)數(shù) 證明 逆定理 逆定理 在任何狀態(tài)下 平均值均為實(shí)數(shù)的算符必為厄米算符 證明 推論 推論 設(shè) 為厄米算符 則在任意態(tài) 之下 2 2 AdA dAA 0 2 厄米算符的本征方程厄米算符的本征方程 1 漲落 漲落定義為 2 A 2 AA 證明證明 2 A 2 0 AA 2 力學(xué)量的本征方程 若體系處于一種特殊狀態(tài) 在此狀態(tài)下測量 A 所得結(jié)果是唯一確定的 即 2 0A 則稱這種狀態(tài)為力學(xué)量 A 的本征態(tài) AA 0 或 A 常數(shù) 可把常數(shù)記為An 把狀態(tài)記為 n 于是得 nn AA n 1 其中An n分別稱為算符 的本征值和相應(yīng)的本征態(tài) 式 1 即算符 的本征方程 定理定理 II 厄米算符的本征值必為實(shí) 證明 3 量子力學(xué)中的力學(xué)量用線性厄米算符表示量子力學(xué)中的力學(xué)量用線性厄米算符表示 1 表示力學(xué)量的算符必為線性算符 2 表示力學(xué)量的算符必為厄密算符 例 1 dxxdxx xQ為實(shí)數(shù) 例 2 xx pdxpdx 例 3 證明 2 2 x p HV m x為厄密算符 綜上所述綜上所述 表示力學(xué)量的算符必為線性 厄密算符 線性厄密算符不一定是力學(xué)量算符 1 3 力學(xué)量算符和力學(xué)量之間的關(guān)系 測量力學(xué)量A時(shí)所有可能出現(xiàn)的值 都對應(yīng)于線性厄米算符 的本征值A(chǔ)n 即測量值是本征值之 一 該本征值由力學(xué)量算符 的本征方程 nn AA n 1 2 n L 當(dāng)體系處于 的本征態(tài) n時(shí) 則每次測量所得結(jié)果都是完全確定的 即An 4 厄米算符的本征函數(shù)的正交性厄米算符的本征函數(shù)的正交性 1 正交性的定義 如果兩函數(shù) 1和 2滿足關(guān)系式 則稱 0 2 1 d 1和 2相互正交 2 定理定理 III 厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交 證明證明 mnmmn AdAd mnmn AdAd nmn Ad 3 分立譜 連續(xù)譜正交歸一表示式 分立譜正交歸一條件分別為 1 nnd 歸一化條件 0 mnd mn 正交性 引用 mn稱為克朗內(nèi)克 Kronecker 符號 它具有如下性質(zhì) 0 1 mn mn mn 把 3 與 4 式合寫為 mnmn d 連續(xù)譜正交歸一條件表示為 d 正交歸一系 滿足上式的函數(shù)系 n或 稱為正交歸一 函數(shù) 系 5 簡并情況簡并情況 如果 的本征值A(chǔ)n是fn度簡并的 則屬于本征值A(chǔ)n的本征態(tài)有fn個(gè) n 1 2 fn 滿足本征方程 2 nn AA n 1 2 n f L 一般說來 這些函數(shù)并不一定正交 但是可以證明由這 fn 個(gè)函數(shù)可以線性組合成fn 個(gè)獨(dú)立的新函 數(shù) 它們?nèi)詫儆诒菊髦礎(chǔ)n且滿足正交歸一化條件 算符 本征值A(chǔ)n簡并的本質(zhì)是 當(dāng)An確定后還不能唯一的確定狀態(tài) 要想唯一的確定狀態(tài)還得尋 找另外一個(gè)或幾個(gè)力學(xué)量算符 算符與這些算符兩兩對易 其本征值與An一起共同確定狀態(tài) 綜合上述討論可得如下結(jié)論 既然厄米算符本征函數(shù)總可以取為正交歸一化的 所以以后凡是 提到厄米算符的本征函數(shù)時(shí) 都是正交歸一化的 即組成正交歸一系 6 實(shí)例實(shí)例 1 動(dòng)量本征函數(shù)組成正交歸一系 pprdrr pp vvvvv vv 當(dāng)pp vv 時(shí) 0 rdrr pp vvv vv 即屬于動(dòng)量算符不同本征值的兩個(gè)本征函數(shù)與 p v p v 相互正交 這是所有厄密算符的本征函數(shù)所共 有的 2 線性諧振子能量本征函數(shù)組成正交歸一系 線性諧振子的能量本征函數(shù) 22 2 1 xHeN n x nn 組成正交歸一系 nnnn dx 3 角動(dòng)量本征函數(shù)組成正交歸一系 lz 本征函數(shù) 角動(dòng)量算符的本征函數(shù) z l 1 2 im m e 2 1 0 K m 組成正交歸一系 2 0 mmm d m 7 本征函數(shù) 2 l 3 角動(dòng)量平方算符屬于本征值的本征函數(shù) 2 l 2 1 h ll lm Y im m ll