數(shù)學思想方法論文.doc

淺談數(shù)學思想方法在中學教學中的應(yīng)用摘要：數(shù)學思想方法作為數(shù)學知識體系的靈魂，其在人的能力培養(yǎng)和素質(zhì)提高方面具有重要作用.本文通過對數(shù)學思想方法在中學教學中滲透途徑的探討與研究，以此促使數(shù)學教師認識其在教學中的重要性，從而促進師生對數(shù)學的學習.關(guān)鍵詞：數(shù)學思想方法；中學數(shù)學；應(yīng)用The Infiltration of Mathematical Thought and Method Teaching in Middle SchoolAbstract: Math thinking method act as the spirit of the mathematical knowledge. It plays an important role in the training of the students ability and the improvements of their quality. This article would use the primary discussion and research on the related problems of the math thinking method, deepen our math teachers realization on the importance of the mathematical thought and method in teaching activity, in order to make development on teachers and students about mathematics learning.Keyword: Math thinking method; secondary school teaching; infiltrate引言科學知識、科學思想和科學方法是人類知識寶庫的三個基本內(nèi)涵.進入新世紀以來,我國的教育面貌發(fā)生了翻天覆地的深刻變化,正逐步從應(yīng)試教育的桎梏中解放出來進而邁向全面推進素質(zhì)教育的軌道.面對21世紀的機遇和挑戰(zhàn),提高全民族的文化素質(zhì)是擺在我們面前的緊迫任務(wù).數(shù)學思想作為科學思想、科學方法的一個重要部分,隨著素質(zhì)教育的實施,其重要性已日益凸顯出來.關(guān)于數(shù)學思想方法,北京師范大學錢佩玲教授是這樣說的：“數(shù)學思想方法是以數(shù)學內(nèi)容為載體,基于數(shù)學知識,又高于數(shù)學知識的一種隱性知識.”數(shù)學思想方法是在數(shù)學科學的發(fā)展中形成的,它伴隨著數(shù)學知識體系的建立而確立,是數(shù)學知識體系的靈魂所在,是數(shù)學中具有奠基性、總括性的基礎(chǔ)部分.數(shù)學思想方法教學作為數(shù)學教育的重要內(nèi)容,已日益引起人們的注意,這恐怕與教育愈來愈重視人的能力培養(yǎng)與素質(zhì)提高有密切關(guān)系.日本數(shù)學家和數(shù)學教育家米山國藏在從事多年的數(shù)學教育研究之后,說過這樣的一段話：“學生們在初中或高中所學到的數(shù)學知識,在進入社會后,幾乎沒有什么機會應(yīng)用,因而這種作為知識的教學,通常在走出校門后一兩年就忘掉了.然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作,那種銘刻于頭腦中的數(shù)學精神和數(shù)學思想方法,卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用.”倘若我們留意各行各業(yè)的某些專家或一般工作者,當感到他們思維敏銳、邏輯嚴謹說理透徹的時候,往往可以追溯到他們在中小學所受的數(shù)學教育,尤其是數(shù)學思想方法的熏陶.理論研究和人才成長的軌跡都表明,數(shù)學思想方法在人的能力培養(yǎng)和素質(zhì)提高方面具有重要作用.基礎(chǔ)教育的核心是發(fā)展使每一個受教育者在各方面都得到發(fā)展,不是挑選選拔出少數(shù)人去進行更高一級的學習.可是我們現(xiàn)在所面臨的問題是,數(shù)學思想方法在教學中滲透的重要性尚未完全被廣大數(shù)學教師所認識.這表現(xiàn)在數(shù)學教學中只注重數(shù)學知識的傳授,忽視知識發(fā)生過程中數(shù)學思想方法教學的“填鴨式”教學現(xiàn)象依然普遍存在,特別是在素質(zhì)教育發(fā)展比較薄弱的中西部地區(qū),這樣的情況更是屢見不鮮.誠然,按傳統(tǒng)的教學方法進行數(shù)學教學,也有一些學生掌握了數(shù)學思想方法,并且在日后的工作中有所建樹.但是我們要看到,這些學生是靠自己的艱苦努力,經(jīng)歷了一個漫長的探索過程才能達到這樣的境界,而且只能是極少數(shù)的一部分人.我么今天所提倡的加強數(shù)學思想方法教學滲透,其意義在于:促使數(shù)學思想方法由盲目的、不自覺的應(yīng)用向有意識的、自覺的應(yīng)用轉(zhuǎn)化,大大縮短學生在黑暗中摸索的過程.由只有少數(shù)人掌握數(shù)學思想方法變?yōu)槎鄶?shù)人都掌握,從而使數(shù)學教育更好地為提高國民素質(zhì)服務(wù).數(shù)學思想方法在教學活動中作為形成學生良好認知結(jié)構(gòu)的紐帶,是由知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁,同時作為基礎(chǔ)知識在大綱中明確、肯定地提了出來.因此,數(shù)學的學習既是知識的學習,又是思想、方法的學習.雖然素質(zhì)教育在我國提出已有多年,素質(zhì)教育的實施也取得了一些顯著的成果,但是距離我們的最終目標創(chuàng)新型人才的培養(yǎng)仍有一段很長的路要走.基于以上原因,本文通過對數(shù)學思想方法在教學中滲透的相關(guān)內(nèi)容的論述,希望能給在一線工作的數(shù)學教師特別是即將或剛剛走上工作崗位的數(shù)學教師,在教學活動中貢獻一點建設(shè)性的建議,以更好地發(fā)展自身,從而使數(shù)學教育更好地服務(wù)大眾.一、初中數(shù)學教學應(yīng)滲透的思想方法1分類討論思想。分類討論是根據(jù)教學對象的本質(zhì)屬性將其劃分為不同種類，即根據(jù)教學對象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類。分類是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要手段。在教學中，如果對學過的知識恰當?shù)剡M行分類，就可以使大量紛繁的知識具有條理性。2數(shù)形結(jié)合思想。初一教材引入數(shù)軸，就為數(shù)形結(jié)合的思想奠定了基礎(chǔ)。有理數(shù)的大小比較、相反數(shù)的幾何意義、絕對值的幾何意義、列方程解應(yīng)用題中的畫圖分析等，充分顯示出數(shù)與形結(jié)合起來產(chǎn)生的威力，這種抽象與形象的結(jié)合，能使學生的思維得到鍛煉。3整體思想。整體思想在初中教材中體現(xiàn)突出，如在實數(shù)運算中,常把數(shù)字與前面的“，”符號看成一個整體進行處理；又如用字母表示數(shù)就充分體現(xiàn)了整體思想,即一個字母不僅代表一個數(shù),而且能代表一系列的數(shù)或由許多字母構(gòu)成的式子等；再如整式運算中往往可以把某一個式子看作一個整體來處理，如：（a+b+c）2= （a+b）+c2視（a+b）為一個整體展開等等，這些對培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì),提高解題效率是一個極好的機會。4化歸思想?；瘹w思想是數(shù)學思想方法體系主梁之一。在實數(shù)的運算、解方程（組）、多邊形的內(nèi)角和、幾何證明等等的教學中都有讓學生對化歸思想方法的認識,學生有意無意接受到了化歸思想。如已知（x+y）2=，xy=1求x2+y2的值,顯然直接代入無法求解,若先把所求的式子化歸到有已知形式的式子（x+y）2-2xy，則易得: 原式=9；又如“多邊形的內(nèi)角和”問題通過分解多邊形為三角形來解決,這都是化歸思想在實際問題中的具體體現(xiàn)。再如解方程（組）通過“消元”、“降次”最后求出方程（組）的解等也體現(xiàn)了化歸思想。5變換思想。變換思想是由一種形式轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N形式的思想。具有優(yōu)秀思維品質(zhì)的一個重要特征,就是善于變換，從正反、互逆等進行變換考慮問題,但很多學生又恰恰常忽略從這方面考慮問題，因此變換思想是學生學好數(shù)學的一個重要武器。6方程思想。方程思想的實質(zhì)就是數(shù)學建模,解應(yīng)用題是方程思想應(yīng)用的最突出體現(xiàn)。如甲乙兩人同時從a地出發(fā)，步行15千米到b地，乙比甲每小時少走1千米，結(jié)果比甲遲到半小時，求甲、乙兩人的速度。這道題若通過構(gòu)建方程求解，也不難求出答案。解：x1=6，x2=5經(jīng)檢驗x=6，x2=5都是原方程的根，但x2=5不合題意，舍去；由x=6得x1=5；于是甲每小時走6千米，乙每小時走5千米。7比較思想。所謂比較，就是指在思維中對兩種或兩種以上的同類研究對象的異同進行辨別。比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，隨著學習的不斷深入，學生要掌握越來越多的知識，這就要求學生要善于比較知識之間的區(qū)別和聯(lián)系。例如，在因式分解的教學中，通過復習整式乘法，讓學生比較這兩種運算的異同，明確因式分解與整式乘法是恒等變形，又是互逆運算。如（a+b）（a-b）=a2b2是整式乘法，a2b2=（a+b）（a-b）是因式分解。又如，軸對稱圖形、旋轉(zhuǎn)對稱圖形、中心對稱圖形是意義不盡相同的概念，通過類比可以發(fā)現(xiàn)它們之間的異同，從而加深對這幾個概念的本質(zhì)屬性的認識。8統(tǒng)計思想?，F(xiàn)代認知科學理論認為：知識是無法傳授的，傳遞的只是信息。學生是數(shù)學學習活動中的認知主體，是建構(gòu)活動中的行為主體，而其他則是客體或載體。學生作為主體的作用，體現(xiàn)在認知活動的中參與功能。在滲透數(shù)學思想方法的教學中，我們提出：引導、參與是關(guān)鍵。實踐證明，數(shù)學思想方法的掌握，需要學生在數(shù)學活動中長期地實踐、積累，不斷地體驗才能逐步做到。二、初中數(shù)學教學應(yīng)如何加強數(shù)學思想方法的滲透1.提高滲透的自覺性。作為教師首先要更新觀念，從思想上不斷提高對滲透數(shù)學思想方法重要性的認識，把數(shù)學思想方法教學的要求融入備課環(huán)節(jié)。其次要深入鉆研教材，努力挖掘教材中可以進行數(shù)學思想方法滲透的各種因素，對于每一章每一節(jié)，都要考慮如何結(jié)合具體內(nèi)容進行數(shù)學思想方法滲透，應(yīng)有一個總體設(shè)計，提出不同階段的具體教學要求。2.把握滲透的可行性。數(shù)學思想方法的教學必須通過具體的教學過程加以實現(xiàn)。因此，必須把握好教學過程中進行數(shù)學思想方法教學的契機概念形成的過程，結(jié)論推導的過程，方法思考的過程，思路探索的過程，規(guī)律揭示的過程等。同時，進行數(shù)學思想方法的教學要注意有機結(jié)合、自然滲透，要有意識地潛移默化地啟發(fā)學生領(lǐng)悟蘊含于數(shù)學知識之中的種種數(shù)學思想方法，切忌生搬硬套、和盤托出、脫離實際等適得其反的做法。3.注重滲透的漸進性和反復性。在教學中，首先要特別強調(diào)解決問題以后的“反思”。因為在這個過程中提煉出來的數(shù)學思想方法，對學生來說才是易于體會、易于接受的，其次要注意滲透的長期性。數(shù)學思想方法必須經(jīng)過循序漸進和反復訓練，才能使學生真正地有所領(lǐng)悟。總之，在數(shù)學教學中，只要切切實實把握好上述幾個典型的數(shù)學思想，同時注意滲透的過程，依據(jù)課本內(nèi)容和學生的認知水平，從初一開始就有計劃的滲透，就一定能提高學生的學習效率和數(shù)學能力。三、數(shù)學思想方法在初中數(shù)學教學中的重要性在初中數(shù)學課程標準的總體目標中，明確地提出了：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學學習，學生應(yīng)能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學知識以及基本的數(shù)學思想方法和必要的應(yīng)用技能”。新課程把基本的數(shù)學思想方法作為基礎(chǔ)知識的重要組成部分，在數(shù)學課程標準中明確地提出來，這不僅是課程標準體現(xiàn)義務(wù)教育性質(zhì)的重要表現(xiàn)，也是對學生實施創(chuàng)新教育、培養(yǎng)創(chuàng)新思維的重要保證。什么是數(shù)學思想方法？數(shù)學思想是對數(shù)學知識和方法本質(zhì)的認識，是解決數(shù)學問題的根本策略，它直接支配著數(shù)學的實踐活動；數(shù)學方法是解決問題的手段和工具，是解決數(shù)學問題時的程序、途徑，它是實施數(shù)學思想的技術(shù)手段。數(shù)學思想帶有理論性特征，而數(shù)學方法具有實踐性的特點，數(shù)學問題的解決離不開以數(shù)學思想為指導，以數(shù)學方法為手段。數(shù)學思想方法是從數(shù)學內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學學科的精髓，是數(shù)學素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一，數(shù)學思想方法揭示了概念、原理、規(guī)律的本質(zhì)，是溝通基礎(chǔ)與能力的橋梁。 在初中數(shù)學教學中，滲透數(shù)學思想方法，可以克服就題論題，死套模式，數(shù)學思想方法可以幫助我們加強思路分析，尋求已知和未知的聯(lián)系，提高分析解決問題的能力，從而使思維品質(zhì)和能力有所提高。提高學生的數(shù)學素質(zhì)、必須緊緊抓住數(shù)學思想方法這一重要環(huán)節(jié)，因為數(shù)學思想方法是提高學生的數(shù)學思維能力和數(shù)學素養(yǎng)的重要保障。在初中數(shù)學教材中集中了大量的優(yōu)秀例題和習題，它們所體現(xiàn)的數(shù)學知識和數(shù)學方法固然重要，但其蘊涵的數(shù)學思想?yún)s更顯重要，作為初中數(shù)學教師，要善于挖掘例題、習題的潛在功能。在初中數(shù)學教學中，教師應(yīng)向?qū)W生提供充分從事數(shù)學活動的機會，幫助學生在自主探索和合作交流的過程中，真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗。學生是數(shù)學學習的主人，教師是數(shù)學學習的組織者、引導者與合作者。學生只有領(lǐng)會了數(shù)學思想方法，才能有效地應(yīng)用知識，形成能力，從而為解決數(shù)學問題、進行數(shù)學思維起到很好的促進作用。因此，在初中數(shù)學教學中，教師必須重視對學生進行數(shù)學思想方法的滲透與培養(yǎng)。四、幾種常見的數(shù)學思想方法在初中數(shù)學教學中的應(yīng)用（一）滲透轉(zhuǎn)化思想，提高學生分析解決問題的能力所謂“轉(zhuǎn)化思想”是指把待解決或未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到已經(jīng)解決或比較容易解決的問題中去，最終使問題得到解決的一種思想方法。轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學中常見的一種數(shù)學思想，它的應(yīng)用十分廣泛，我們在數(shù)學學習過程中，常常把復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。數(shù)學問題的解決過程就是一系列轉(zhuǎn)化的過程，轉(zhuǎn)化是化繁為簡，化難為易，化未知為已知的有力手段，是解決問題的一種最基本的思想，對提高學生分析解決問題的能力有積極的促進作用。我們對轉(zhuǎn)化思想并不陌生，中學數(shù)學中常用的化高次為低次、化多元為一元，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。在具體內(nèi)容上，有加減法的轉(zhuǎn)化、乘除法的轉(zhuǎn)化、乘方與開方的轉(zhuǎn)化、數(shù)形轉(zhuǎn)化等等。例如：初中數(shù)學“有理數(shù)的減法”和“有理數(shù)的除法”這兩節(jié)教學內(nèi)容中，教材是通過“議一議”的形式，使學生在自主探究和合作交流的過程中，經(jīng)歷把有理數(shù)的減法轉(zhuǎn)化為加法、把有理數(shù)的除法轉(zhuǎn)化為乘法的過程，“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”，“除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)”，這個地方雖然很簡單，但卻充分體現(xiàn)了把“沒有學過的知識”轉(zhuǎn)化為“已經(jīng)學過的知識”來加以解決，學生一旦掌握了這種解決問題的策略，今后無論遇到多么難、多么復雜的問題，都會自然而然地想到把“不會的”轉(zhuǎn)化為“會的”、“已經(jīng)掌握的”知識來加以解決，這符合學生原有認知規(guī)律，作為教師，我們不能因為簡單而忽視它的教學，實踐告訴我們，往往是越簡單、越淺顯的例子，越能引起學生的認同，所以我們不能錯過這一絕佳的提高學生的思維品質(zhì)的機會。再如北京市義務(wù)教育課程改革實驗教材數(shù)學第13冊第4章中對圖形的認識，它實際上是“空間與圖形”的最基本部分。教材在編排設(shè)計上是圍繞認識基本幾何體、發(fā)展學生空間觀念展開的，在過程上是讓學生經(jīng)歷圖形的變化、展開與折疊等數(shù)學活動過程的，在活動中引導學生認識常見的幾何體以及點、線、面和一些簡單的平面圖形，通過對某些幾何體的主視圖、俯視圖、左視圖的認識，在平面圖形與立體圖形的轉(zhuǎn)化中發(fā)展學生的空間觀念。在授課過程中要特別注意圖形的轉(zhuǎn)化思想的滲透，在實際操作中，因為大部分學生在小學時就積累一定的感性處理方法，我們要注意的就是在學生原有知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，將其上升為理論高度，引導學生歸納概括得出一般性的結(jié)論：在初中階段，絕大部分立體圖形的問題都可以轉(zhuǎn)化為平面圖形的問題，從而使學生真正體會到立體與平面的相互轉(zhuǎn)化思想。又如在解方程組時，通過消元這個手段，把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程去解；在解多邊形問題時，又是通過添加輔助線這個手段，把多邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題加以解決等等。數(shù)學中的有理數(shù)和無理數(shù)、整式和分式、已知和未知、特殊和一般、常量和變量、整體和局部等處處都蘊涵著轉(zhuǎn)化這一辯證思想。因此，在初中數(shù)學教學中，應(yīng)有意識地滲透轉(zhuǎn)化思想。如在學習分式方程時，不能只簡單介紹分式方程的概念和解法，教學時，應(yīng)讓學生充分經(jīng)歷整式方程與分式方程的觀察、比較、分析、探索過程，啟發(fā)學生說出分式方程的解題基本思想，學生在經(jīng)歷了充分的探索后，自然認識到：通過把分式方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，就可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，學生感悟到分式方程與整式方程概念和解法的實質(zhì)后，會收到一種居高臨下，深入淺出的教學效果。因此，在初中數(shù)學教學中，要注重滲透轉(zhuǎn)化思想，可以說轉(zhuǎn)化思想是科學世界觀在數(shù)學中的體現(xiàn)，是最重要的數(shù)學思想之一，不僅可以培養(yǎng)學生的科學意識，而且可以提高學生的觀察能力、探索能力和分析解決問題的能力。（二）滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高學生的數(shù)形轉(zhuǎn)化能力和遷移思維的能力恩格斯曾說過：“純數(shù)學的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系”。而“數(shù)”和“形”是數(shù)學中兩個最基本的概念?！皵?shù)”是數(shù)量關(guān)系的體現(xiàn)，而“形”則是空間形式的體現(xiàn)。它們兩者既有對立的一面，又有統(tǒng)一的一面。我們在研究數(shù)量關(guān)系時，有時要借助于圖形直觀地去研究，而在研究圖形時，又常常借助于線段或角的數(shù)量關(guān)系去探求。數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)與圖形結(jié)合起來解決問題的一種思維方式。數(shù)和式是問題的抽象和概括、圖形和圖像是問題的具體和直觀的反映。因此，數(shù)和形是研究數(shù)學的兩個側(cè)面，利用數(shù)形結(jié)合，常常可以使所要研究的問題化難為易，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化。正如著名數(shù)學家華羅庚所說的那樣：“數(shù)無形，少直觀，形無數(shù)，難入微”，這句話闡明了數(shù)形結(jié)合思想的重要意義。在初中代數(shù)列方程解應(yīng)用題教學中，很多例題都采用了圖示法進行分析，在教學過程中要充分利用圖形的直觀性和具體性，引導學生從圖形上發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，找出解決問題的突破口，學生掌握了數(shù)形結(jié)合這一思想要比掌握一個公式或一種具體方法更有價值，對解決問題更具有指導意義。又如，計算：1+3=？1+3+5=？1+3+5+7=？1+3+5+7+9=？并根據(jù)計算結(jié)果，探索規(guī)律。在這道題的教學中，首先應(yīng)讓學生思考：從上面這些算式中你能發(fā)現(xiàn)什么？讓學生經(jīng)歷觀察（每個算式和結(jié)果的特點）、比較（不同算式之間的異同），歸納（可能具有的規(guī)律）、提出猜想的過程。在探索過程中鼓勵學生進行相互合作交流，提供如下的幫助：列出一個點陣，用圖形的直觀來幫助學生進行猜想。這就是典型的把數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化到圖形中來完成的題型，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。再如在講“圓與圓的位置關(guān)系”時，可自制圓形紙板，進行運動實驗，讓學生首先從形的角度認識圓與圓的位置關(guān)系，然后可激發(fā)學生積極主動探索：兩圓的位置關(guān)系反映到數(shù)上有何特征？這種借助于形通過數(shù)的運算推理研究問題的數(shù)形結(jié)合思想，在教學中要不失時機地滲透，這樣不僅可以提高學生的遷移思維能力，還可以培養(yǎng)學生的數(shù)形轉(zhuǎn)換能力和多角度思考問題的習慣。此外，數(shù)學教學中，我們正是借助數(shù)形結(jié)合的載體數(shù)軸，學習研究了數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系，相反數(shù)、絕對值的定義，有理數(shù)大小比較的法則等，利用數(shù)形結(jié)合思想大大減少了引進這些概念的難度。數(shù)形結(jié)合思想的滲透不能簡單的通過解題來實現(xiàn)和灌輸，應(yīng)該落實在課堂教學的學習探索過程中，我在講“相反數(shù)”這節(jié)課時，首先提出問題：“在上體育課時，體育李老師請小明和小強分別站在李老師的左右兩邊（三人在同一條直線上），并與李老師相距1米。你能說出小明、小強與李老師的位置關(guān)系有什么相同點和不同點嗎？如果李老師所站的位置是數(shù)軸的原點，你能把小明、小強所站的位置用數(shù)軸上的點A、B表示出來嗎？它們在數(shù)軸上的位置有什么關(guān)系？”讓學生動手實踐，在數(shù)軸上分別確定表示這些數(shù)的點。