第11章：數(shù)學(xué)物理方程的定解問題.pdf

1 第1 1 章 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題 1 1 1 泛定方程的導(dǎo)出 1 1 2 定解條件 1 1 3 數(shù)學(xué)物理方程的分類 1 1 4 定解問題的適定性 2 1 1 1 泛定方程的導(dǎo)出1 1 1 泛定方程的導(dǎo)出 熱 電 聲 光 等等 溫度 壓力 電場強(qiáng)度 磁場強(qiáng)度 波動(dòng)方程 擴(kuò)散方程 位勢(shì)方程 量子力學(xué) 等等 量子 能級(jí) 半導(dǎo) 體等 等 自然 現(xiàn)象 物理 描述 數(shù)學(xué) 方程 物理 預(yù)言 擴(kuò)散工藝 半導(dǎo)體 激光 原子彈 改 造 自 然 3 三類典型的泛定方程 波動(dòng)方程 雙曲方程 描述現(xiàn)象 聲波 電磁波等波動(dòng)過程 擴(kuò)散方程 拋物方程 描述現(xiàn)象 熱擴(kuò)散 物質(zhì)擴(kuò)散等擴(kuò)散過程 位勢(shì)方程 橢圓方程 電勢(shì) 穩(wěn)定溫度場分布等與時(shí)間無關(guān)的穩(wěn)定 場 共性 邊界條件 研究的物理系統(tǒng)與外部的相互作 用 初始條件 研究的物理系統(tǒng)過去的歷史 個(gè)性 4 弦的橫向振動(dòng)方程弦的橫向振動(dòng)方程 假定 1 張力 T 重力 mg 2 靜止時(shí)弦位于x 軸 橫向振動(dòng)時(shí)各點(diǎn)的位移為 u x t 3 弦的線密度為 4 振動(dòng)是無限小的 考察x x x小段 B 力的平衡方程為 x方向 0coscos 12 TT y 方向 tt SuTT sinsin 12 5 x u O T1 T2 xx x B 6 三個(gè)近似三個(gè)近似 1coscos 1 x x xx x uus sin in 2 xuxuxS x 222 1 3 TTTTT 1212 x 方向 ttxxxxx xuuuT y 方向 2 2 0 lim x u x uu xxxxx x 7 故最后得到 x 處 x 長的弦的運(yùn)動(dòng)方程為 0 2 2 2 2 x txuT t txu 如果弦受到線密度為 f x t 的橫向力作用 則弦的 受迫振動(dòng)方程為 2 2 2 2 2 txf x txu a t txu Ta 其中 與弦中的張力有關(guān)弦中的張力有關(guān) 具 有速度的量綱 具 有速度的量綱 8 桿的縱向振動(dòng)桿的縱向振動(dòng) 假定 1 靜止時(shí)桿位于x 軸 縱向振動(dòng)時(shí) 各點(diǎn)的位移為 u x t 2 桿的密度為 Young 模量為 Y 3 振動(dòng)是無限小的 B 段的運(yùn)動(dòng)方程為段的運(yùn)動(dòng)方程為 xxdxxxtt YSuYSuuSdx B xx dx AC uu du 9 式中 S 是桿的面積 最后的方程與次無關(guān) 當(dāng)dx 0 時(shí) 我們有 Y a T a 或者 0 2 2 2 2 x txuY t txu 0 2 2 2 2 2 x txu a t txu 可見 兩個(gè)方程具有相同的形式 可以寫成統(tǒng) 一的形式 兩個(gè)方程具有相同的形式 可以寫成統(tǒng) 一的形式 式中 以后將看到 a 是波在弦 上 橫波 或桿中 縱 波 縱 波 傳播的 速度 10 聲波方程聲波方程 描述參量 采取流體的采取流體的 Euler 描述方式描述方式 1 p P r t P0 壓強(qiáng)差 聲壓 其中 P0是大氣 壓 P r t 是 r x y z 點(diǎn)的瞬態(tài)壓強(qiáng)分布 2 r t 空氣密度分布 3 v r t 空氣速度場分布 考慮位于 x y z 的流體元 dV dxdydz 1 質(zhì)量守恒方程 dV 內(nèi)質(zhì)量的變化應(yīng)等于六個(gè) 面流入和流出的凈增加量 11 y x z dy dx dz O vy y vy y dy 12 xxdxxx zzdzzz yydyyy vvdzdy vvdydx vvdxdzdxdydz t 兩邊同除以dxdydz 0 zyx v z v y v xt 寫作矢量形式 0 v t 13 2 運(yùn)動(dòng)方程 三個(gè)分量方程分別為 x 方向的運(yùn)動(dòng)方程 x x dxx dv dxdydzdydzPP dt xx xx 14 y 方向的運(yùn)動(dòng)方程 ydyy y PPdydz dt dv dxdydz z 方向的運(yùn)動(dòng)方程 zdzz z PPdydx dt dv dxdydz 因此寫作矢量形式 運(yùn)動(dòng)方程為 P dt d v 五個(gè)未知數(shù) P vx vy vz 現(xiàn)有四 個(gè)方程 15 3 介質(zhì)本構(gòu)方程 描述壓強(qiáng) P p P0 密度 體積 和 熵 s 的關(guān)系 由熱力學(xué)決定 sPP 一般假定 聲波振動(dòng)是等熵過程 則 PP 其中 這三個(gè)方程是聲波過程的基 本方程 0 00 00 s d dttt P p vvv vv vvv 在無限小振動(dòng)近似下 16 總結(jié) 00 0 s P PP tt v v 質(zhì)量守恒運(yùn)動(dòng)方程介質(zhì)本構(gòu)方程 由質(zhì)量守恒和運(yùn)動(dòng)方程 0 2 2 2 P t 由介質(zhì)本構(gòu)方程得 0 22 2 2 c t 17 其中 即為空氣中的聲速 同樣有 電磁波方程電磁波方程 描述參量 電場強(qiáng)度矢量 E 磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量 B 磁場強(qiáng)度矢量 H 電位移矢量 D 滿足 Maxwell 方程組 無源情況 0 0 PP c s 0 22 2 2 pc t p 0 0 0 0 tt D H B EDB 18 介質(zhì)本構(gòu)方程 因此電磁波方程為 利用 2 前二個(gè)方程分別消去 E 或 H 可得電磁波方程 以及橫波條件 EDHB 0 0 0 0 HE E H H E tt 0 0 2 2 2 2 2 2 tt H H E E 0 0 HE 19 擴(kuò)散方程擴(kuò)散方程 物理過程 由于濃度不均勻 物質(zhì)從濃度高的 地方向濃度低的地方轉(zhuǎn)移 稱為擴(kuò)散 描述參量 濃度的空間和時(shí)間分布 u r t 擴(kuò)散流強(qiáng)度 J r t 單位時(shí)間通過單 位面積的原子或分子數(shù)或質(zhì)量 物理規(guī)律 擴(kuò)散定律 基本規(guī)律 質(zhì)量守恒 tuDtrrJ tq t u rJ 20 其中 D 是擴(kuò)散系數(shù) 不同的物質(zhì)有不同的擴(kuò)散 系數(shù) q 是擴(kuò)散源強(qiáng)度 單位時(shí)間內(nèi)單位體積中 產(chǎn)生的粒子數(shù)或質(zhì)量 由上述兩方程 可以得到擴(kuò)散過程滿足的方程 2 u Duqt t r 一維擴(kuò)散過程 2 2 u x tu x t Dq x t tx 21 熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程 物理過程 由于溫度不均勻 熱量從溫度高的地 方向溫度低的地方傳導(dǎo) 稱為熱傳導(dǎo) 描述參量 溫度的空間和時(shí)間分布 T r t 熱流強(qiáng)度 J r t 單位時(shí)間通過單位面 積的熱量 物理規(guī)律 熱傳導(dǎo)定律 是熱傳導(dǎo)系數(shù) tTtrrJ 基本規(guī)律 能量守恒定律 q t e e J 22 其中 e 是能量密度 單位質(zhì)量物質(zhì)的能量 Je是能量流密度矢量 q 是其他熱源 由于溫 度的變化 內(nèi)能的變化方程為 上式即為熱傳導(dǎo)方程 qT t T Cv 2 對(duì)于各向異性的材料 一般 D 和 是張量 Dij和 ij i j 1 2 3 因此擴(kuò)散定律和熱傳導(dǎo)定 律變成 23 33 11 iijiij jj jj utTt JDJ xx rr 這時(shí)熱傳導(dǎo)方程 擴(kuò)散方程也作類似的變化 應(yīng) 該為 3 1 2 tq xx tT t tT C ji ji ijv r rr 靜電場方程 電荷密度分布為 r 電電場分布滿足方程 0 EE 24 因此 存在標(biāo)量勢(shì) x y z 代入上式 有 如果 r 0 Schrodinger 方程 質(zhì)量為 m的微觀粒子 如電子 在勢(shì)場 V 中的運(yùn) 動(dòng) 滿足Schrodinger 方程 E 2 0 2 V mt i 2 2 2 Laplace 方程 Poisson 方程 25 11 2 定解條件定解條件 常微分方程 0 2 2 2 tu dt tud 通解 tBtAtu cossin 兩個(gè)任意常數(shù) 初始條件決定 Cauchy問 題 兩端邊界決定 邊值問題 偏微分方程 0 2 2 2 2 x u t u 26 txtx 令 得到 0 2 u 通解 FGu 波動(dòng)方程的通解 txGtxFtxu 兩個(gè)任意函數(shù) 初始條件決定 Cauchy問題 00 xguxfu ttt tx tx dssgtxftxftxu 2 1 2 1 27 定解問題 偏微分方程 求通解沒必要 意義不大 求給定條件的特解 定解問題 邊界條件 系統(tǒng)與外部的相互作用 初始條件 系統(tǒng)過去的歷史 28 初始條件 擴(kuò)散方程 熱傳導(dǎo)方程 時(shí)間的一階方程 初始 分布 波動(dòng)方程 時(shí)間的二階方程 必須知道初始位移 分布及速度分布 注意 是整個(gè)系統(tǒng)在 t 0 時(shí)的分布 而不是僅 僅知道某點(diǎn)或某幾點(diǎn)的值 0 0 00 rrrrTt Tutu tt 0 0 r r rr t t t tu tu 29 邊界條件 1 第一類邊界條件 給出邊界上的分布 邊界 B 法向 n tutu B rr Br 例1 弦樂器中兩端固定的 弦振動(dòng) 邊界條件可寫作 0 00 lx txutxu 0 l x 30 例2 弦樂器中圓鼓的振動(dòng) 因圓周固定 邊界 條件可寫作 0 22 Ryx tyxu x y R 在極坐標(biāo)下 0 Rr tru 2 第二類邊界條件 給出邊界上外法向?qū)?shù)的分布 nr ut n u B B 或 31 例1 一端自由 另一端固定縱向振動(dòng)桿 在固 定端是第一類邊界條件 在自由端 處于自由 狀態(tài) 無應(yīng)力 由 虎克 定律 0 0 0 lx x x u Ytxu 0 l 32 3 第三類邊界條件 給出邊界上分布與法向?qū)?shù)的線性組合 當(dāng) 0 時(shí) 退化為第二類邊界條件 當(dāng) 0時(shí) 退化為第一類邊界條件 t n u u B r 例 物體的自由冷卻 熱傳導(dǎo)泛定方程為 0 2 T t T Cv 33 物體初始溫度分別為 0 tzyxtzyxT t 邊界條件由 自由冷卻 而得到 由牛頓自由 冷卻定律 從物體流出的熱流矢量密度正比于 物體表面與周圍介質(zhì)的溫度差 B B Th n T 因此 B n T hT B 34 細(xì)桿兩端的 自由冷卻 一維問題 x 0 外法向矢量 nx 1 故 x l 外法向矢量 nx 1 故 0 x x T hT lx x T hT nx 1 l0 nx 1 35 說明 1 齊次邊界條件 右邊的函數(shù)為零 2 非齊次邊界條件 右邊的函數(shù)不為零 3 線性邊界條件 僅僅出現(xiàn)待求分布的一次 4 非線性邊界條件 非線性定解問題 聲學(xué)邊界條件 1 第一類邊界 硬 介 質(zhì)被 軟 介質(zhì)包圍 軟 和 硬 由介質(zhì)密度決定 邊界上 聲壓 p為零 故邊 界條件為 邊界 1c1 2c2 0 B tzyxp 36 一個(gè)常遇到的例子是 水 硬 介質(zhì) 中聲波遇到空 氣 軟 介質(zhì) 界面 可以作這樣的近似 因此水中 的聲波是不能進(jìn)入空氣的 2 第二類邊界 軟 介質(zhì)被 硬 介質(zhì)包圍 邊界上 流體粒子的速度為 零 因此聲壓 p 的 法向?qū)?shù)為零 故 邊界條件為 空氣 海水 聲波 0 B n tzyxp 37 3 第三類邊界 吸聲邊界 4 一般界面 根據(jù)力學(xué)性質(zhì) 在介面上法向速度和聲壓連續(xù) 因此 0 B n p p 1c1 2c2 pp vv 2121 nn P t v 0 21 2 2 1 1 11 pp n P n P 38 11 3 數(shù)學(xué)物理方程的分類數(shù)學(xué)物理方程的分類 線性偏微分方程 n ji n i i i ji ij c x b xx aL fuL 1 1 2 自變量 x1 x2 xn 函數(shù) u x1 x2 xn 關(guān)于 u 的線性方程 一般形式 1 齊次方程 f 0 一般是無源問題 2 非齊次方程 f 0 有源問題 39 3 常系數(shù)方程 aij bi c 與自變量 x1 x2 xn 無關(guān) 一般是均勻介質(zhì) 4 變系數(shù)方程 aij bi c 與自變量 x1 x2 xn 有關(guān) 一般是非均勻介質(zhì) 疊加原理 如果 u1和 u2分別是方程的解 且相 應(yīng)的非齊次項(xiàng)為 f1和 f2 則 u u1 u2也是方程的解 且相應(yīng)的非齊次項(xiàng)為 f f1 f2 即 如果 1111 fuLfuL 和 則 其中 u u1 u2 和 f f1 f2 fuL 40 兩個(gè)自變量的方程分類 兩個(gè)自變量的線性偏微分方程 二階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng) 方程的主部 fcuububuauaua yxyyxyxx 21221211 2 假定 a11 a12 a22 b1 b2 c f 是 x y 的 函數(shù)且是實(shí)數(shù) yx yx yy xx 試作變 量變換 41 要求 Jacobi 行列式 否則函數(shù)相關(guān) 原方程變?yōu)?0 yy xx yx J fCuuBuBuAuAuA 21221211 2 式中 系數(shù) 2 2 2 2212 2 1122 22121112 2 2212 2 1111 yyxx yyxyyxyx yyxx aaaA aaaA aaaA 42 fF cC bbaaaB bbaaaB yxyyxyxx yxyyxyxx 212212112 212212111 2 2 注意 A11和 A22的系數(shù)具有對(duì)稱的形式 如果 取 x y 和 x y 是下列一階偏微分方程二 個(gè)獨(dú)立的特解 I 02 2 2212 2 11 yyxx zazzaza 則原方程的系數(shù) A11和 A22為零 43 設(shè) z z x y 是方程的一個(gè)特解 則 z x y C 常數(shù) 必滿足常微分方程 02 2212 2 11 a dx dy a dx dy a 反之 如果 x y C 常數(shù) 是上述常微分方程的 一個(gè)通解 則 z x y 必是一階偏微分方程 1 的 一個(gè)特解 方程 I 稱為方程的特征方程 其解 x y C1和 x y C2 稱為方程的特征曲線 44 由 I 可得到 11 2211 2 1212 11 2211 2 1212 a aaaa dx dy a aaaa dx dy 根據(jù)特征曲線的性質(zhì)進(jìn)行分類 1 雙曲型方程 存在二族實(shí)特征線 0 2211 2 12 aaa 21 CyxCyx 和 45 作變換 yxyx 方程 變成 II 2 1 21 12 fCuuBuB A u 再令變換 2 2 和 可得到雙曲型方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 uuuu 可見波動(dòng)方程是典型的雙曲方程 46 2 拋物型方程 0 2211 2 12 aaa 僅存在一族實(shí)特征線 x y C1 令 yx 再取與 x y 無關(guān)的函數(shù) x y 構(gòu)成自變量變換 于是 A11 0 同時(shí)可證明 A12 0 因此方程變成 uuu 上述即拋物型方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 顯然擴(kuò) 散方程是典型的拋物方程 47 3 橢圓型方程 0 2211 2 12 0 y0 時(shí)間的分布 0 rr tt tu 對(duì)波動(dòng)方程 還必須給出一階導(dǎo)數(shù) 0 rr t tu 這樣的問題稱為初值問題 54 2 邊值問題 對(duì) Laplace 方程 描寫的是穩(wěn)態(tài)問 題 無時(shí)間變量 一般給出的是邊界條件 t n u u B r 這樣的問題稱為邊值問題 3 混合問題 對(duì)有限區(qū)域上的波動(dòng)方程或擴(kuò)散 方程 不僅要給出 t 0 時(shí)刻的分布 而且要給出邊 界條件 這樣的問題稱為混會(huì)問題 55 定解問題的適定性 一般 對(duì)位勢(shì)方程提邊值問題 而對(duì)波動(dòng)方程 或擴(kuò)散方程提混合問題 能否反過來 對(duì)位勢(shì) 方程提混合問題 而對(duì)波動(dòng)方程或擴(kuò)散方程提 邊值問題 位勢(shì)方程 混合問題 邊值問題 波動(dòng)方程 56 這不是偶然的 物理上 這樣的提法有物理意 義 數(shù)學(xué)上 這樣的提法是否有根據(jù) 如果定解問題滿足 1 解存在 2 解唯一 3 解穩(wěn)定 則稱定解問題是適定的 否則稱為不適定的 不適定問題的求解是目前一個(gè)研究課題 有很 重要的應(yīng)用 逆問題一般是不適定問題 57 正問題 已知邊界 邊界條件 方程的系數(shù) 或 非齊次項(xiàng) f 求方程的解 逆問題 已知部分邊界 部分方程的系數(shù) 或部 分非齊次項(xiàng) f 或部分解 在某個(gè)實(shí)驗(yàn)上可測(cè) 量的區(qū)域 要求未知的另一部分邊界 或另 部分方程的系數(shù) 或另一部分非齊次項(xiàng) f 逆問題在地