高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.5 從力做的功到向量的數(shù)量積課件1 北師大版必修4.pptVIP

2 5從力做的功到向量的數(shù)量積 物理中我們學(xué)過(guò)功的概念 一個(gè)物體在力的作用下產(chǎn)生位移 如圖 力所做的功w可用下式計(jì)算 其中 是與的夾角 當(dāng)0 90 時(shí) w 0 即力f做正功 當(dāng) 90 時(shí) w 0 即力f不做功 當(dāng)90 180 時(shí) w 0 即力f做負(fù)功 從力所做的功出發(fā) 我們引入向量的數(shù)量積的概念 1 通過(guò)物理中 功 等實(shí)例 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義 幾何意義 重點(diǎn) 2 體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量射影的關(guān)系 3 掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律和它的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用 重點(diǎn) 4 能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角 會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系 難點(diǎn) 兩個(gè)非零向量和 作 則 叫作向量與的夾角 問(wèn)題1如何定義向量的夾角 計(jì)算向量的夾角時(shí)要將兩個(gè)向量起點(diǎn)放在一起 探究點(diǎn)1向量的數(shù)量積 由于零向量的方向是任意的 為方便起見(jiàn) 規(guī)定 零向量可與任一向量垂直 過(guò)點(diǎn)b作bb1垂直于直線oa 垂足為b1 則 cos 叫作向量在方向上的射影 也叫投影 當(dāng) 為銳角時(shí) cos 0 問(wèn)題2什么是向量的射影 b1 o b a 當(dāng) 0 時(shí) cos 當(dāng) 為鈍角時(shí) cos 0 當(dāng) 為直角時(shí) cos 0 o b a 當(dāng) 180 時(shí) cos b1 物理實(shí)例中 與位移方向一致的分力的長(zhǎng)度為 cos 即是力在方向上的射影 問(wèn)題3平面向量的數(shù)量積的定義如何 已知兩個(gè)向量與 它們的夾角為 我們把 cos 叫作與的數(shù)量積 或內(nèi)積 記作 cos 注意 向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量 特別地 零向量與任一向量的數(shù)量積為0 例1 已知 3 4 且與的夾角 150 求 解 cos 3 4 cos150 3 4 6 變式練習(xí) 已知 1 1 2 0 與的夾角 45 求 解 2 45 所以 cos 2 cos45 2 問(wèn)題4數(shù)量積的幾何意義是什么 特別提醒 1 2 若是單位向量 則 重要性質(zhì) 1 若是單位向量 則 2 3 4 5 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立 問(wèn)題5數(shù)量積的物理意義是什么 反之成立嗎 解答 不成立 解答 成立 思考 探究點(diǎn)2向量的數(shù)量積的運(yùn)算律 練習(xí) 判斷下列說(shuō)法的正誤 3 若 0 則 2 若 則對(duì)任一非零向量 有 0 1 若 則對(duì)任一向量 有 0 4 若 0 則 中至少有一個(gè)為 5 若 則 6 若 且 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)成立 7 對(duì)任意向量有 例2在 abc中 設(shè)邊bc ca ab的長(zhǎng)度分別為a b c 證明 a b c 2bccosa b c a 2cacosb c a b 2abcosc 證明 設(shè)則 同理可證其他兩式 我們把這個(gè)結(jié)果稱為余弦定理 b c 2bccosa 向量法證明幾何問(wèn)題的步驟 1 將三角形的邊用有向線段表示 2 根據(jù)向量的運(yùn)算及向量的幾何意義 寫出向量之間的關(guān)系 3 通過(guò)平方和向量的數(shù)量積整理出所要的結(jié)果 例3證明菱形的兩條對(duì)角線互相垂直 證明 菱形abcd中 ab ad 由于 可得 0 所以 即菱形的兩條對(duì)角線互相垂直 a b c d o 證明線段垂直的方法 1 取兩個(gè)不共線的向量作基底 2 將要證明的向量用這兩個(gè)向量表示 3 利用進(jìn)行證明 提升總結(jié) 例4已知單位向量 的夾角為60 求向量 的夾角 解 由單位向量 的夾角為60 得 又 設(shè)與的夾角為 由 可得 又所以 即向量與的夾角為 技巧點(diǎn)撥 1 以 為基底 計(jì)算的值 2 利用向量的夾角公式計(jì)算 1 判斷下列說(shuō)法的正誤 1 平面向量的數(shù)量積可以比較大小 2 3 已知為非零向量 因?yàn)? 0 所以 4 2 abc中 則該三角形為 a 銳角三角形b 直角三角形c 鈍角三角形d 不能確定 解析 由知 abc為銳角 由知 acb為鈍角 c c 5 在 abc中 m是線段bc的中點(diǎn) am 3 bc 10 則 16 2 6 若 a 1 b 2 且a b反向 則a b 解 本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了 1