基于直線插補(bǔ)思想實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)型CNC系統(tǒng)C刀補(bǔ)的算法研究

1 基于直線插補(bǔ)思想實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)型 CNC 系統(tǒng) C 刀補(bǔ)的算法研究（三） （先進(jìn)數(shù)控技術(shù)江蘇高校重點(diǎn)建設(shè)實(shí)驗(yàn)室（南京工程學(xué)院），江蘇 南京 210013） 摘要 ： 為在經(jīng)濟(jì)型 CNC 系統(tǒng)中全面實(shí)現(xiàn) C 功能刀補(bǔ)，提出一種簡(jiǎn)單有效的刀補(bǔ)建立和撤消方法，并對(duì)現(xiàn)行 C 刀補(bǔ)建立和撤消過程中的刀具中心軌跡加以修正，以解決刀具與工件輪廓之間的干涉問題。 關(guān)鍵詞 ： C 刀補(bǔ) 建立與撤消 直線插補(bǔ) 類型判別 轉(zhuǎn)接點(diǎn)計(jì)算 Arithmetic Study About Realizing C-cutter Radius Compensation in Economical CNC System Basing on Linear Interpolation Hua Mao-fa cao jin-jiang (Jiangsu province college key laboratory of Advanced Numerical control Technology (Nanjing Institute of Technology), Nanjing, 210013) Abstract: In order to realize comprehensively C-function cutter radius compensation in economical CNC system, the author puts forward a kind of simple and effective method of establishing and cancelling cutter radius compensation, and modifies the present cutter center path of establishing and canceling C function cutter radius compensation so as to solve the problem of the interference between the cutter and work-piece . Keywords: C-cutter radius compensation； Establishment and cancellation；Linear interpolation； Type differentiation； Connecting point calculation 0.前言 刀具半徑補(bǔ)償分為刀補(bǔ)建立、進(jìn)行和撤消三步。在文獻(xiàn) 1和 2中已經(jīng)討論了 C 功能刀補(bǔ)在經(jīng)濟(jì)型 CNC 系統(tǒng)中的進(jìn)行問題。本文將繼續(xù)引用直線插補(bǔ)思想，將刀補(bǔ)計(jì)算中的三角函數(shù)及開平方等運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的加、減運(yùn)算，為不具備復(fù)雜函數(shù)運(yùn)算功能的用單片機(jī)開發(fā)的經(jīng)濟(jì)型 CNC系統(tǒng)提供一種建立和撤消 C刀補(bǔ)的簡(jiǎn)單算法。同時(shí)，就目前 C 刀補(bǔ)建立與撤消方法中存在的刀具與工件輪廓有時(shí)會(huì)發(fā)生干涉（圖 1 中 AA ， CC 小于刀具半徑 r ）的問題，對(duì)刀補(bǔ)建立過程中的第一轉(zhuǎn)接點(diǎn)和撤消過程中的最后一轉(zhuǎn)接點(diǎn)進(jìn)行修正。 為方便起見，本文以 G42 為例，首先介紹刀具半徑矢量的刀偏分量算法，然后再分別討論刀補(bǔ)的建立和撤消過程中刀具中心軌跡上轉(zhuǎn)接點(diǎn)的算法。 2 1.刀具半徑矢量的刀偏分量算法 刀具半徑矢量與編程線段的關(guān)系有兩種：與直線段垂直；與圓弧段各點(diǎn)法線方向一致。據(jù)此關(guān)系，利用直線插補(bǔ)思想，沿直線或與圓弧段始、終點(diǎn)的法線方向進(jìn)行插補(bǔ)計(jì)算，求 刀具半徑矢量 rv 的刀偏分量（rX，rY）。 直線段刀具半徑矢量的刀偏分量的算法如圖 2a 所示，在直線 OE 上取|O D O D r (r 為刀具半徑 )，設(shè)直線 OE 的方程為 0uy vx，直線插補(bǔ)的偏差判別函數(shù)ij i iF uy vx，則插補(bǔ) r 段直線的遞推關(guān)系為 11001,10 , 00 1 ,0 1 ,0 , 0 , 0iijji j x x i j i ji j y y i j i jxyF r r F F vF r r F F ur r F 時(shí) ，時(shí) ， （ 1） 當(dāng) 2 2 2ijxyr r r時(shí) ， 到 達(dá) 插 補(bǔ) 終 點(diǎn) 。 因 此 ， 設(shè) 置 終 點(diǎn) 判 別 函 數(shù)2 2 2()ijij x yG r r r 。同樣可得終點(diǎn)判別函數(shù) G 的遞推關(guān)系為 1 1 ,1 , 120 , 01 , 2 11 , 2 1i x xiij j jx i j i jy y i j i j yr r G G rr r G G rGr （ 2） 當(dāng) 0ijG 時(shí)，插補(bǔ)結(jié)束，刀具半徑矢量 rv 的刀偏分量為 ryxrrxyr式中xr，yr的符號(hào)分別與 u、 v 相同。 圖 1 刀補(bǔ)建立與撤消過程中刀具 圖 2 刀具半徑矢量與編程線段的關(guān)系 與工件輪 廓的干涉 O1r 2rArACCB4r3r2r3rryrrYDrXrxr D E ( u , v )Ya)X0ArXBrXBrYArYAr AAr BBBYb)X0 3 圓弧段刀具半徑矢量的算法如圖 2b 所示，插補(bǔ)計(jì)算方法與直線段完全相同，分別沿 AO 、 BO 插補(bǔ)計(jì)算，起點(diǎn) A 處刀偏分量rAx、rAy和終點(diǎn) B 處刀偏分量rBx、rBy的符號(hào)分別與圓心 O 相對(duì) A 點(diǎn)和 B 點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)一致 。 2.刀補(bǔ)的建立 刀補(bǔ)的建立有直線與直線相接和直線與圓弧相接兩種。 （ 1）直線接直線 直線接直線的轉(zhuǎn)接類型如圖 3 中虛線（刀具中心軌跡）所示有三種，即縮短型（圖 3a）、伸長(zhǎng)型（圖 3b、 c、 d）和插入型（圖 3e）。主要依據(jù)轉(zhuǎn)接角 來判斷其轉(zhuǎn)接類型。 圖 3 直線接直線的刀補(bǔ)建立轉(zhuǎn)接類型 1）確定轉(zhuǎn)接角 轉(zhuǎn)接角 定義為刀補(bǔ)建立線段 O!A與編程線段 AB 之間的逆時(shí)針夾角（圖 4）。設(shè) A 點(diǎn)相對(duì) O1點(diǎn)的坐標(biāo)為11( , )uv， B 點(diǎn)相對(duì) A 點(diǎn)的坐標(biāo)為（22,uv），將 xoy 坐標(biāo)系平移至 A 點(diǎn)，并旋轉(zhuǎn)一 角，使 x 軸與線段1OA重合，則 B 點(diǎn)在 xAy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為 1 2 1 21|Bu u v vx OA 1 2 1 21|Bu v v uy OA （ 3） A 1 1AA ( X , Y )1AAA(X ,Y )A ( X , Y )2 A 22AA 3 3AA ( X , Y )3A 2 2A2A ( X , Y )1A ( X , Y )A 11AA(X ,Y )AAA AA(X ,Y )1A ( X , Y )A 11A1A ( X , Y )A 11AAAA(X ,Y )AA1A1Arrrd1O1O1A (X,Y)BBBBA(X ,Y )dYa)X0Yb)X0BB1OrrYc) X0YP ( X , Y )r2r+2rr 1r1X BB10Yd) X01r12rrrrBBYe) X00 4 由于式中 |1OA|0，所以由式（ 3）可得轉(zhuǎn)接角 范圍如下： 當(dāng)1 2 1 2u v vu0 時(shí) , 270 2） 計(jì)算轉(zhuǎn)接點(diǎn)的坐標(biāo) 當(dāng) 180時(shí)，有兩種轉(zhuǎn)接情形： a.當(dāng)?shù)堆a(bǔ)建立線段起點(diǎn)1O到直線 AB 的距離 dr （ r 為刀具半徑，為避免開方運(yùn)算，可用 22dr 代替 dr ）時(shí)，為縮短型（圖3a）； b.當(dāng) dr 時(shí)，為縮短型（圖 3b）。為縮短型時(shí)，轉(zhuǎn)接點(diǎn)1A的坐標(biāo)為 圖 4 直線接直線的轉(zhuǎn)接角 1A A rx x x1A A ry y y為伸長(zhǎng)型時(shí)，轉(zhuǎn)接點(diǎn)1A的坐標(biāo)為 11A A r rA A r rx x x yy y y x （ 4） 式中rx、ry為垂直于線段 AB 的刀具半徑矢量的分量。 當(dāng) 1 8 0 2 7 0 時(shí)，為伸長(zhǎng)型。圖 3c 為 180時(shí)的伸長(zhǎng)情形，利用式（ 4）即可求得其轉(zhuǎn)接點(diǎn)1A的坐標(biāo)。圖 3d 為 1 8 0 2 7 0 時(shí)的伸長(zhǎng)情形，轉(zhuǎn)接點(diǎn)1A的坐標(biāo)為 1 1 1A A r rx x x y 1 1 1A A r ry y y x 式中1rx、1ry為垂直于刀補(bǔ)建立段1OA的刀具半徑矢量 1rv 的分量。轉(zhuǎn)接點(diǎn)2A顯然在矢量 12rrv uv方向上，因此， 可沿 12rrv uv（2 1 21 ,r r r rx x y y）方向逐點(diǎn)插補(bǔ)求2A點(diǎn)。設(shè)2AA上任意一點(diǎn) P 在 xAy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（ x ， y ），則當(dāng) P 點(diǎn)到直線1OA的距離112211|v x u ydruv時(shí)， P 點(diǎn)就是轉(zhuǎn)接點(diǎn)2A。據(jù)此關(guān)系，設(shè)置終點(diǎn)判別函數(shù)1OY XBOYX 5 2 2 2 21 1 1 1( ) ( )G r u v v x u y ，其遞推關(guān)系為 221 1 , 1 1 1 11 , 1 1 1 1 12 2 20 , 0 1 11 , 2 21 , 2 2()i i i j i j i jj j i j i j j ix x G G v x v u y vy y G G u y v u x uG r u v （ 5） 當(dāng) 0ijG 時(shí)，停止插補(bǔ)。所求轉(zhuǎn)接點(diǎn)2A在 xoy 坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為 2AAx x x2AAy y y當(dāng) 270時(shí)，為插入型（圖 4e）。三個(gè)轉(zhuǎn)接點(diǎn)的坐標(biāo)為 1 1 1A A r rx x x y 1 1 1A A r ry y y x 2 1 1A A r rx x x y 2 1 1A A r ry y y x 3 2 2A A r rx x x y 3 2 2A A r ry y y x 式中2rx、2ry為垂直于線段 AB 的刀具半徑矢量的分量。 （ 2）直線接圓弧 以直線接順圓 G02 為例，其轉(zhuǎn)接類型如圖 5 中虛線（刀具中心軌跡）所示也有三種，即縮短型（圖 5a）、伸長(zhǎng)型 (圖 5b、 c、 d)和插入型 (圖 5e)。其轉(zhuǎn)接類型的判別同樣主要依據(jù)轉(zhuǎn)接角 。 圖 5 直線接順圓的刀補(bǔ)建立轉(zhuǎn)接類型 1）確定轉(zhuǎn)接角 BBAA ( X, Y)AA 3 3A3A ( X , Y )1A ( X , Y )A 11AA 2 2A2A ( X , Y )A ( X , Y )3 A 33AA ( X , Y )2 A 22AA 1 1AA ( X , Y )1A 4 4A4A ( X , Y )AA ( X , Y )AAAA (X , Y)A ( X , Y )2 A 22A1A ( X , Y )A 11AAAA 2 2AA 1 1AA AAA1O 2rr1rr 2r1OBBe) XOY2rr 2+1rrrP ( X ,Y )XY2Od)YO 1XO21r2A ( X , Y )Xr21YO Xc)rOOBBYOb)A ( X , Y )1A (X , Y)rd OOBBEA (X , Y)11112A ( X , Y )rOd EBBOXa)OY 6 如圖 6 所示，按逆時(shí)針 方向定義刀補(bǔ)建立直線段1OA與圓弧段 AB 起點(diǎn)處的半徑2AO的夾角 為轉(zhuǎn)接角。設(shè)刀補(bǔ)建立段終點(diǎn) A 相對(duì)于起點(diǎn)1O的坐標(biāo)為（1u，1v），編程輪廓圓弧段 AB 的圓心2O相對(duì) 于起點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（2OI，2OJ），則參照（ 3）式得2O在 xAy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為： 222222111111|OOOOOOu I v JxOAu J v IyOA （ 6） 其中1| | 0OA。所以由（ 6）式得轉(zhuǎn)接角 范圍如下： 當(dāng)2 2 2 21 1 1 10 , 0O O O Ou I v J u J v I 時(shí)， 90 當(dāng)2 2 2 21 1 1 10 , 0O O O Ou I v J u J v I 時(shí)， 9 0 1 8 0 當(dāng)2211 0OOu J v I時(shí)， 180 當(dāng)2211 0OOu I v J，22110OOu J v I時(shí)， 90 2）計(jì)算轉(zhuǎn)接點(diǎn)坐標(biāo) 當(dāng) 90時(shí)，有兩種轉(zhuǎn)接情形： a.當(dāng)?shù)堆a(bǔ)建立段起點(diǎn)1O到圓弧段起點(diǎn) A 的切矢 Euv的距離 dr （刀具半徑）時(shí)，為縮短型（圖5a）； b.當(dāng) dr 時(shí)，為伸長(zhǎng)型 (圖 5b)。切矢 Euv和距離 d 由已知條件很容易求得。為縮短型時(shí)，轉(zhuǎn)接點(diǎn)1A的坐標(biāo)為 1A A rx x x1A A ry y y為伸長(zhǎng)型時(shí)，轉(zhuǎn)接點(diǎn)1A、2A的坐標(biāo)為 1122A A r rA A r rA A rA A rx x x yy y y xx x xy y y （ 7） ABO 2O 1XYO XY圖 6 直線接順圓的轉(zhuǎn)接角 7 式中rx、ry為圓弧起點(diǎn)處的刀偏分量。 當(dāng) 9 0 1 8 0 時(shí)，為伸長(zhǎng)型。圖 5c 為 90時(shí)的伸長(zhǎng)情形，轉(zhuǎn)接點(diǎn)1A、2A坐標(biāo)的計(jì)算式與（ 7）式相同。圖 5d 為 9 0 1 8 0 時(shí)的伸長(zhǎng) 情形，轉(zhuǎn)接點(diǎn)1A、3A坐標(biāo)的計(jì)算式為 1 1 1A A r rx x x y 1 1 1A A r ry y y x 22A A rx x x22A A ry y y式中1rx、1ry是刀補(bǔ)建立段1OA的刀偏分量，2rx、2ry是圓弧段起點(diǎn)的刀偏分量。轉(zhuǎn)接點(diǎn)2A顯然在矢量 12rrv uv方向上，同樣可沿 12rrv uv（21rrxx，12rryy）方向逐點(diǎn) 插補(bǔ)求2A點(diǎn)。設(shè)2AA上任一點(diǎn) P 在 xAy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（ x ， y ），則當(dāng)2 2 2P A r A P 時(shí)， P 點(diǎn)就是2A點(diǎn)。因此，設(shè)置終點(diǎn)判別函數(shù)112 2 2 2 2( ) ( ) ( )rrG r x x y y x y ，其遞推關(guān)系為 111 1 ,1 , 120 , 01 , 21 , 22i i i j i j rj j i j i j rx x G G xy y G G yGr （ 8） 當(dāng) 0ijG 時(shí)，結(jié)束插補(bǔ)，所求轉(zhuǎn)接點(diǎn)2A在 xoy 坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為 2AAx x x2AAy y y當(dāng) 180時(shí)，為插入型（圖 5e）。