自考經(jīng)管類 線性代數(shù) (2).doc

高等教育自學考試網(wǎng)上輔導 線性代數(shù)（經(jīng)管類）第一部分行列式本章概述 行列式在線性代數(shù)的考試中占很大的比例。從考試大綱來看。雖然只占13%左右。但在其他章。的試題中都有必須用到行列式計算的內容。故這部分試題在試卷中所占比例遠大于13%。大綱中規(guī)定的比例07.4全國統(tǒng)考試題07.7全國統(tǒng)考試題07.10全國統(tǒng)考試題直接考行列式這一章的13%左右11%11%15%再加上其余各章中必須應用行列式計算的34%29%21%1.1行列式的定義1.1.1二階行列式與三階行列式的定義一、二元一次方程組和二階行列式例1.求二元一次方程組的解?！敬鹨删幪?2010101】解：應用消元法得當時。得同理得定義 稱為二階行列式。稱為二階行列式的值。記為。于是 由此可知。若。則二元一次方程組的解可表示為：例2【答疑編號12010102】二階行列式的結果是一個數(shù)。我們稱它為該二階行列式的值。二、三元一次方程組和三階行列式考慮三元一次方程組希望適當選擇。使得當后將消去。得一元一次方程若，能解出其中要滿足為解出。在（6），（7）的兩邊都除以得這是以為未知數(shù)的二元一次方程組。 定義1.1.1 在三階行列式中，稱于是原方程組的解為;類似地得 這就將二元一次方程組解的公式推廣到了三元一次方程組。例3 計算【答疑編號12010103】例4 （1）【答疑編號12010104】（2）【答疑編號12010105】例5 當x取何值時，？【答疑編號12010106】為將此結果推廣到n元一次方程組。需先將二階、三階行列式推廣到n階行列式。1.1.2階行列式的定義定義1.1.2 當n時，一階行列式就是一個數(shù)。當時，稱為n階行列式。定義（其所在的位置可記為的余子式的代數(shù)余子式。定義 為該n階行列式的值。即。容易看出，第j列元素的余子式和代數(shù)余子式都與第j列元素無關；類似地，第i行元素的余子式和代數(shù)余子式都與第i行元素無關。n階行列式為一個數(shù)。例6 求出行列式第三列各元素的代數(shù)余子式。【答疑編號12010107】例7 （上三角行列式）【答疑編號12010108】1.2行列式按行（列）展開定理1.2.1（行列式按行（列）展開定理）例1 下三角行列式主對角線元素的乘積?！敬鹨删幪?2010201】例2 計算行列式【答疑編號12010202】例3 求n階行列式【答疑編號12010203】小結 1.行列式中元素的余子式和代數(shù)余子式的定義。2.二階行列式的定義。3.階行列式的定義。即。4.行列式按行（列）展開的定理和應用這個定理將行列式降階的方法。作業(yè)p8 習題1.1 1（1）（2）（3）（5）（6），3作業(yè) p11習題1.2 1，2，3（1），（2），41.3行列式的性質及計算1.3.1行列式的性質給定行列式將它的行列互換所得的新行列式稱為D的轉置行列式，記為或。性質1 轉置的行列式與原行列式相等。即性質2 用數(shù)k乘行列式D的某一行（列）的每個元素所得的新行列式等于kD。推論1 若行列式中某一行（列）的元素有公因數(shù)，則可將公因數(shù)提到行列式之外。推論2 若行列式中某一行（列）的元素全為零，則行列式的值為0。性質3 行列式的兩行（列）互換，行列式的值改變符號。以二階為例設推論3 若行列式某兩行（列），完全相同，則行列式的值為零。證 設中，第i行與第j行元素完全相同，則所以，D=0。性質4 若行列式某兩行（列）的對應元素成比例，則行列式的值為零。性質5 若行列式中某一行（列）元素可分解為兩個元素的和，則行列式可分解為兩個行列式的和，即只要看注意 性質中是指某一行（列）而不是每一行?？梢娦再|6 把行列式的某一行（列）的每個元素都乘以 加到另一行（列），所得的行列式的值不變。證.1.3.2行列式的計算人們認識事物的基本方法是化未知為已知。對行列式，先看何為已知，（1）二，三階行列式的計算；（2）三角形行列式的計算。因此，我們計算行列式的基本方法是利用行列式的性質把行列式化為三角形，或降階。例1 計算【答疑編號12010204】在行列式計算中如何造零是個重要技巧，主要是應用性質6。例2 計算【答疑編號12010205】例3 計算【答疑編號12010206】例4 計算【答疑編號12010207】例5 計算【答疑編號12010208】擴展計算【答疑編號12010209】例6 計算【答疑編號12010301】方法1方法2擴展：計算【答疑編號12010302】例7 計算【答疑編號12010303】例8 計算【答疑編號12010304】擴展：計算【答疑編號12010305】例9 計算n階行列式 【答疑編號12010306】解 按第一列展開，得例10 范德蒙行列式【答疑編號12010307】.【答疑編號12010308】例11 計算【答疑編號12010309】例12 證明【答疑編號12010310】小結1.準確敘述行列式的性質；2.應用行列式的性質計算行列式的方法（1）低階的數(shù)字行列式和簡單的文字行列式；（2）各行元素之和為相同的值的情況（3）有一行（列）只有一個或兩個非零元的情況作業(yè) p22 習題1.3 1（1）（3），2，5，6（1）（3）（4）（5）（10）（11）（12） 1.4克拉默法則這一節(jié)將把二元一次方程組解的公式推廣到n個未知數(shù)，n個方程的線性方程組。為此先介紹下面的定理。定理1.4.1 對于n階行列式證 由定理1.2.1知 ，注意改變第二列的元素，并不改變第二列元素的代數(shù)余子式類似地，可證明該定理的剩余部分。定理1.4.2 如果n個未知數(shù)，n個方程的線性方程組 的系數(shù)行列式 則方程組有惟一的解: 其中 證明從略例1.求解【答疑編號12010401】把克拉默法則應用到下面的齊次方程組有定理1.4.3 如果n個未知數(shù)n個方程的齊次方程組的系數(shù)行列式D0，則該方程組只有零解，沒有非零解。推論如果齊次方程組有非零解，則必有系數(shù)行列式D=0。事實上，以后我們將證明對于由n個未知數(shù)n個方程的齊次方程組，系數(shù)行列式D=0，不僅是該齊次方程組有非零解的必要條件，也是充分條件,即若系數(shù)行列式D=0,則齊次方程組必有非零解。例2判斷線性方程組是否只有零解【答疑編號12010402】例3當k為何值時，齊次方程組沒有非零解？【答疑編號12010403】例4問當 取何值時,齊次方程組有非零解?【答疑編號12010404】1.定理1.4.1 對于，有2.n個未知數(shù),n個方程的線性方程組的克拉默法則。以及n個未知數(shù), n個方程的齊次線性方程組有非零解的充分必要條件。作業(yè) p28 習題1.4 1（1）（2）（3）3第一章小結基本概念1.行列式中元素的余子式和代數(shù)余子式。2.行列式的定義基本公式1.行列式按一行(一列)展開的定理；2.行列式的性質；3.行列式中任一行(列)與另一行(列)的代數(shù)余子式乘積的和=0；4.克拉默法則5.n個未知數(shù),n個方程的齊次方程組有非零解的充分必要條件是它的系