動(dòng)型的綜合題,并且由運(yùn)動(dòng)的幾何圖形來看,類型各異,頗具特色.doc

北京中考網(wǎng)北達(dá)教育旗下 電話北省中考數(shù)學(xué)最后一道壓軸題的命制，從1996年至2001年的近五年來呈現(xiàn)出一個(gè)規(guī)律：都是幾何圖形運(yùn)動(dòng)型的綜合題，并且由運(yùn)動(dòng)的幾何圖形來看，類型各異，頗具特色。一、單點(diǎn)運(yùn)動(dòng)型例1 (1999年河北省中考?jí)狠S題)如圖1-1，正方形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA邊與AB邊所在直線的解析式分別為：y=x和y=-x+。D、E分別為邊OC和AB的中點(diǎn)，P為OA邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)O不重合)，連結(jié)DE和CP，其交點(diǎn)為Q。(1)求證：點(diǎn)Q為COP的外心；(2)求正方形OABC的邊長(zhǎng)；(3)當(dāng)Q與AB相外切時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：(1)D、E分別為正方形OABC中OC、AB的中點(diǎn)，DEOA。Q也是CP的中點(diǎn)。又CP是RtCOP的斜邊，點(diǎn)Q為COP的外心。(2)由方程組解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，3)。過點(diǎn)A作AFox軸，垂足為點(diǎn)F。OF=4，AF=3。由勾股定理，得OA=5。(3)如圖1-2，當(dāng)COP的外接圓Q與AB相切時(shí)，圓心Q在直線DE上，且DEAB，E為Q與AB相切的切點(diǎn)。又AE和APO分別是Q的切線與割線AE2=APAOOA=5，AE=()2=AP5，AP=當(dāng)Q與AB相切時(shí)，OP=5-作PHox，垂足為H。PHAF，OH=，PH=點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)二、雙點(diǎn)互動(dòng)型例2 (1997年河北省中考?jí)狠S題)已知：如圖2-1，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AB=8厘米，AD=24厘米，BC=26厘米，AB為O的直徑。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AD邊向點(diǎn)D以1厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B以3厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)。P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。求：(1)t分別為何值時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形、等腰梯形？(2)t分別為何值時(shí)，直線PQ與O相切、相交、相離？解：(1)ADBC，只要QC=PD，四邊形PQCD為平行四邊形。此時(shí)，有3t=24-t，解，得t=6。即當(dāng)t=6秒時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形。同理，只要PQ=CD，PDQC，四邊形PQCD為等腰梯形。過P、D分別作BC的垂線交BC于E、F兩點(diǎn)(如圖2-2)，則由等腰梯形的性質(zhì)可知：EF=PD，QE=FC=2。2=3t(24-t)解得t=7t=7秒時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形。 (2)設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，直線PQ與O相切于點(diǎn)G(如圖2-3)，過P作PHBC，垂足為H。則PH=AB，BH=AP，即PH=8，HQ=26-3t-t=26-4t。由切線長(zhǎng)定理，得PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t。由勾股定理，得PQ2=PH2+HQ2，即(26-2t)2=82+(26-4t)2化簡(jiǎn)整理，得3t2-26t+16=0解，得t1=，t2=8即t=秒或t=8秒時(shí)，直線PQ與O相切。t=0(秒)時(shí)，PQ與O相交；當(dāng)t=8(秒)時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，P點(diǎn)尚未運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，但也停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)PQ也與O相交。當(dāng)t=或t=8時(shí)，直線PQ與O相切；當(dāng)0t或8t8時(shí)，直線PQ與O相交；當(dāng)t8時(shí)，直線PQ與O相離。三、直線平移型例3 (2000年河北省中考?jí)狠S題)在如圖3-1所示的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，四邊形OABC為平行四邊形，OA=2，AOC=60，以O(shè)A為直徑P經(jīng)過點(diǎn)C，點(diǎn)D在y軸上，DM為始終與y軸垂直且與AB邊相交的動(dòng)直線，設(shè)DM與AB邊的交點(diǎn)為M(點(diǎn)M在線段AB上，但與A、B兩點(diǎn)不重合)，點(diǎn)N是DM與BC的交點(diǎn)設(shè)OD=t。(1)求點(diǎn)A和B的坐標(biāo)；(2)設(shè)BMN的外接圓G的半徑為R，請(qǐng)你用t表示R及點(diǎn)G的坐標(biāo)；(3)當(dāng)G與P相切時(shí)，求直角梯形OAMD的面積。 解：(1)連結(jié)AC。OA為P的直徑，ACO=90又OA=2，AOC=60，OC=1，AC=點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,1)又OABC為平行四邊形，ABOC，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(,2)(2)DMy軸，且ABOC，DMAB。NMB=90G的圓心G為BN的中點(diǎn)。又B=AOC=60，BM=BN=R。而點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)=點(diǎn)D的縱坐標(biāo)=t，BM=2-t，R=2-t過點(diǎn)G作GHy軸，交x軸于點(diǎn)H，交DM于點(diǎn)F；過點(diǎn)G作GKx軸，交AB于點(diǎn)K(如圖3-2)。根據(jù)垂徑定理，得到：FM=MN，KM=BM。設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(x, y) NM=(2-t)x=DM-MN=-(2-t)=t，y=OD+BM=t+(2-t)=1+t。點(diǎn)G的坐標(biāo)為(t，1+t)。(3)連結(jié)GP，過點(diǎn)P作PEx軸，交GH于點(diǎn)E。由PEGE，根據(jù)勾股定理得：GP=當(dāng)G與P外切時(shí)，PG=R+1，=3-t。解得t=，經(jīng)檢驗(yàn)t=是原方程的根。此時(shí)，OD=t=，AM=1-MB=，DM=AC=此時(shí)，OD=t=，AM=1-MB=，DM=AC=，直角梯形OAMD的面積為：S=，DM=。四、點(diǎn)線共動(dòng)型例4 (2001年河北省中考?jí)狠S題)如圖4-1，在菱形ABCD中，AB=10，BAD=60。點(diǎn)M從點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著AD邊向點(diǎn)D移動(dòng)；設(shè)點(diǎn)M移動(dòng)的時(shí)間為t秒(0t10)。 (1)點(diǎn)N為BC邊上任意一點(diǎn)。在點(diǎn)M移動(dòng)過程中，線段MN是否一定可以將菱形分割成面積相等的兩部分？并說明理由；(2)點(diǎn)N從點(diǎn)B(與點(diǎn)M出發(fā)的時(shí)刻相同)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著BC邊向點(diǎn)C移動(dòng)，在什么時(shí)刻，梯形ABNM的面積最大？并求出面積的最大值；(3)點(diǎn)N從點(diǎn)B(與點(diǎn)M出發(fā)的時(shí)刻相同)以每秒a(a2)個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著射線BC方向(可以超越C點(diǎn))移動(dòng)，過點(diǎn)M作MPAB，交BC于點(diǎn)P。當(dāng)MPNABC時(shí)，設(shè)MPN與菱形ABCD重疊部分的面積為S，求出用t表示S的關(guān)系式，并求出S=0時(shí)a的值。解：(1)MN一定能在某一時(shí)刻將菱形ABCD分割成面積相等的兩部分。對(duì)于中心對(duì)稱圖形，過中心的任一直線均能將圖形分割成面積相等的兩部分。而且菱形是中心對(duì)稱圖形(如圖4-2所示)。在點(diǎn)M由A到D的移動(dòng)過程中，一定存在一個(gè)時(shí)刻，使得線段MN過菱形的中心。(2)過B作BEAD，垂足為E(如圖4-3)。在RtABE中，BE=10sin60=5AM=t，BN=2t，S梯形ABNM=(t+2t)5=t。2t10，t5當(dāng)t=5時(shí)，S梯形ABNM最大。最大面積為：5=。 (3)ABC是腰長(zhǎng)為10的等腰三角形。當(dāng)ABCABC時(shí)(如圖4-4)MP=10，PN=BC=10，且MP=PN。NC=PN-PC=BC-PC=PBBP=AM=t，PC=10-t，NC=t過P作PGDC，垂足為G。在RtPGC中，PG=PCsin60=(10-t)。設(shè)MN交DC于F，DCMP，且MP=PN，NFC=NMP=MNP，F(xiàn)C=NC=t。重疊部分MPCF是梯形，S=(t+10)(10-t)=-t2+25當(dāng)S=0，即-t2+25=0時(shí)，解得t1=10，t2=-10(舍去)BN=at，且BN=PN+PB=10+t，at=10+t。將t=10代入at=10+t，解得a=2。五、點(diǎn)圓齊動(dòng)型例5 (1998年河北省中考?jí)狠S題)如圖5-1所示，一艘輪船以20浬/時(shí)的速度由西向東航行，途中接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，臺(tái)風(fēng)中心正以40浬/時(shí)的速度由南向北移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心20浬的圓形區(qū)域(包括邊界)都屬臺(tái)風(fēng)區(qū)。當(dāng)輪船到A處時(shí)，測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心移到位于點(diǎn)A正南方向B處，且AB=100浬。 (1)若這艘輪船自A處按原速度繼續(xù)航行，在途中會(huì)不會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)？若會(huì)，試求輪船最初遇到臺(tái)風(fēng)的時(shí)間；若不會(huì)，請(qǐng)說明理由；(2)現(xiàn)輪船自A處立即提高航速，向位于東偏北30方向，相距60浬的D港駛?cè)ァ槭古_(tái)風(fēng)到來之前，到達(dá)D港，問船速至少應(yīng)提高多少(提高的船速取整數(shù)，3.6)？解：(1)設(shè)途中會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)，且最初遇到臺(tái)風(fēng)的時(shí)間為t小時(shí)，此時(shí)，輪船位于C處，臺(tái)風(fēng)中心移到E處，連結(jié)CE(如圖5-2)。則有AC=20t，AE=AB-BE=100-40t，EC=20。在RtAEC中，AC2+AE2=EC2，(20t)2+(100-40t)2=(20)2。整理，得t2-4t+3=0=(-4)2-413=40，途中會(huì)遇到臺(tái)風(fēng)。解，得t1=1，t2=3。最初遇到臺(tái)風(fēng)的時(shí)間為1小時(shí)。(2)設(shè)臺(tái)風(fēng)抵達(dá)D港時(shí)間為t小時(shí)，此時(shí)臺(tái)風(fēng)中心至M點(diǎn)。過D作DFAB，垂足為F，連結(jié)DM。在RtADF中，AD=60，F(xiàn)AD=60，DF=30，F(xiàn)A=30。又(30)2+(130-40t)2=(20)2，整理，得4t2-26t+39=0解之，得t1=，t2=。臺(tái)風(fēng)抵達(dá)D港的時(shí)間為小時(shí)。輪船從A處用小時(shí)到D港的速度為6025.5。因此，為使臺(tái)風(fēng)抵達(dá)D港之前輪船到D港，輪船至少應(yīng)提速6浬/時(shí)。連續(xù)五年的中考?jí)狠S題都以幾何圖形的運(yùn)動(dòng)為