2018高中數學第1章立體幾何初步第二節(jié)點直線面的位置關系2空間中兩條直線的位置關系學案蘇教版.docx

空間中兩條直線的位置關系一、考點突破知識點課標要求題型說明空間中兩條直線的位置關系1. 會判斷空間中直線與直線的位置關系；2. 能應用公理4和等角定理解決簡單的立體幾何問題；3. 理解異面直線所成的角的概念，能借助長方體模型說明異面直線所成的角 選擇題填空題解答題本節(jié)知識在對立體幾何的學習中起到了承上啟下的作用，空間中直線與直線的位置關系是立體幾何中最基本的位置關系，是在平面中兩直線的位置關系及平面基本性質的基礎上提出來的，它既是研究空間點、直線、平面之間各種位置關系的開始，又是學習這些位置關系的基礎，要讓在學習中認真體會把空間問題平面化的思想方法二、重難點提示重點：異面直線的概念、異面直線所成的角及其求法，公理4的運用。難點：異面直線概念的理解與求法?？键c一：空間中兩條直線的位置關系【要點詮釋】1. 若無特別說明，本書中的兩條直線均指不重合的兩條直線。2. 異面直線定義中“不同在任何一個平面內”是指“不可能找到一個平面能同時包含這兩條直線”，也可理解為“這兩條直線不能確定一個平面”不可誤解為“分別在兩個平面內的兩條直線”。3. 異面直線的判定方法：定義法：不同在任何一個平面內的兩條直線。定理法：“過平面外一點與平面內一點的直線，和平面內不經過該點的直線是異面直線”。符號表示：若l，A，B，Bl，則直線AB與l是異面直線。排除法：其核心思想是反證法。4. 異面直線所成角（1）定義：已知兩條異面直線a，b經過空間任意一點O，作直線aa，bb，我們把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a，b所成的角。（2）異面直線所成的角的取值范圍：090。（3）若兩條異面直線a，b所成角是直角，就稱異面直線a，b互相垂直，記作ab。5. 異面直線的畫法：以輔助平面襯托不共面的特征?？僧嫵上铝星闆r：考點二：平行直線1. 公理4文字表述：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表述：。2. 等角定理如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。符號表述：如果和的邊，,并且方向相同，則?！倦S堂練習】已知正方體ABCDA1B1C1D1，判斷下列直線的位置關系：直線A1B與直線D1C的位置關系是_；直線A1B與直線B1C的位置關系是_；直線D1D與直線D1C的位置關系是_；直線AB與直線B1C的位置關系是_。思路分析：根據題目條件知道直線D1D與直線D1C相交于D1點，所以應該填“相交”；直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒有交點，則兩直線“平行”；所以應該填“平行”；點A1、B、B1在一個平面A1BB1內，而C不在平面A1BB1內，則直線A1B與直線B1C“異面”，同理，直線AB與直線B1C“異面”，所以都應該填“異面”。答案：平行異面相交異面技巧點撥：空間中判斷兩條直線位置關系的方法：（1）從是否有交點的角度：（2）從是否共面的角度：例題1 （公理4及等角定理的應用）在正方體ABCDA1B1C1D1中，P、Q、M、N分別為AD、AB、C1D1、B1C1的中點，求證：A1PCN，A1QCM，且PA1QMCN。思路分析：取A1B1的中點K證明MKBC為平行四邊形證明A1QBK為平行四邊形得出A1QCM同理可證A1PCN證明PA1QMCN。答案：取A1B1的中點K，連接BK、KM，易知四邊形MKBC為平行四邊形，CMBK，又A1KBQ且A1KBQ，四邊形A1KBQ為平行四邊形，A1QBK，由公理4有A1QCM，同理可證A1PCN，由于PA1Q與MCN對應邊分別平行，且方向相反，PA1QMCN。技巧點撥：1. 空間兩條直線平行的證明：定義法：即證明兩條直線在同一個平面內且兩直線沒有公共點；利用公理4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行。2. 證明有關角相等問題，一般采用下面三種途徑：（1）利用等角定理及其推論；（2）利用三角形相似；（3）利用三角形全等。本例題是通過第一種途徑來實現解答的，請同學們考慮利用第三種途徑予以證明。例題2 （異面直線所成的角）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，求下列異面直線所成的角。（1）AA1與BC；（2）DD1與A1B；（3）A1B與AC。思路分析：答案：（1）ABCDA1B1C1D1為正方體，AA1BB1，又BB1BC，AA1BC，AA1與BC所成的角為90；（2）又DD1A1A，在正方形A1ABB1中，BA1A45，故DD1與A1B所成的角為45；（3）A1AC1C，四邊形A1ACC1為平行四邊形，A1C1AC，在A1BC1中，A1BBC1A1C1，BA1C160.故A1B與AC所成的角為60。技巧點撥：1. 求兩條異面直線所成角的關鍵是作出異面直線所成的角，作兩條異面直線所成角的方法是：將其中一條平移到某個位置使其與另一條相交或是將兩條異面直線同時平移到某個位置使它們相交。2. 對于平移點的選取，為了方便計算，該點常選在兩條異面直線中的一條直線上，如端點、中點等。異面直線所成角的求法【滿分訓練】正方體AC1中，E、F分別是A1B1、B1C1的中點，求異面直線DB1與EF所成角的大小。思路分析：本題主要考查異面直線所成角的求法，關鍵是作出異面直線所成的角，根據定義作出角，即可求解。答案：方法一如圖，連接A1C1，B1D1，并設它們相交于點O，取DD1的中點G，連接OG，則OGB1D，EFA1C1，GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補角，GA1GC1，O為A1C1的中點，GOA1C1，異面直線DB1與EF所成的角為90。方法二如圖，連接A1D，取A1D的中點H，連接HE，則HEDB1，HEF為所求異面直線DB1與EF所成的角或其補角，連接HF，設AA11，則EF，HE，取A1D1的中點I，連接IF，IH，則HIIF，HF2HI2IF2，HF2EF2HE2，HEF90，異面直線DB1與EF所成的角為90。方法三分別取AA1，CC1的中點M，N，連接MN，則MNEF，如圖所示，連接DM，B1N，則B1NDM，四邊形DMB1N為平行四邊形，MN與DB1必相交，設交點為P，DPM為異面直線DB1與EF所成的角或其補角，設AA11，則MP，DM，DP，DM2DP2MP2，DPM90，DB1EF，異面直線DB1與EF所成的角為90。方法四在原正方體的右側補上一個與其全等的正方體，連接B1Q，則B1QEF，如圖，直線DB1與B1Q所成的較小的角就是異面直線DB1與EF所成的角，通過計算，不難得到：B1D2B1Q2DQ2，異面直線DB1與EF所成的角為90。技巧點撥：1. 求兩條異面直線所成角的步驟：（1）恰當選點，用平移法構造出一個相交角；（2）證明這個角就是異面直線所成的