（江蘇專用）高考數(shù)學一輪復習 第十二章 概率、隨機變量及其概率分布 12.2 古典概型 理.doc

【步步高】（江蘇專用）2017版高考數(shù)學一輪復習 第十二章 概率、隨機變量及其概率分布 12.2 古典概型 理 1基本事件的特點(1)任何兩個基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型(1)所有的基本事件只有有限個；(2)每個基本事件的發(fā)生都是等可能的3如果1試驗的等可能基本事件共有n個，那么每一個等可能基本事件發(fā)生的概率都是，如果某個事件a包含了其中m個等可能基本事件，那么事件a發(fā)生的概率為p(a).4古典概型的概率公式p(a).【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”()(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結果是等可能事件()(3)從市場上出售的標準為5005 g的袋裝食鹽中任取一袋，測其重量，屬于古典概型()(4)(教材改編)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為.()(5)從1,2,3,4,5中任取出兩個不同的數(shù)，其和為5的概率是0.2.()(6)在古典概型中，如果事件a中基本事件構成集合a，且集合a中的元素個數(shù)為n，所有的基本事件構成集合i，且集合i中元素個數(shù)為m，則事件a的概率為.()1從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是_答案解析基本事件的總數(shù)為6，構成“取出的2個數(shù)之差的絕對值為2”這個事件的基本事件的個數(shù)為2，所以所求概率p.2(2014陜西改編)從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為_答案解析取兩個點的所有情況為10種，所有距離不小于正方形邊長的情況有6種，概率為.3(2015課標全國改編)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構成一組勾股數(shù)的概率為_答案解析從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)共有如下10種不同的結果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為.4(教材改編)同時擲兩個骰子，向上點數(shù)不相同的概率為_答案解析擲兩個骰子一次，向上的點數(shù)共6636種可能的結果，其中點數(shù)相同的結果共有6個，所以點數(shù)不同的概率p1.5從1,2,3,4,5,6這6個數(shù)字中，任取2個數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的概率是_答案解析從6個數(shù)字中任取2個數(shù)字的可能情況有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15種，其中和為偶數(shù)的情況有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6種，所以所求的概率是.題型一基本事件與古典概型的判斷例1袋中有大小相同的5個白球，3個黑球和3個紅球，每球有一個區(qū)別于其他球的編號，從中摸出一個球(1)有多少種不同的摸法？如果把每個球的編號看作一個基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？(2)若按球的顏色為劃分基本事件的依據(jù)，有多少個基本事件？以這些基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？解(1)由于共有11個球，且每個球有不同的編號，故共有11種不同的摸法又因為所有球大小相同，因此每個球被摸中的可能性相等，故以球的編號為基本事件的概率模型為古典概型(2)由于11個球共有3種顏色，因此共有3個基本事件，分別記為a：“摸到白球”，b：“摸到黑球”，c：“摸到紅球”，又因為所有球大小相同，所以一次摸球每個球被摸中的可能性均為，而白球有5個，故一次摸球摸到白球的可能性為，同理可知摸到黑球、紅球的可能性均為，顯然這三個基本事件出現(xiàn)的可能性不相等，所以以顏色為劃分基本事件的依據(jù)的概率模型不是古典概型思維升華一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點有限性和等可能性，只有同時具備這兩個特點的概型才是古典概型下列試驗中，是古典概型的個數(shù)為_向上拋一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，觀察正面向上的概率；向正方形abcd內(nèi)，任意拋擲一點p，點p恰與點c重合；從1,2,3,4四個數(shù)中，任取兩個數(shù)，求所取兩數(shù)之一是2的概率；在線段0,5上任取一點，求此點小于2的概率答案1解析中，硬幣質(zhì)地不均勻，不是等可能事件，所以不是古典概型的基本事件都不是有限個，不是古典概型符合古典概型的特點，是古典概型問題題型二古典概型的求法例2(1)(2015廣東)袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為_答案解析從袋中任取2個球共有c105種取法，其中恰好1個白球1個紅球共有cc50種取法，所以所取的球恰好1個白球1個紅球的概率為.(2)(2015江蘇)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_答案解析基本事件共有c6種，設取出兩只球顏色不同為事件a.a包含的基本事件有cccc5種故p(a).(3)(2014四川)一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足abc”的概率；求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率解由題意知，(a，b，c)所有的可能為(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種設“抽取的卡片上的數(shù)字滿足abc”為事件a，則事件a包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種所以p(a).因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足abc”的概率為.設“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件b，則事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3種所以p(b)1p()1.因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為.引申探究1本例(2)中，將4個球改為顏色相同，標號分別為1,2,3,4的四個小球，從中一次取兩球，求標號和為奇數(shù)的概率解基本事件數(shù)仍為6.設標號和為奇數(shù)為事件a，則a包含的基本事件為(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4種，所以p(a).2本例(2)中，條件不變改為有放回地取球，取兩次，求兩次取得球的顏色相同的概率解基本事件數(shù)為cc16種，顏色相同的事件數(shù)：cccc6種，所求概率為.思維升華求古典概型的概率的關鍵是求試驗的基本事件的總數(shù)和事件a包含的基本事件的個數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法，具體應用時可根據(jù)需要靈活選擇將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，求：(1)兩數(shù)中至少有一個奇數(shù)的概率；(2)以第一次向上的點數(shù)為橫坐標x，第二次向上的點數(shù)為縱坐標y的點(x，y)在圓x2y215的外部或圓上的概率解由題意，先后拋擲2次，向上的點數(shù)(x，y)共有n6636種等可能結果，為古典概型(1)記“兩數(shù)中至少有一個奇數(shù)”為事件b，則事件b與“兩數(shù)均為偶數(shù)”為對立事件，記為.事件包含的基本事件數(shù)m339.p()，則p(b)1p()，因此，兩數(shù)中至少有一個奇數(shù)的概率為.(2)點(x，y)在圓x2y215的內(nèi)部記為事件c，則表示“點(x，y)在圓x2y215上或圓的外部”又事件c包含基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8種p(c)，從而p()1p(c)1.點(x，y)在圓x2y215的外部或圓上的概率為.題型三古典概型與統(tǒng)計的綜合應用例3從某地高中男生中隨機抽取100名同學，將他們的體重(單位：kg)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)由圖中數(shù)據(jù)可知體重的平均值為_ kg；若要從體重在60,70)，70,80)，80,90三組內(nèi)的男生中，用分層抽樣的方法選取12人參加一項活動，再從這12人中選兩人當正副隊長，則這兩人體重不在同一組內(nèi)的概率為_答案64.5解析由頻率分布直方圖可知，體重在40,50)內(nèi)的男生人數(shù)為0.005101005，同理，體重在50,60)，60,70)，70,80)，80,90內(nèi)的人數(shù)分別為35,30,20,10，所以體重的平均值為 64.5.利用分層抽樣的方法選取12人，則從體重在60,70)，70,80)，80,90三組內(nèi)選取的人數(shù)分別為126,124,122，則兩人體重不在同一組內(nèi)的概率為.思維升華有關古典概型與統(tǒng)計結合的題型是高考考查概率的一個重要題型，已成為高考考查的熱點概率與統(tǒng)計結合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決(2014山東)海關對同時從a，b，c三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區(qū)進口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測.地區(qū)abc數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來自a，b，c各地區(qū)商品的數(shù)量；(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構進行進一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率解(1)因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是，所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是501,1503,1002.所以a，b，c三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是1,3,2.(2)設6件來自a，b，c三個地區(qū)的樣品分別為：a；b1，b2，b3；c1，c2.則從6件樣品中抽取的這2件商品構成的所有基本事件為：a，b1，a，b2，a，b3，a，c1，a，c2，b1，b2，b1，b3，b1，c1，b1，c2，b2，b3，b2，c1，b2，c2，b3，c1，b3，c2，c1，c2，共15個每個樣品被抽到的機會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的記事件d：“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事件d包含的基本事件有：b1，b2，b1，b3，b2，b3，c1，c2，共4個所以p(d)，即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為.六審細節(jié)更完善典例(14分)一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求nm2的概率(1)基本事件為取兩個球(兩球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)把取兩個球的所有結果列舉出來1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4兩球編號之和不大于4(注意：和不大于4，應為小于4或等于4)1,2，1,3利用古典概型概率公式求解p(2)兩球分兩次取，且有放回(兩球的編號記錄是有次序的，用坐標的形式表示)基本事件的總數(shù)可用列舉法表示(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)(注意細節(jié)，m是第一個球的編號，n是第2個球的編號)nm2的情況較多，計算復雜(將復雜問題轉化為簡單問題)計算nm2的概率nm2的所有情況為(1,3)，(1,4)，(2,4)p1(注意細節(jié)，p1是nm2的概率，需轉化為其對立事件的概率)nm2的概率為1p1.規(guī)范解答解(1)從袋中隨機取兩個球，其一切可能的結果組成的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6個從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件共有1,2，1,3,2個因此所求事件的概率p.6分(2)先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為n，其一切可能的結果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個8分又滿足條件nm2的事件為(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個，所以滿足條件nm2的事件的概率為p1.12分故滿足條件nm2的事件的概率為1p11.14分溫馨提醒(1)本題在審題時，要特別注意細節(jié)，使解題過程更加完善如第(1)問，注意兩球一起取，實質(zhì)上是不分先后，再如兩球編號之和不大于4，即兩球編號之和小于或等于4等；第(2)問，有先后順序(2)在列舉基本事件空間時，可以利用列舉、畫樹狀圖等方法，以防遺漏同時要注意細節(jié)，如用列舉法，第(1)問寫成1,2的形式，表示無序，第(2)問寫成(1,2)的形式，表示有序(3)本題解答時，存在格式不規(guī)范，思維不流暢的嚴重問題如在解答時，缺少必要的文字說明，沒有按要求列出基本事件在第(2)問中，由于不能將求事件n90的概率是_答案解析(m，n)(1,1)mnn.基本事件總共有6636(個)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,4)，(6,1)，(6,5)，共1234515(個)p.5如圖，三行三列的方陣中有九個數(shù)aij(i1,2,3；j1,2,3)，從中任取三個數(shù)，則至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率是_答案解析從九個數(shù)中任取三個數(shù)的不同取法共有c84種，因為取出的三個數(shù)分別位于不同的行與列的取法共有ccc6種，所以至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率為1.6有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學書2本，物理書1本，若將其隨機地抽取并排擺放在書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率是_答案解析語文、數(shù)學只有一科的兩本書相鄰，有2aaa48種擺放方法；語文、數(shù)學兩科的兩本書都相鄰，有aaa24種擺放方法；而五本不同的書排成一排總共有a120種擺放方法故所求概率為1.7用兩種不同的顏色給圖中三個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，則相鄰兩個矩形涂不同顏色的概率是_答案解析由于只有兩種顏色，不妨將其設為1和2，若只用一種顏色有111；222.若用兩種顏色有122；212；221；211；121；112.所以基本事件共有8種又相鄰顏色各不相同的有2種，故所求概率為.8連續(xù)2次拋擲一枚骰子(六個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6)，記“兩次向上的數(shù)字之和等于m”為事件a，則p(a)最大時，m_.答案7解析112,123,134,145,156,167,213,224,235,246,257,268依次列出m的可能的值，知7出現(xiàn)次數(shù)最多9設連續(xù)擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，令平面向量a(m，n)，b(1，3)(1)求使得事件“ab”發(fā)生的概率；(2)求使得事件“|a|b|”發(fā)生的概率解(1)由題意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6，故(m，n)所有可能的取法共36種ab，即m3n0，即m3n，共有2種：(3,1)，(6,2)，所以事件ab的概率為.(2)|a|b|，即m2n210，共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6種，其概率為.10某地區(qū)有小學21所，中學14所，大學7所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學校中抽取6所學校對學生進行視力調(diào)查(1)求應從小學、中學、大學中分別抽取的學校數(shù)目；(2)若從抽取的6所學校中隨機抽取2所學校做進一步數(shù)據(jù)分析，求抽到小學、中學各一所的概率解(1)由分層抽樣定義知，從小學中抽取的學校數(shù)目為63；從中學中抽取的學校數(shù)目為62；從大學中抽取的學校數(shù)目為61.故從小學、中學、大學中分別抽取的學校數(shù)目為3,2,1.(2)記“抽到小學、中學各一所”為事件a，則事件a共有基本事件mcc6(種)抽法，又從6所學校任抽取2所有nc15(種)抽法因此，所求事件的概率p.b組專項能力提升(時間：25分鐘)11從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率等于_答案解析如圖所示，從正六邊形abcdef的6個頂點中隨機選4個頂點，可以看作隨機選2個頂點，剩下的4個頂點構成四邊形，有a、b，a、c，a、d，a、e，a、f，b、c，b、d，b、e，b、f，c、d，c、e，c、f，d、e，d、f，e、f，共15種若要構成矩形，只要選相對頂點即可，有a、d，b、e，c、f，共3種，故其概率為.12在二項式()n的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，把展開式中所有的項重新排成一列，有理項都互不相鄰的概率為_答案解析注意到二項式()n的展開式的通項是tr1c()nr()r依題意有cc222c21n，即n29n80，(n1)(n8)0(n2)，因此n8，因為二項式()8的展開式的通項是，其展開式中的有理項共有3項，所以所求的概率等于.13一個袋子中裝有六個大小形狀完全相同的小球，其中一個編號為1，兩個編號為2，三個編號為3.現(xiàn)從中任取一球，記下編號后放回，再任取一球，則兩次取出的球的編號之和等于4的概率是_答案解析基本事件數(shù)為6636，編號之和為4的有：10種，所求概率為.14甲、乙兩人用4張撲克牌(分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4