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基于序列響應面法的可靠性研究 作者：吳至彩【摘要】:提出了結構可靠度分析的序列響應面法和相應的收斂控制準則,并應用于非線性極限狀 態(tài)函數(shù)的可靠度計算.該方法用簡單的二次函數(shù)逐步逼近原來的復雜函數(shù),并由該二次函數(shù)計算可靠指標的近似值.這一方法簡化了迭代計算過程,減少了迭代次數(shù),有效地提高了計算精度和計算 效率,對于大型復雜結構的可靠度分析較為適宜,并可推廣應用于動力問題等的可靠度分析. 關鍵詞:極限狀態(tài)函數(shù);序列響應面法;可靠度分析 前言：在結構可靠度分析中,一次二階矩法應用最廣，常用的一次二階矩法有均值點法、驗算點法、映射變換法。使用分析法等等,并被國內外工程結構可靠度設計規(guī)范 普遍采用,該方法的特點就是只需考慮機械結構狀態(tài)函數(shù)泰勒級數(shù)的線性項及基本隨機變量的一階矩和二階矩。但這一方法的缺點是當變量離散性大或極限狀態(tài)方程高度非線性時,可靠度計算將產生較大的誤 差;二次可靠度分析法又稱為SORM法，雖能有效地提高計算精度,但其計算機時卻大大增加,用于大型復雜結構的可靠度計 算尚有困難。蒙特卡羅法求解概率問題最直觀、最精確，對高度非線性問題也最有效，但簡單蒙特卡羅法仿真效率太低，而機械產品的可靠性要求很高，所以難以在機械可靠性仿真分析中應用。結構可靠度計算的響應面法由Wong 于1984 年首先提出,1985年應用于土坡穩(wěn)定的可靠度計算.這一 方法是用一簡單的顯式函數(shù)逐步逼近復雜的隱式(或顯式)函數(shù),并計算其對應的可靠度,其優(yōu)點是可以直接 應用確定性結構分析程序,而不必對中間計算過程進行修改.用二次響應面函數(shù)逼近非線性極限狀態(tài)函數(shù)計 算結構可靠度,與Taylor 一次展開法相比,計算精度明顯提高.而計算機時則減少約 1/3.所以,結構可靠度計 算的響應面法尤其適用于大型復雜結構的可靠度分析,有重要的理論研究意義和推廣應用價值。一、結構可靠度分析的序列響應面法方法概述早期的一種 方法是隨機 地生 成一組被稱 之為 “ 擬 合點 ” 的 矢量 x1 , x2 , x3 ,、 , xn 。對每個矢量 x1 計算 g x(x1) , 再用 回歸 方法確定響應面G x( x ) 中參數(shù)。現(xiàn)在序列響應面法是在驗算點法附近擬合響應面內，用插值技術確定近似狀態(tài)函數(shù)，利用一次二階矩方法求出可靠度指標，再得到新的驗算點重新迭代，逐步逼近精確解。由于驗算點會出現(xiàn)概率分布的末端，而序列響應面法又是在驗算點處擬合響應面，故它有效地改善了試驗設計思想構造響應面的缺陷，更接近精確解。由于二次多項式表示的響應面函數(shù)在驗算點附近擬合狀態(tài)函數(shù)比較精確，且將形式簡化也不會影響分析結果，所以，響應面函數(shù)選為：同時，利用插值的方法來確定響應面法函數(shù)的系數(shù)可以減少仿真分析的工作量，但不會降低精度，因此解此線性方程組獲得系數(shù)，即獲得了近似的狀態(tài)方程函數(shù)。得到近似的狀態(tài)函數(shù)后，再應用一次二階矩方法即可求得可靠度。2、 序列響應面法分析流程1、將極限狀態(tài)方程轉化到標準正態(tài)空間：Z = g(u);2、取設計驗算點初值，一般在原始空間中取隨機變量均值，標準正態(tài)空間中對應點 U* = 0;3、形成標準空間擬合點，取=0.10.5形成標準空間中2n+1個擬合點；4、換算成原始空間中擬合點：若已轉化為正態(tài)分布，則原始空間擬合點為： 5、 據下式確定擬合二次式系數(shù) 將標準正態(tài)擬合空間及原始空間的（2n+1）個擬合點數(shù)據代入上式，求得（2n+1）個聯(lián)立方程，用以求解。于是，求得標準正態(tài)空間擬合二次曲面方程。 6、用一次二階矩法，對上式進行計算得到； 7、據及新的設計驗算點重復46步直至得到可靠度指標收斂。3、 序列響應面法的算法流程圖可用圖1-1表示 標準正態(tài)化輸出可靠性指標，可靠度，失效概率標準正態(tài)空間函數(shù)xi是否標準正態(tài)空間 輸入功能函數(shù) No可靠指標達到精度？構建試驗驗點形成A矩陣矩陣計算試驗點響應值B矩陣求解響應面系數(shù)構建響應面計算響應面可靠性指標驗算點 yes no Yes 圖1-1 序列響應面法計算流程圖4、 算例圓形截面簡支梁，受到均布載荷作用，許用彎曲應力為，截面直徑， 、相互獨立且服從正態(tài)分布，其均值與方差分別為解：原始空間極限狀態(tài)方程為（1） G(，) =324.64/（）=0為了計算方便，原始狀態(tài)方程轉化為： ，=32*4.64/（*）=0（2） 標準正態(tài)空間極限狀態(tài)方程為 F(,)=* + 32*4.64/(+*）3 = 0 =11.76 +80 32*4.64/(30.2+3.0599)3=0(3) 取設計驗算點初值 在原始空間?。簉* = =80,d*=30.2在標準正態(tài)空間對應點為：r*=0，d*=0 （4）確定擬合點，取=0.3.可得標準正態(tài)空間的5個擬合點為： （0,0），（-0.3，0），（0.3,0），（0，-0.3），（0,0.3） 初始空間相應的5個擬合點為： =+* ； = +* 代入得，（80,30.2），（76.47,30.2），（83.528,30.2），（80,29.28），（80,31.12） （5）確定二次方程式中系數(shù) - 32*4.64/（*）=+*+*+ 將5個擬合點值代入得到五個方程式，然后解方程式得： 得到，F(xiàn)(x1,x2)=A+B +C+ D+ E (6)對上述方程，采用一次二階矩法，求得及新的設計驗算點。 （7）跟據及新驗算點，重復46步直至收斂，最后便可求出二次可靠度。5、 結語大型復雜結構的可靠度分析一直是人們關注的研究課題,實用高效的分析方法是解決這一問題的關鍵.本文提出的二次序列響應面法簡便實用, 計算精度可望高于一次可靠度分析方法,給出的收斂控制準則可以保證迭代計算的收斂精度.該方法以確定 性結構計算為基礎,可以直接應用現(xiàn)有的結構分析程序,可靠度計算時直接應用確定性結構計算的結果,不 必考慮其中間運算過程,對于大型結構非線性問題的可靠度分析更為適宜,可見這一方法有良好的應用 前景.5、 參考文獻參考文獻: 1 Wong F S.Slope reliability and response surface method J .Journal of Geotechnical Engineering, ASCE,1985,111: 32 53. 2 Bucher C G ,Bourgund U. A fast and efficient response surface approach for structural reliability problems J .Structural Safety