線性響應理論.doc

第十四章 線性響應理論14.1 線性響應函數對系統(tǒng)加上外場，或更一般地說，對系統(tǒng)施以某種擾動的話，則系統(tǒng)的一些性質，如熱力學量，會產生相應的變化，這就叫響應(response).如果外場(擾動)比較小，則熱力學量的變化與外場(擾動)成正比，為線性關系.這就是線性響應.其比例系數(一般是個函數)稱為線性響應函數(linear response function).它可以用格林函數來表達. 推導線性響應公式有兩個前提：一是擾動較小，這兒較小的涵義是:由擾動引起的哈密頓可以作為微擾來處理.二是響應能夠及時追隨擾動.為了做到這一點，需要假定絕熱條件，令擾動是緩慢加上去的.在t= -時，系統(tǒng)處于平衡態(tài)，或叫作純態(tài).哈密頓量為H.擾動一般是由外場引起的.現在考慮對系統(tǒng)加一外場F，作為一般情況，設外場為矢量.設初始條件為 (14.1.1a)如果外場本身并不含時間，為了做到這一點，可令 (14.1.1b)即加上一個因子使之符合條件(14.1.1a).設擾動引起的哈密頓量為 (14.1.2)其中C應是系統(tǒng)本身的某一個物理量.由于擾動，系統(tǒng)內就有一個力學量D受到變化，變化的量為DD.現在來推導這個變化量的表達式.注意，由于這兒的C和D是系統(tǒng)本身的物理量，因此都是算符.外場F(t)不是算符.但表現了H1隨時間的變化.舉例來說，外加電磁場后引起的哈密頓量為 (14.1.3)其中A與j為外場的矢勢與標勢，j與n分別為系統(tǒng)內的電流密度與粒子數密度算符.F、C和D這三個量也可以都不是矢量，以下的推導過程不變.假設擾動之后，總的哈密頓量為 (14.1.4)未有擾動時，系統(tǒng)處于平衡態(tài)，統(tǒng)計算符是r0. (14.1.5)它與H是對易的.此時物理量D在系綜內的統(tǒng)計平均是 (14.1.6)加上擾動后，系統(tǒng)的統(tǒng)計算符應是 (14.1.7)由于(14.1.1)式，有 (14.1.8)物理量D的統(tǒng)計平均是 (14.1.9)我們要計算的是擾動引起的D的變化量 (14.1.10)要注意的是，此式右邊兩項的求平均所用的狀態(tài)是不一樣的，見(14.1.6)和(14.1.9)兩式.因為擾動肯定是要引起狀態(tài)的變化的.現在我們假定，擾動雖然引起了狀態(tài)的變化，但是不改變狀態(tài)的數目與順序.因而與是一一對應的.即，擾動時狀態(tài)變化成.這就是狀態(tài)隨時間的演化.8.2節(jié)中已經介紹過，可以用時間演化算符來表示這種變化.由于現在的哈密頓量是時間的函數，應該定義 (14.1.11)態(tài)隨時間的演化如下. (14.1.12)此式是滿足薛定諤方程的.在8.2節(jié)中，我們已經求出了相互作用表象中的時間演化算符 (14.1.13)的近似到一級的表達式為 (14.1.14)見(8.2.18)式. (14.1.15)本節(jié)的HT和H分別對應于8.2節(jié)的H和H0.D與C隨時間變化的關系定義如下.， (14.1.16)狀態(tài)隨時間的演化如下. (14.1.17)代入(14.1.6)式， (14.1.18)其中已經忽略了相互作用的二次方項.下面再做近似，把統(tǒng)計權重中的能級En(t)近似為無擾動時的En.相當于(14.1.9)式中取r(t)= r0.這要求擾動導致的能級的移動是很小的. (14.1.19)上面的所有近似都要求：擾動確實是微擾.如此，線性響應的公式才有效.現在可以求得(14.1.10)的結果. (14.1.20)此式說明，當加上外場F后，相應的物理量D的變化與外場成正比，比例系數正是(9.1.2)式定義的由D與另一物理量組成的推遲格林函數.此式稱為久保(Kubo)公式，是線性響應理論中最基本的公式.它表示t1時刻的擾動，在tt1時刻對D產生的影響.經常遇到的情況是D = C.下面要講的磁化率就是一例.我們要記住，如果是恒定的不隨時間變化的外場，那么，絕熱假設要求應該有一個因子，見(14.1.1b)式.把(14.1.20)的分量明確寫出來，并且如果D還是坐標的函數，有 (14.1.21)那么系數就是 (14.1.22)假定推遲格林函數只是時間差t-t1的函數，那么可做傅立葉變換.為簡便起見，我們忽略表示直角坐標分量的下標. (14.1.23)結果是如下的線性關系. (14.1.24)(14.1.23)式右邊計算的具體步驟是：將F(t1)作傅立葉展開，寫成,再將e指數上的量寫成wt-w1t1=w(t-t1) -(w1-w)t1,令t-t1=t，則對t 的積分與t1無關，對dt1積分可得到d (w -w1),最后得到響應系數為 (14.1.25)此式表明響應系數a(w)是的傅立葉分量.從9.2節(jié)已知由格林函數可求出系統(tǒng)的熱力學量.本節(jié)則表明格林函數可求出線性響應函數.例如由電流對電場的響應可寫出電導率.由磁化強度對磁場的響應可求磁導率，以及熱導率，擴散系數等等.因此，利用格林函數這一手段，幾乎可了解系統(tǒng)的所有物理性質.現在我們把響應系數寫成另一表達式，以便后面與松原線性響應系數作比較. (14.1.26)下面再用(14.1.16)代入，H|m=em|m，q(t)用(9.1.22)式，再令m|D|n = Dmn, m|C|n = Cmn, wmn=(em-en) /, (14.1.27)再由，得： (14.1.28)注意：前面的推導過程使用的哈密頓量H和相應的本征態(tài)|m是屬于未微擾系統(tǒng)的.久保公式還有另外一個形式. (14.1.32)其中在求跡號內做了算符輪換，然后把(14.1.29)式代入.此式可稱為零頻率公式，因為它的實部不含頻率. 要特別注意一個區(qū)別：(14.1.20)式右邊是用推遲格林函數來表達的.而(14.1.32)是右邊是用關聯函數來表達的.14.2 虛時線性響應函數上一節(jié)中利用熱力學格林函數可求出線性響應函數,以了解外場對系統(tǒng)擾動時系統(tǒng)內力學量的變化.松原函數也應該能夠達到這個目的.松原函數是虛時間的函數,因此只能得到虛時間的線性響應函數1 (也稱松原響應函數),再由此來求實際的響應函數.為了做到這一點，要分兩步走:第一步,類似于(14.1.25)式的實時響應系數a(w),要求出一個虛時的響應系數at(z)的公式;第二步是找出at(z)與a(w)之間的關系.作t -it的替代將實時改為虛時.這兒t的取值范圍是-b, b.設系統(tǒng)受到一個微擾 (14.2.1)其中各符號的意義與上一節(jié)相同,只是以虛時間作為變量.我們用11.1節(jié)中的公式.那兒的H -mN和H0 -mN分別對應于本節(jié)的HT和H.回顧前面介紹過的三種繪景.在薛定諤繪景中，力學量算符不隨時間變化，而狀態(tài)隨時間變化.力學量在系綜中的平均值隨時間的倚賴由狀態(tài)來體現.在海森伯繪景中，力學量算符隨時間變化，而狀態(tài)不隨時間變化.力學量在系綜中的平均值隨時間的倚賴由算符來體現.這兩種平均值是完全相等的.所以我們用海森伯繪景來計算平均值.按照(11.1.12)或者(11.1.14)，一個力學量在有擾動系綜中的平均值可以借助于虛時演化算符寫成在無擾動系綜中的平均值. (14.2.2)此式的左邊是在有擾動系綜中的求平均，而右邊是在無擾動系綜中的平均值.虛時演化算符的表達式是(11.1.8) (14.2.3)我們在(14.2.2)式的分母中的U只取到(14.2.3)式右邊的第一項.那么 (14.2.4)再將其中的U取到(14.2.3)式中的一級近似. (14.2.5)其中第一項Trr0DI(t)Trr0DD0移到左邊成為.略去二階項后成為 (14.2.6)由此式看到，線性響應可以用松原函數來表達.E和C都是可測量的力學量,有經典極限,所以應按玻色子算符來處理.現在對(14.2.6)式作傅立葉變換,因t 的取值范圍有限,頻率只能取分立值.又由于等式右邊為一由玻色算符組成的松原函數,按11.2節(jié)所介紹的性質,富氏展開的頻率只能取偶數z n =2n/b.作變換:, (14.2.7) (14.2.8)現在令t -t 1t,則松原函數只是“時間差”t的函數而與t 1無關,對t 1積分得dnm,再對m求和得到F(iz n). t 和t 1的積分范圍是0b.由于Tt 的限制, t=t -t 1的積分范圍仍是0b. (14.2.9)響應系數為: (14.2.10)由于必然有t0,所以編時算符Tt可去掉.現在得到了與(14.1.25)式的a(w)相似的表達式,實現了第一步.為了實現第二步,作下述操作 (14.2.11)其中令n|C|m=Cnm, n|D|m=Dnm/,Em-En= w nm，對dt 積分后,得用了zl =2l/b,最后一個等號將m和n交換.將(14.2.11)式與(14.1.28)式比較,有 (14.2.12)由(14.1.