圓錐曲線結(jié)論.docx

數(shù)學(xué)橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)-（必背的經(jīng)典結(jié)論）橢圓必背的經(jīng)典結(jié)論1. 點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的外角.2. PT平分PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離.4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.5. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.6. 若在橢圓外 ，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.7. 橢圓 (b0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點三角形的面積為. 8. 橢圓（ab0）的焦半徑公式：, ( , ).9. 設(shè)過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸的一個頂點，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點，則MFNF.10. 過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF.11. AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即.12. 若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是. 若在橢圓內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是.14.橢圓的光學(xué)特性.雙曲線1. 點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角.2. PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交.4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）5. 若在雙曲線（a0,b0）上，則過的雙曲線的切線方程是.6. 若在雙曲線（a0,b0）外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.7. 雙曲線（a0,bo）的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為.8. 雙曲線（a0,bo）的焦半徑公式：( , 當(dāng)在右支上時，,.當(dāng)在左支上時，,1. 設(shè)過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點，則MFNF.2. 過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q, A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF.3. AB是雙曲線（a0,b0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。4. 若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是.5. 若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是.橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)-（會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論）橢 圓橢圓會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論1. 橢圓（abo）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.2. 過橢圓 (a0, b0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）.3. 若M為橢圓（ab0）上異于長軸端點的任一點，F(xiàn)1、F 2是焦點, , ，則.4. 設(shè)橢圓（ab0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在PF1F2中，記, ,，則有.5. 若橢圓（ab0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)0e時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項.6. P為橢圓（ab0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內(nèi)一定點，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立.7. 橢圓與直線有公共點的充要條件是.8. 已知橢圓（ab0），O為坐標(biāo)原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.9. 過橢圓（ab0）的右焦點F作直線交該橢圓于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.10. 已知橢圓（ ab0）,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點, 則.11. 設(shè)P點是橢圓（ ab0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2) .12. 設(shè)A、B是橢圓（ ab0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .13. 已知橢圓（ ab0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交于A、B兩點,點在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點. 14. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.15. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.1. 橢圓焦三角形中,內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). （注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.）2橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e.3橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項.橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)-（會推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)）雙曲線1. 雙曲線（a0,b0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.2. 過雙曲線（a0,bo）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）.3. 若P為雙曲線（a0,b0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則（或）.4. 設(shè)雙曲線（a0,b0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在PF1F2中，記, ,，則有.5. 若雙曲線（a0,b0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)1e時，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項.6. P為雙曲線（a0,b0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內(nèi)一定點，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線且和在y軸同側(cè)時，等號成立.7. 雙曲線（a0,b0）與直線有公共點的充要條件是.8. 已知雙曲線（ba 0），O為坐標(biāo)原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.1. 過雙曲線（a0,b0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.2. 已知雙曲線（a0,b0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點, 則或.3. 設(shè)P點是雙曲線（a0,b0）上異于實軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2) .4. 設(shè)A、B是雙曲線（a0,b0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .1. 已知雙曲線（a0,b0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于A、B兩點,點在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF 的中點.2. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.3. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.4. 雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點).1. 雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.2. 雙曲線焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到雙曲線中心的比例中項.有關(guān)拋物線焦點弦問題的探討過拋物線(p0)的焦點F作一條直線L和此拋物線相交于A、B兩點結(jié)論1：結(jié)論2：若直線L的傾斜角為，則弦長證: (1)若 時,直線L的斜率不存在，此時AB為拋物線的通徑,(2)若時,設(shè)直線L的方程為：即 代入拋物線方程得由韋達(dá)定理由弦長公式得結(jié)論3： 過焦點的弦中通徑長最小 的最小值為,即過焦點的弦長中通徑長最短.結(jié)論4： 結(jié)論5： (1) (2) x1x2= 證 結(jié)論6：以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切 證：設(shè)M為AB的中點，過A點作準(zhǔn)線的垂線AA1， 過B點作準(zhǔn)線過M點作準(zhǔn)線的垂線MM1，由梯形的中位線性質(zhì)和拋物線的定義知 故結(jié)論得證 結(jié)論7：連接A1F、B1 F 則 A1FB1F 同理 A1FB1 F結(jié)論8：（1）AM1BM1 （2）M1FAB （3）（4）設(shè)AM1 與A1F相交于H ，M1B與 FB1相交于Q 則M1，Q，F(xiàn) ，H四點共圓（5）證：由結(jié)論（6）知M1 在以AB為直徑的圓上 AM1BM1 為直角三角形， M1 是斜邊A1 B1 的中點 M1FAB AM1BM1 所以M1，Q，F(xiàn),H四點共圓， 結(jié)論9： （1）O、B1 三點共線 （2）B，O，A1 三點共線 （3）設(shè)直線AO與拋物線的準(zhǔn)線的交點為B1，則BB1平行于X軸（4）設(shè)直線BO與拋物線的準(zhǔn)線的交點為A1，則AA1平行于X軸證：因為，而所以所以三點共線。同理可得（2）（3）（4）結(jié)論10： 證：過A點作AR垂直X軸于點R，過B點作BS垂直X軸于點S，設(shè)準(zhǔn)線與軸交點為E,則 同理可得 結(jié)論11： (4) x1x2=假設(shè) 深化 1：性質(zhì)5中，把弦AB過焦點改為AB過對稱軸上一點E（a,0），則有證：設(shè)AB方程為my=x-a，代入得：，深化2：焦點弦AB不垂直于x軸，AB的中垂線交x軸于點R，則證明：設(shè)AB的傾斜角為a，直線AB的方程為：，代入得：，即：由性質(zhì)1得，又設(shè)AB的中點為M，則，總結(jié)：基礎(chǔ)回顧1.以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；1. ;2. ;3. ;4. ;5. ;6. ;7. A、O、三點共線；8. B、O、三點共線；9. ；10. （定值）；11. ；12. 垂直平分；13. 垂直平分；14. ；15. ；16. ；17. ；18. ;19. ;20. .21. 切線方程 高考資源網(wǎng)性質(zhì)深究一)焦點弦與切線1、 過拋物線焦點弦的兩端點作拋物線的切線，兩切線交點位置有何特殊之處？結(jié)論1：交點在準(zhǔn)線上當(dāng)弦軸時，則點P的坐標(biāo)為在準(zhǔn)線上結(jié)論2 切線交點與弦中點連線平行于對稱軸結(jié)論3 弦AB不過焦點即切線交點P不在準(zhǔn)線上時，切線交點與弦中點的連線也平行于對稱軸2、上述命題的逆命題是否成立？結(jié)論4 過拋物線準(zhǔn)線上任一點作拋物線的切線，則過兩切點的弦必過焦點過準(zhǔn)線與x軸的交點作拋物線的切線，則過兩切點AB的弦必過焦點結(jié)論5過準(zhǔn)線上任一點作拋物線的切線，過兩切點的弦最短時，即為通徑3、AB是拋物線（p0）焦點弦，Q是AB的中點，l是拋物線的準(zhǔn)線，過A，B的切線相交于P，PQ與拋物線交于點M則有結(jié)論6PAPB結(jié)論7PFAB結(jié)論8 M平分PQ結(jié)論9 PA平分A1AB，PB平分B1BA結(jié)論10結(jié)論11二)非焦點弦與切線思考：當(dāng)弦AB不過焦點，切線交于P點時，也有與上述結(jié)論類似結(jié)果：結(jié)論12 ，結(jié)論13 PA平分A1AB，同理PB平分B1BA結(jié)論14 結(jié)論15 點M平分PQ結(jié)論16 12標(biāo)準(zhǔn)方程：34點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的外角.5PT平分PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.6以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離.7以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.8設(shè)A1、A2為橢圓的左、右頂點，則PF1F2在邊PF2（或PF1）上的旁切圓，必與A1A2所在的直線切于A2（或A1）.9橢圓（abo）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.10若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.11若在橢圓外，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.12AB是橢圓的不平行于對稱軸且過原點的弦，M為AB的中點，則.13若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是.14若在橢圓內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是.15若PQ是橢圓（ab0）上對中心張直角的弦，則.16若橢圓（ab0）上中心張直角的弦L所在直線方程為,則(1);(2).17給定橢圓：（ab0）,：,則(i)對上任意給定的點,它的任一直角弦必須經(jīng)過上一定點M(.(ii)對上任一點在上存在唯一的點,使得的任一直角弦都經(jīng)過點.18設(shè)為橢圓（或圓）C:(a0,. b0)上一點，P1P2為曲線C的動弦,且弦P0P1, P0P2斜率存在，記為k1, k2,則直線P1P2通過定點的充要條件是.19過橢圓(a0, b0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）.20橢圓(ab0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為，.21若P為橢圓（ab0）上異于長軸端點的任一點,F1, F2是焦點,，則.22橢圓（ab0）的焦半徑公式：,(,).23若橢圓（ab0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)0e時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項.24P為橢圓（ab0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內(nèi)一定點，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立.25橢圓（ab0）上存在兩點關(guān)于直線：對稱的充要條件是.26過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.27過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.28P是橢圓（ab0）上一點，則點P對橢圓兩焦點張直角的充要條件是.29設(shè)A,B為橢圓上兩點，其直線AB與橢圓相交于,則.30在橢圓中，定長為2m（oma）的弦中點軌跡方程為,其中,當(dāng)時,.31設(shè)S為橢圓（ab0）的通徑，定長線段L的兩端點A,B在橢圓上移動，記|AB|=，是AB中點，則當(dāng)時，有,);當(dāng)時，有,.32橢圓與直線有公共點的充要條件是.33橢圓與直線有公共點的充要條件是.34設(shè)橢圓（ab0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在PF1F2中，記,，則有.35經(jīng)過橢圓（ab0）的長軸的兩端點A1和A2的切線，與橢圓上任一點的切線相交于P1和P2，則.36已知橢圓（ab0），O為坐標(biāo)原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.37MN是經(jīng)過橢圓（ab0）過焦點的任一弦，若AB是經(jīng)過橢圓中心O且平行于MN的弦，則.38MN是經(jīng)過橢圓（ab0）焦點的任一弦，若過橢圓中心O的半弦，則.39設(shè)橢圓（ab0）,M(m,o)或(o, m)為其對稱軸上除中心，頂點外的任一點，過M引一條直線與橢圓相交于P、Q兩點，則直線A1P、A2Q(A1 ,A2為對稱軸上的兩頂點)的交點N在直線：(或)上.40設(shè)過橢圓焦點F作直線與橢圓相交P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點，則MFNF.41過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF.42設(shè)橢圓方程,則斜率為k(k0)的平行弦的中點必在直線：的共軛直線上,而且.43設(shè)A、B、C、D為橢圓上四點,AB、CD所在直線的傾斜角分別為，直線AB與CD相交于P,且P不在橢圓上,則.44已知橢圓（ab0）,點P為其上一點F1, F2為橢圓的焦點，的外（內(nèi)）角平分線為，作F1、F2分別垂直于R、S，當(dāng)P跑遍整個橢圓時，R、S形成的軌跡方程是().45設(shè)ABC內(nèi)接于橢圓，且AB為的直徑，為AB的共軛直徑所在的直線，分別交直線AC、BC于E和F，又D為上一點，則CD與橢圓相切的充要條件是D為EF的中點.46過橢圓（ab0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.47設(shè)A（x1,y1）是橢圓（ab0）上任一點，過A作一條斜率為的直線L，又設(shè)d是原點到直線L的距離,分別是A到橢圓兩焦點的距離，則.48已知橢圓（ab0）和（），一直線順次與它們相交于A、B、C、D四點，則AB=|CD.49已知橢圓（ab0） ,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點,則.50設(shè)P點是橢圓（ab0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2).51設(shè)過橢圓的長軸上一點B（m,o）作直線與橢圓相交于P、Q兩點，A為橢圓長軸的左頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于過B點的直線MN：于M，N兩點,則.52L是經(jīng)過橢圓（ab0）長軸頂點A且與長軸垂直的直線，E、F是橢圓兩個焦點，e是離心率,點，若，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.53L是橢圓（ab0）的準(zhǔn)線，A、B是橢圓的長軸兩頂點,點，e是離心率，H是L與X軸的交點c是半焦距，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.54L是橢圓（ab0）的準(zhǔn)線，E、F是兩個焦點，H是L與x軸的交點，點，,離心率為e，半焦距為c，則為銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.55已知橢圓（ab0），直線L通過其右焦點F2,且與橢圓相交于A、B兩點，將A、B與橢圓左焦點F1連結(jié)起來，則（當(dāng)且僅當(dāng)ABx軸時右邊不等式取等號，當(dāng)且僅當(dāng)A、F1、B三點共線時左邊不等式取等號）.56設(shè)A、B是橢圓（ab0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).57設(shè)A、B是橢圓（ab0）長軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點）、外部的兩點，且、的橫坐標(biāo)，（1）若過A點引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，則；（2）若過B引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，則.58設(shè)A、B是橢圓（ab0）長軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點），外部的兩點，（1）若過A點引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，（若B P交橢圓于兩點，則P、Q不關(guān)于x軸對稱），且，則點A、B的橫坐標(biāo)、滿足；（2）若過B點引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，且,則點A、B的橫坐標(biāo)滿足.59設(shè)是橢圓的長軸的兩個端點，是與垂直的弦，則直線與的交點P的軌跡是雙曲線.60過橢圓（ab0）的左焦點作互相垂直的兩條弦AB、CD則.61到橢圓（ab0）兩焦點的距離之比等于（c為半焦距）的動點M的軌跡是姊妹圓.62到橢圓（ab0）的長軸兩端點的距離之比等于（c為半焦距）的動點M的軌跡是姊妹圓.63到橢圓（ab0）的兩準(zhǔn)線和x軸的交點的距離之比為（c為半焦距）的動點的軌跡是姊妹圓（e為離心率）.64已知P是橢圓（ab0）上一個動點，是它長軸的兩個端點,且,，則Q點的軌跡方程是.65橢圓的一條直徑(過中心的弦)的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和長軸之長的比例中項.66設(shè)橢圓（ab0）長軸的端點為,是橢圓上的點過P作斜率為的直線，過分別作垂直于長軸的直線交于,則（1）.（2）四邊形面積的最小值是.67已知橢圓（ab0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交于A、B兩點,點在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點.68OA、OB是橢圓（a0,b0）的兩條互相垂直的弦，O為坐標(biāo)原點，則（1）直線AB必經(jīng)過一個定點.(2)以O(shè) A、O B為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌跡方程是.69是橢圓（ab0）上一個定點，P A、P B是互相垂直的弦，則（1）直線AB必經(jīng)過一個定點.（2）以P A、P B為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌跡方程是(且).70如果一個橢圓短半軸長為b，焦點F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，那么（1），且F1、F2在同側(cè)直線L和橢圓相切.（2），且F1、F2在L同側(cè)直線和橢圓相離，（3），或F1、F2在L異側(cè)直線L和橢圓相交.71AB是橢圓（ab0）的長軸，是橢圓上的動點，過的切線與過A、B的切線交于、兩點，則梯形ABDC的對角線的交點M的軌跡方程是.72設(shè)點為橢圓（ab0）的內(nèi)部一定點，AB是橢圓過定點的任一弦，當(dāng)弦AB平行（或重合）于橢圓長軸所在直線時.當(dāng)弦AB垂直于長軸所在直線時,.73橢圓焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切.74橢圓焦三角形的旁切圓必切長軸于非焦頂點同側(cè)的長軸端點.75橢圓兩焦點到橢圓焦三角形旁切圓的切線長為定值a+c與a-c.76橢圓焦三角形的非焦頂點到其內(nèi)切圓的切線長為定值a-c.77橢圓焦三角形中,內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.78橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e.79橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項.80橢圓焦三角形中,橢圓中心到內(nèi)點的距離、內(nèi)點到同側(cè)焦點的距離、半焦距及外點到同側(cè)焦點的距離成比例.81橢圓焦三角形中,半焦距、外點與橢圓中心連線段、內(nèi)點與同側(cè)焦點連線段、外點與同側(cè)焦點連線段成比例.82橢圓焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行.83橢圓焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足的距離為橢圓長半軸的長.84橢圓焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和橢圓長軸為直徑的圓的切點.85橢圓焦三角形中,非焦頂點的外角平分線與焦半徑、長軸所在直線的夾角的余弦的比為定值e.86橢圓焦三角形中,非焦頂點的法線即為該頂角的內(nèi)角平分線.87橢圓焦三角形中,非焦頂點的切線即為該頂角的外角平分線.88橢圓焦三角形中,過非焦頂點的切線與橢圓長軸兩端點處的切線相交,則以兩交點為直徑的圓必過兩焦點.89.已知橢圓(包括圓在內(nèi))上有一點,過點分別作直線及的平行線，與直線分別交于,為原點，則：.（1）；（2）.90.過平面上的點作直線及的平行線，分別交軸于，交軸于.（1）若，則的軌跡方程是.(2)若，則的軌跡方程是.91.點為橢圓(包括圓在內(nèi))在第一象限的弧上任意一點，過引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記與的面積為，則：. 92.點為第一象限內(nèi)一點，過引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記與的面積為，已知，則的軌跡方程是.12標(biāo)準(zhǔn)方程：34點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角.5PT平分PF1F2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.6以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交.7以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓外切.8設(shè)A1、A2為雙曲線的左、右頂點，則PF1F2在邊PF2（或PF1）上的旁切圓，必與A1A2所在的直線切于A2（或A1）.9雙曲線（a0,b0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.10若在雙曲線（a0,b0）上，則過的雙曲線的切線方程是.11若在雙曲線（a0,b0）外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.12AB是雙曲線（a0,b0）的不平行于對稱軸且過原點的弦，M為AB的中點，則.13若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是.14若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是.15若PQ是雙曲線（ba0）上對中心張直角的弦，則.16若雙曲線（ba0）上中心張直角的弦L所在直線方程為,則(1);(2).17給定雙曲線：（ab0）,：,則(i)對上任意給定的點,它的任一直角弦必須經(jīng)過上一定點M.(ii)對上任一點在上存在唯一的點,使得的任一直角弦都經(jīng)過點.18設(shè)為雙曲線（a0,b0）上一點，P1P2為曲線C的動弦,且弦P0P1, P0P2斜率存在，記為k1, k2,則直線P1P2通過定點的充要條件是.19過雙曲線（a0,bo）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）. 20雙曲線（a0,bo）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為，.21若P為雙曲線（a0,b0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1, F2是焦點,，則（或）.22雙曲線（a0,bo）的焦半徑公式：(,當(dāng)在右支上時，,.當(dāng)在左支上時，,.23若雙曲線（a0,b0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L，則當(dāng)1e時，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項.24P為雙曲線（a0,b0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內(nèi)一定點，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線且和在y軸同側(cè)時，等號成立.25雙曲線（a0,b0）上存在兩點關(guān)于直線：對稱的充要條件是.26過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.27過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.28P是雙曲線（a0，b0）上一點，則點P對雙曲線兩焦點張直角的充要條件是.29設(shè)A,B為雙曲線（a0,b0，）上兩點，其直線AB與雙曲線相交于,則.30在雙曲線中，定長為2m（m）0）的弦中點軌跡方程為,其中,當(dāng)時,.31設(shè)S為雙曲線（a0,bo）的通徑，定長線段L的兩端點A,B在雙曲線上移動，記|AB|=，是AB中點，則當(dāng)時，有,);當(dāng)時，有.32雙曲線（a0,b0）與直線有公共點的充要條件是.33雙曲線（a0,b0）與直線有公共點的充要條件是.34設(shè)雙曲線（a0,b0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在PF1F2中，記,，則有.35經(jīng)過雙曲線（a0,b0）的實軸的兩端點A1和A2的切線，與雙曲線上任一點的切線相交于P1和P2，則.36已知雙曲線（ba0），O為坐標(biāo)原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.37MN是經(jīng)過雙曲線（a0,b0）過焦點的任一弦(交于兩支)，若AB是經(jīng)過雙曲線中心O且平行于MN的弦，則.38MN是經(jīng)過雙曲線（ab0）焦點的任一弦(交于同支)，若過雙曲線中心O的半弦，則.39設(shè)雙曲線（a0,b0）,M(m,o)為實軸所在直線上除中心，頂點外的任一點，過M引一條直線與雙曲線相交于P、Q兩點，則直線A1P、A2Q(A1 ,A2為兩頂點)的交點N在直線：上.40設(shè)過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點，則MFNF.41過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q, A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF.42設(shè)雙曲線方程,則斜率為k(k0)的平行弦的中點必在直線：的共軛直線上,而且.43設(shè)A、B、C、D為雙曲線（a0,bo）上四點,AB、CD所在直線的傾斜角分別為，直線AB與CD相交于P,且P不在雙曲線上,則.44已知雙曲線（a0,b0）,點P為其上一點F1, F2為雙曲線的焦點，的外（內(nèi)）角平分線為，作F1、F2分別垂直于R、S，當(dāng)P跑遍整個雙曲線時，R、S形成的軌跡方程是().45設(shè)ABC三頂點分別在雙曲線上，且AB為的直徑，為AB的共軛直徑所在的直線，分別交直線AC、BC于E和F，又D為上一點，則CD與雙曲線相切的充要條件是D為EF的中點.46過雙曲線（a0,b0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.47設(shè)A（x1,y1）是雙曲線（a0,b0）上任一點，過A作一條斜率為的直線L，又設(shè)d是原點到直線L的距離,分別是A到雙曲線兩焦點的距離，則.48已知雙曲線（a0,b0）和（），一條直線順次與它們相交于A、B、C、D四點，則AB=|CD.49已知雙曲線（a0,b0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點,則或.50設(shè)P點是雙曲線（a0,b0）上異于實軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2).51設(shè)過雙曲線的實軸上一點B（m,o）作直線與雙曲線相交于P、Q兩點，A為雙曲線實軸的左頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于過B點的直線MN：于M，N兩點,則.52L是經(jīng)過雙曲線（a0,b0）焦點F且與實軸垂直的直線，A、B是雙曲線實軸的兩個焦點，e是離心率,點，若，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.53L是經(jīng)過雙曲線（a0,b0）的實軸頂點A且與x軸垂直的直線，E、F是雙曲線的準(zhǔn)線與x軸交點,點，e是離心率，H是L與X軸的交點c是半焦距，則是銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.54L是雙曲線（a0,b0）焦點F1且與x軸垂直的直線，E、F是雙曲線準(zhǔn)線與x軸交點，H是L與x軸的交點，點，,離心率為e，半焦距為c，則為銳角且或（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.55已知雙曲線（a0,b0），直線L通過其右焦點F2,且與雙曲線右支交于A、B兩點，將A、B與雙曲線左焦點F1連結(jié)起來，則（當(dāng)且僅當(dāng)ABx軸時取等號）.56設(shè)A、B是雙曲線（a0,b0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).57設(shè)A、B是雙曲線（a0,b0）實軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)（含焦點的區(qū)域）、外部的兩點，且、的橫坐標(biāo)，（1）若過A點引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，則；（2）若過B引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，則.58設(shè)A、B是雙曲線（a0,b0）實軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)（含焦點的區(qū)域），外部的兩點，（1）若過A點引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，（若B P交雙曲線這一支于兩點，則P、Q不關(guān)于x軸對稱），且，則點A、B的橫坐標(biāo)、滿足；（2）若過B點引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點，且,則點A、B的橫坐標(biāo)滿足.59設(shè)是雙曲線的實軸的兩個端點，是與垂直的弦，則直線與的交點P的軌跡是雙曲線.60過雙曲線（a0,b0）的右焦點作互相垂直的兩條弦AB、CD,則.61到雙曲線（a0,b0）兩焦點的距離之比等于（c為半焦距）的動點M的軌跡是姊妹圓.62到雙曲線（a0,b0）的實軸兩端點的距離之比等于（c為半焦距）的動點M的軌跡是姊妹圓.63到雙曲線（a0,b0）的兩準(zhǔn)線和x軸的交點的距離之比為（c為半焦距）的動點的軌跡是姊妹圓（e為離心率）.64已知P是雙曲線（a0,b0）上一個動點，是它實軸的兩個端點,且,，則Q點的軌跡方程是.65雙曲線的一條直徑(過中心的弦)的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和實軸之長的比例中項.66設(shè)雙曲線（a0,b0）實軸的端點為,是雙曲線上的點過P作斜率為的直線，過分別作垂直于實軸的直線交于,則（1）.（2）四邊形面積的最小值是.67已知雙曲線（a0,b0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于A