第九屆“華為杯”全國(guó)研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題-簡(jiǎn)體.doc

【2012第九屆全國(guó)研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 B題】 基于衛(wèi)星無(wú)源探測(cè)的空間飛行器主動(dòng)段軌道估計(jì)與誤差分析有些國(guó)家會(huì)發(fā)射特殊目的的空間飛行器，如彈道式導(dǎo)彈、偵察衛(wèi)星等。對(duì)他國(guó)發(fā)射具有敵意的空間飛行器實(shí)施監(jiān)控并作出快速反應(yīng)，對(duì)于維護(hù)國(guó)家安全具有重要的戰(zhàn)略意義。發(fā)現(xiàn)發(fā)射和探測(cè)其軌道參數(shù)是實(shí)現(xiàn)監(jiān)控和作出反應(yīng)的第一步，沒(méi)有觀測(cè)，后續(xù)的判斷與反應(yīng)都無(wú)從談起。衛(wèi)星居高臨下，是當(dāng)今探測(cè)空間飛行器發(fā)射與軌道參數(shù)的重要平臺(tái)。觀測(cè)衛(wèi)星按軌道特點(diǎn)，可分為高軌地球同步軌道衛(wèi)星和中低軌近圓軌道衛(wèi)星。其中同步軌道距地球表面約3.6萬(wàn)千米，軌道平面與地球赤道平面重合，理論上用3顆間隔120度分布的同步軌道衛(wèi)星可覆蓋地球絕大部分表面。中低軌近圓軌道距地球表面數(shù)百到幾千千米不等，根據(jù)觀測(cè)要求，其軌道平面與赤道平面交成一定角度，且常由若干顆衛(wèi)星實(shí)現(xiàn)組網(wǎng)探測(cè)。裝置于衛(wèi)星上的探測(cè)器包括有源和無(wú)源兩類(lèi)：有源探測(cè)器采用主動(dòng)方式（如雷達(dá)，激光）搜尋目標(biāo)，同時(shí)具備定向和測(cè)距兩種能力；無(wú)源探測(cè)器則被動(dòng)接收目標(biāo)輻射。采用無(wú)源探測(cè)器的觀測(cè)衛(wèi)星常采用紅外光學(xué)探測(cè)器，只接收目標(biāo)的紅外輻射信息，可定向但不能測(cè)距。對(duì)于火箭尾部噴焰的高度敏感性是紅外技術(shù)的長(zhǎng)處，但易受氣候影響與云層干擾則是其缺點(diǎn)。探測(cè)的目的是為了推斷空間飛行器的軌道參數(shù)，推斷是基于觀測(cè)數(shù)據(jù)并通過(guò)數(shù)學(xué)模型與計(jì)算方法作出的。當(dāng)觀測(cè)衛(wèi)星飛行一段時(shí)間，探測(cè)器測(cè)得目標(biāo)相對(duì)于運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星的觀測(cè)數(shù)據(jù)，以觀測(cè)衛(wèi)星和空間飛行器的運(yùn)動(dòng)模型和觀測(cè)模型為基礎(chǔ)，對(duì)空間飛行器的軌道參數(shù)（包括軌道位置、速度初值和其他模型參數(shù)）進(jìn)行數(shù)學(xué)推斷，為飛行器類(lèi)別、飛行意圖的判斷提供信息基礎(chǔ)?？臻g飛行器軌道一般可分為三段，依次為：靠火箭推進(jìn)的主動(dòng)段、在地球外層空間的慣性飛行段和再入大氣層后的攻擊段。主動(dòng)段通常由多級(jí)火箭相繼推進(jìn)，前一級(jí)火箭完成推進(jìn)后脫落，由后一級(jí)火箭接力。慣性飛行段在空氣阻力極小的大氣層外，靠末級(jí)火箭關(guān)機(jī)前獲得的速度在橢圓軌道上作無(wú)動(dòng)力慣性飛行。攻擊段則根據(jù)任務(wù)需求，受控制后再入大氣層，飛向目標(biāo)。對(duì)于衛(wèi)星而言，在其壽命結(jié)束前一直繞地飛行，故無(wú)攻擊段。圖1是空間飛行器的主動(dòng)段示意圖（未按實(shí)際比例）。主動(dòng)段又可細(xì)分為若干子段：垂直上升段，程序拐彎段和重力斜飛段。按最優(yōu)軌道設(shè)計(jì)，為節(jié)約燃料，箭體應(yīng)盡快穿過(guò)稠密大氣層，故火箭一般先垂直發(fā)射。設(shè)A點(diǎn)為地面發(fā)射點(diǎn)，AB為垂直上升段，BC弧段為程序拐彎段，CD弧段為重力斜飛段，DE弧段為橢圓軌道。程序拐彎段連接垂直上升段與重力斜飛段，在外力矩控制下使箭體轉(zhuǎn)過(guò)一定角度，該段完成后外加力矩撤銷(xiāo)，進(jìn)入斜飛狀態(tài)。第一級(jí)火箭通常負(fù)擔(dān)“垂直段+程序拐彎段（加外力矩）+重力斜飛段的前段”的推進(jìn)（視發(fā)動(dòng)機(jī)的特性），重力斜飛段的后程則靠第二、第三級(jí)火箭相繼完成。由于斜飛狀態(tài)下地球引力與推力不在同一直線，所以箭體質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡為帶一定弧度的光滑曲線。圖1 空間飛行器主動(dòng)段軌道的示意圖為描述觀測(cè)衛(wèi)星和空間飛行器的運(yùn)動(dòng)，需要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。本題基礎(chǔ)坐標(biāo)系為隨地心平移的坐標(biāo)系，取地球中心為原點(diǎn)，地球自轉(zhuǎn)軸取為軸，指向北極為正向，軸由指向零時(shí)刻的0經(jīng)度線，再按右手系確定軸，建立直角坐標(biāo)系。地心在繞日橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)，所以理論上系是非慣性系。但地球公轉(zhuǎn)周期遠(yuǎn)大于空間飛行器的觀測(cè)弧段時(shí)長(zhǎng)，故本題在短時(shí)間內(nèi)認(rèn)定該系為慣性坐標(biāo)系，該基礎(chǔ)坐標(biāo)系不隨地球旋轉(zhuǎn)。圖2 觀測(cè)坐標(biāo)系示意圖第二個(gè)坐標(biāo)系是隨衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的觀測(cè)坐標(biāo)系，見(jiàn)圖2，原點(diǎn)取為衛(wèi)星中心，軸沿連線，離開(kāi)地球方向?yàn)檎?，軸與垂直指向正北，軸按右手系確定。由于一般測(cè)量衛(wèi)星的軌道都不會(huì)嚴(yán)格經(jīng)過(guò)南北極上空，所以這種坐標(biāo)系的定義是明確的。如此定義的觀測(cè)坐標(biāo)系也叫做UEN坐標(biāo)系，因?yàn)槿齻€(gè)坐標(biāo)軸分別指向上（UP）、東（EAST）和北（NORTH）三個(gè)方向。根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)，空間飛行器在基礎(chǔ)坐標(biāo)系下的主動(dòng)段的簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)方程如下： （1）其中向量表示飛行器所受的外力加速度之和，表示火箭產(chǎn)生的推力加速度，為瞬時(shí)質(zhì)量；是質(zhì)量變化率；為空間飛行器在基礎(chǔ)坐標(biāo)系下的位置矢量；表示對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，即加速度；為地球引力常數(shù)（本題中地球引力常數(shù)?。?，為了更明確地表示推力加速度的方向，取的是燃料相對(duì)于火箭尾部噴口的噴射速度的逆矢量。方程（1）中如果只保留右側(cè)第一項(xiàng)，則可以表示觀測(cè)衛(wèi)星的簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)方程： （2）在給定基礎(chǔ)坐標(biāo)系下的位置和速度初值情況下，可以利用常微分方程組數(shù)值解方法計(jì)算空間飛行器的運(yùn)動(dòng)軌跡。不同空間飛行器的本質(zhì)差異就在于和的模型不同，一般而言應(yīng)為嚴(yán)格單調(diào)遞減的非負(fù)函數(shù)。的方向一般應(yīng)與飛行器的速度方向接近或相同，其大小一般較為穩(wěn)定。觀測(cè)衛(wèi)星對(duì)于空間飛行器的觀測(cè)數(shù)據(jù)通過(guò)化簡(jiǎn)可以由觀測(cè)坐標(biāo)系下的兩個(gè)無(wú)量綱比值確定： （3）其中為空間飛行器在觀測(cè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。觀測(cè)數(shù)據(jù)不可避免地帶有各種誤差，觀測(cè)誤差包括隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差。本題假設(shè)隨機(jī)誤差為直接疊加在觀測(cè)數(shù)據(jù)上的白噪聲，可能產(chǎn)生于背景輻射干擾與信息處理等多個(gè)方面。系統(tǒng)誤差也包括多種來(lái)源，如衛(wèi)星定位誤差、指向機(jī)構(gòu)誤差、圖像校準(zhǔn)誤差、傳感器安裝誤差等等。在本題框架內(nèi)，我們假定只考慮與衛(wèi)星平臺(tái)相關(guān)的系統(tǒng)誤差，即不同觀測(cè)衛(wèi)星的系統(tǒng)誤差相互沒(méi)有關(guān)聯(lián)，同一觀測(cè)衛(wèi)星對(duì)于不同空間飛行器的系統(tǒng)誤差是一樣的。經(jīng)由適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化模型，各種系統(tǒng)誤差最終可以折合為觀測(cè)坐標(biāo)系的原點(diǎn)位置誤差和三軸指向誤差。根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，原點(diǎn)位置誤差影響較小，而三軸指向誤差影響較大，對(duì)三軸指向誤差進(jìn)行估計(jì)對(duì)于提高估計(jì)精度很有幫助，本題只考慮三軸指向誤差。三軸指向誤差在二維觀測(cè)數(shù)據(jù)平面上表現(xiàn)為兩個(gè)平移誤差和一個(gè)旋轉(zhuǎn)誤差，具體可以用三個(gè)常值小量來(lái)表示，分別表示第一觀測(cè)量的平移量、第二觀測(cè)量的平移量以及觀測(cè)量在平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)量。單個(gè)紅外光學(xué)探測(cè)器不具備測(cè)距能力，但借助多顆（含兩顆）觀測(cè)衛(wèi)星的同步觀測(cè)能夠進(jìn)行逐點(diǎn)定位，再結(jié)合空間飛行器的運(yùn)動(dòng)模型，可以進(jìn)行軌道參數(shù)估計(jì)。在單星觀測(cè)條件下，利用空間飛行器軌道的特殊性，結(jié)合較強(qiáng)的模型約束也可得到一定精度軌道參數(shù)估計(jì)。由于受大氣影響，垂直上升段的火箭尾焰不易觀測(cè)，程序拐彎段的運(yùn)動(dòng)方程又較為復(fù)雜，所以本題重點(diǎn)關(guān)注重力斜飛段的后程段，本題所附仿真數(shù)據(jù)也集中于此段。本題以中低軌近圓軌道衛(wèi)星為觀測(cè)星座對(duì)假想的空間飛行器進(jìn)行仿真觀測(cè)，生成仿真觀測(cè)數(shù)據(jù)，要求利用仿真觀測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)假想空間飛行器的軌道參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。本題所附文件包括：參數(shù)文件satinfo.txt用來(lái)存儲(chǔ)觀測(cè)衛(wèi)星信息，每行表示一顆衛(wèi)星，包含六列，分別表示零時(shí)刻衛(wèi)星在基礎(chǔ)坐標(biāo)系下的位置和速度。衛(wèi)星編號(hào)從上到下遞增并從0開(kāi)始。仿真數(shù)據(jù)文件meadata_i_j.txt用來(lái)存儲(chǔ)仿真觀測(cè)數(shù)據(jù)信息。i、j為占位符，表示編號(hào)為i的衛(wèi)星對(duì)編號(hào)為j的飛行器的仿真觀測(cè)數(shù)據(jù)信息，按照時(shí)間順序分行，每行分三列，分別是觀測(cè)時(shí)刻以及對(duì)應(yīng)觀測(cè)數(shù)據(jù)。本題所涉及的數(shù)據(jù)與結(jié)果，均應(yīng)采用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)單位，即：時(shí)間單位為秒、距離單位為米、速度單位為米每秒等等；所有位置和速度均指基礎(chǔ)坐標(biāo)系下的位置和速度。在僅考慮隨機(jī)誤差的條件下，請(qǐng)你們團(tuán)隊(duì)研究下列問(wèn)題：1. 觀測(cè)衛(wèi)星在任意時(shí)刻的位置計(jì)算是估計(jì)的前提，請(qǐng)根據(jù)satinfo.txt和觀測(cè)衛(wèi)星的簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)方程（2），計(jì)算09號(hào)觀測(cè)衛(wèi)星在50.0s、100.0s、150.0s、200.0s、250.0s五個(gè)時(shí)刻的三維位置。結(jié)果保留6位有效數(shù)字。2. 在本題給定的仿真數(shù)據(jù)下，06號(hào)和09號(hào)觀測(cè)衛(wèi)星對(duì)0號(hào)空間飛行器形成了立體交疊觀測(cè)，請(qǐng)結(jié)合立體幾何知識(shí)按照逐點(diǎn)交匯定位的思路，給出0號(hào)空間飛行器在公式（1）框架下的軌道估計(jì)，注意選取適當(dāng)?shù)暮偷谋硎灸Ｐ汀０凑諒?0.0s到170.0s間隔10.0s進(jìn)行采樣，計(jì)算并列表給出0號(hào)空間飛行器在各個(gè)采樣點(diǎn)的位置和速度，并給出估計(jì)殘差。結(jié)果保留6位有效數(shù)字。同時(shí)繪制0號(hào)空間飛行器的三個(gè)位置t-x、t-y、t-z和三個(gè)速度t-vx、t-vy、t-vz曲線示意圖。在同時(shí)考慮系統(tǒng)誤差的條件下，進(jìn)一步研究下列問(wèn)題：3. 若06和09號(hào)兩顆觀測(cè)衛(wèi)星均有可能帶有一定的系統(tǒng)誤差，對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行正確的估計(jì)能夠有效提高精度。利用上述的逐點(diǎn)交匯方法能否同時(shí)對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行估計(jì)？若不能，是否還有其他的思路能夠同時(shí)估計(jì)系統(tǒng)誤差與軌道？給出你的解決方案與估計(jì)結(jié)果。在報(bào)告中除給出與第二問(wèn)要求相同的結(jié)果外，還應(yīng)分別給出兩顆觀測(cè)衛(wèi)星的系統(tǒng)誤差估計(jì)結(jié)果，共六個(gè)數(shù)值，分別是兩顆衛(wèi)星的。如果你們還有時(shí)間和興趣，還可考慮下列：4. 對(duì)只有09號(hào)觀測(cè)衛(wèi)星單星觀測(cè)的01號(hào)空間飛行器進(jìn)行軌道估計(jì)，結(jié)果形式要求同第三問(wèn)，注意參考第三問(wèn)的系統(tǒng)誤差估計(jì)結(jié)果。并進(jìn)一步考慮在同時(shí)有多顆觀測(cè)衛(wèi)星觀測(cè)多個(gè)空間飛行器的情況下能否聯(lián)合進(jìn)行系統(tǒng)誤差估計(jì)？ 本題要求提供可計(jì)算出所提交報(bào)告中答案的計(jì)算程序，所使用的語(yǔ)言和工具不限，但推薦使用CC+、Fortran、Matlab、Mathematica、.。參考文獻(xiàn)1. 王志剛,施志佳.