多彩課堂高中數(shù)學 1.3.1 函數(shù)的單調性與導數(shù)（2）課件 新人教A版選修22.ppt

第1章導數(shù)及應用1 3 1函數(shù)的單調性與導數(shù) 函數(shù)的單調性與導數(shù) 內容 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 應用 利用導函數(shù)判斷原函數(shù)大致圖象 利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間 從導數(shù)的角度解釋增減及增減快慢的情況 有關含參數(shù)的函數(shù)單調性問題 本課主要學習利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 利用動畫剪紙之對稱性引入新課 接著復習了函數(shù)單調性的相關問題 通過探究跳水運動中高度h隨時間t變化的函數(shù)的圖象 討論運動員的速度v隨時間t變化的函數(shù)關系 再結合具體函數(shù) 探究函數(shù)在某個點處的導數(shù)值與函數(shù)在該點處的單調性問題 結合具體例子探索函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系 利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性或求函數(shù)的單調區(qū)間 從導數(shù)的角度解釋增減及增減快慢的情況及含參數(shù)的函數(shù)單調性問題 重點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 會求函數(shù)的單調區(qū)間 采用例題與變式練習相結合的方法 通過4個例題探討利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性問題 隨后是5道課堂檢測 通過設置難易不同的必做和選做試題 對不同的學生進行因材施教 動畫剪紙之對稱性 函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型 研究函數(shù)時 了解函數(shù)的增與減 增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質是非常重要的 通過研究函數(shù)的這些性質 我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解 函數(shù)的單調性與函數(shù)的導數(shù)一樣都是反映函數(shù)變化情況的 那么函數(shù)的單調性與函數(shù)的導數(shù)是否有著某種內在的聯(lián)系呢 創(chuàng)設情景 復習引入 一般地 對于給定區(qū)間d上的函數(shù)f x 若對于屬于區(qū)間d的任意兩個自變量的值x1 x2 當x1 x2時 有 問題1 函數(shù)單調性的定義怎樣描述的 1 若f x1 f x2 那么f x 在這個區(qū)間上是增函數(shù) 2 若f x1 f x2 那么f x 在這個區(qū)間上是減函數(shù) 2 作差f x1 f x2 作商 2 用定義證明函數(shù)的單調性的一般步驟 1 任取x1 x2 d 且x1 x2 4 定號 判斷差f x1 f x2 的正負 與 比較 3 變形 因式分解 配方 通分 提取公因式 5 結論 3 研究函數(shù)的單調區(qū)間你有哪些方法 1 觀察法 觀察圖象的變化趨勢 2 定義法 4 討論函數(shù)y x2 4x 3的單調性 定義法 單增區(qū)間 單減區(qū)間 圖象法 5 確定函數(shù)f x xlnx在哪個區(qū)間內是增函數(shù) 哪個區(qū)間內是減函數(shù) 提出問題 1 你能畫出函數(shù)的圖象嗎 2 能用單調性的定義嗎 試一試 提問一個學生 解決了嗎 到哪一步解決不了 產生認知沖突 發(fā)現(xiàn)問題 定義是解決單調性最根本的工具 但有時很麻煩 甚至解決不了 尤其是在不知道函數(shù)的圖象的時候 如該例 這就需要我們尋求一個新的方法來解決 引導 隨著時間的變化 運動員離水面的高度的變化有什么趨勢 是逐漸增大還是逐步減小 如圖 1 它表示跳水運動中高度h隨時間t變化的函數(shù)h t 4 9t2 6 5t 10的圖象 圖 2 表示高臺跳水運動員的速度v隨時間t變化的函數(shù)的圖象 運動員從起跳到最高點 以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別 通過觀察圖象 我們可以發(fā)現(xiàn) 1 運動員從起點到最高點 離水面的高度h隨時間t的增加而增加 即h t 是增函數(shù) 相應地 2 從最高點到入水 運動員離水面的高度h隨時間t的增加而減少 即h t 是減函數(shù) 相應地 函數(shù)的單調性可簡單的認為是 說明函數(shù)的變化率可以反映函數(shù)的單調性 即函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調性有著密切的聯(lián)系 上述情況是否具有一般性呢 導數(shù)的幾何意義是函數(shù)在該點處的切線的斜率 函數(shù)圖象上每個點處的切線的斜率都是變化的 那么函數(shù)的單調性與導數(shù)有什么關系呢 觀察下面函數(shù)的圖象 探討函數(shù)的單調性與其導數(shù)正負的關系 2 再觀察函數(shù)y x2 4x 3的圖象 該函數(shù)在區(qū)間 2 上單減 切線斜率小于0 即其導數(shù)為負 而當x 2時其切線斜率為0 即導數(shù)為0 函數(shù)在該點單調性發(fā)生改變 在區(qū)間 2 上單增 切線斜率大于0 即其導數(shù)為正 如果 那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞增 如果 那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞減 如果在某個區(qū)間內恒有f x 0 則f x 為常數(shù)函數(shù) 結論 在某個區(qū)間 a b 內 函數(shù)在某個點處的導數(shù)值與函數(shù)在該點處的單調性的關系是 一般地 設函數(shù)y f x 在某個區(qū)間 a b 內可導 則函數(shù)在該區(qū)間 如果在某個區(qū)間內恒有f x 0 則f x 為常數(shù)函數(shù) 如果f x 0 則f x 在這個區(qū)間為增函數(shù) 則f x 在這個區(qū)間為減函數(shù) 如果f x 0 函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系 若f x 在區(qū)間 a b 上是增函數(shù) 則轉化為在 a b 上恒成立 若f x 在區(qū)間 a b 上是減函數(shù) 則轉化為在 a b 上恒成立 例1 已知導函數(shù)的下列信息 試畫出函數(shù)f x 圖象的大致形狀 利用導函數(shù)判斷原函數(shù)大致圖象 解 大體圖象為 已知導函數(shù)的下列信息 試畫出函數(shù)f x 圖象的大致形狀 利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間 例2 判斷下列函數(shù)的單調性 并求出單調區(qū)間 根據(jù)導數(shù)確定函數(shù)的單調性步驟 1 確定函數(shù)f x 的定義域 2 求出函數(shù)的導數(shù)f x 3 解不等式f x 0 得函數(shù)單增區(qū)間 解不等式f x 0 得函數(shù)單減區(qū)間 利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性及求單調區(qū)間應注意的問題 1 在利用導數(shù)討論函數(shù)的單調區(qū)間時 首先要確定函數(shù)的定義域 解決問題的過程中 只能在定義域內 通過討論導數(shù)的符號 來判斷函數(shù)的單調區(qū)間 2 在對函數(shù)劃分單調區(qū)間時 除了必須確定使導數(shù)等于零的點外 還有注意在定義域內不連續(xù)點和不可導點 3 如果一個函數(shù)具有相同單調性的單調區(qū)間不止一個 這些單調區(qū)間中間不能用 連接 而只能用 逗號 或 和 字隔開 例3如圖 水以常速 即單位時間內注入水的體積相同 注入下面四種底面積相同的容器中 請分別找出與各容器對應的水的高度h與時間t的函數(shù)關系圖象 a b c d h t o h t o h t o h t o 從導數(shù)的角度解釋增減及增減快慢的情況 解 1 b 2 a 3 d 4 c 一般地 如果一個函數(shù)在某一范圍內導數(shù)的絕對值較大 那么函數(shù)在這個范圍內變化得快 這時 函數(shù)的圖象就比較 陡峭 向上或向下 反之 函數(shù)的圖象就 平緩 一些 如圖 函數(shù)在或內的圖象 陡峭 在或內的圖象平緩 有關含參數(shù)的函數(shù)單調性問題 1 函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系 如何從導數(shù)的角度解釋增減及增減快慢的情況 數(shù)學知識 2 求解函數(shù)y f x 單調區(qū)間的步驟 確定函數(shù)y f x 的定義域 養(yǎng)成研究函數(shù)的性質從定義域出發(fā)的習慣 求導數(shù)f x 得結論 f x 且在定義域內的為增區(qū)間 f x 0且在定義域內的為減區(qū)間 數(shù)學思想 數(shù)形結合和轉化思想 3 由函