高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.3蝗制教案北師大版.docx

1.3 弧度制整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 在物理學(xué)和日常生活中,一個(gè)量常常需要用不同的方法進(jìn)行度量,不同的度量方法可以滿足我們不同的需要.現(xiàn)實(shí)生活中有許多計(jì)量單位,如度量長(zhǎng)度可以用米、厘米、尺、碼等不同的單位制,度量重量可以用千克、斤、噸、磅等不同的單位制,度量角的大小可以用度為單位進(jìn)行度量,并且一度的角等于周角的,記作1. 通過(guò)類比引出弧度制,給出1弧度的定義,然后通過(guò)探究得到弧度數(shù)的絕對(duì)值公式,并得出角度和弧度的換算方法.在此基礎(chǔ)上,通過(guò)具體的例子,鞏固所學(xué)概念和公式,進(jìn)一步認(rèn)識(shí)引入弧度制的必要性.這樣可以盡量自然地引入弧度制,并讓學(xué)生在探究過(guò)程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合與實(shí)數(shù)集的一一對(duì)應(yīng),為學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)奠定基礎(chǔ). 通過(guò)探究討論,關(guān)鍵弄清1弧度角的定義,使學(xué)生建立弧度的概念,理解弧度制的定義,達(dá)到突破難點(diǎn)之目的.通過(guò)電教手段的直觀性,使學(xué)生進(jìn)一步理解弧度作為角的度量單位的可靠性、可行性.通過(guò)周角的兩種單位制的度量,得到角度與弧度的換算公式.使學(xué)生認(rèn)識(shí)到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者雖單位不同,但卻是互相聯(lián)系、辯證統(tǒng)一的.進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)辯證統(tǒng)一思想的理解,滲透數(shù)學(xué)中普遍存在、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn).三維目標(biāo)1.通過(guò)類比長(zhǎng)度、重量的不同度量制,使學(xué)生體會(huì)一個(gè)量可以用不同的單位制來(lái)度量,從而引出弧度制.2.通過(guò)探究使學(xué)生認(rèn)識(shí)到角度制和弧度制都是度量角的制度,通過(guò)總結(jié)引入弧度制的好處,學(xué)會(huì)歸納整理并認(rèn)識(shí)到任何新知識(shí)的學(xué)習(xí),都會(huì)為解決實(shí)際問(wèn)題帶來(lái)方便,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):理解弧度制的意義,并能進(jìn)行角度和弧度的換算.教學(xué)難點(diǎn):弧度的概念及其與角度的關(guān)系.課時(shí)安排 1課時(shí)教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課 思路1.(類比導(dǎo)入)測(cè)量人的身高常用米、厘米為單位進(jìn)行度量,這兩種度量單位是怎樣換算的?家庭購(gòu)買水果常用千克、斤為單位進(jìn)行度量,這兩種度量單位又是怎樣換算的?度量角的大小除了以度為單位度量外,還可采用哪種度量角的單位制?它們是怎樣換算的? 思路2.(情境導(dǎo)入)利用古代度量時(shí)間的一種儀器日晷,或者利用普遍使用的鐘表.實(shí)際上我們使用的鐘表是用時(shí)針、分針和秒針角度的變化來(lái)確定時(shí)間的.無(wú)論采用哪一種方法,度量一個(gè)確定的量所得到的量數(shù)必須是唯一確定的.在初中,已學(xué)過(guò)利用角度來(lái)度量角的大小,現(xiàn)在來(lái)學(xué)習(xí)角的另一種度量方法弧度制.推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題問(wèn)題:在初中幾何里,我們學(xué)習(xí)過(guò)角的度量,1的角是怎樣定義的呢?問(wèn)題:我們從度量長(zhǎng)度和重量上知道,不同的單位制能給我們解決問(wèn)題帶來(lái)方便.那么角的度量是否也能用不同單位制呢?活動(dòng):教師先讓學(xué)生思考或討論問(wèn)題,并讓學(xué)生回憶初中有關(guān)角度的知識(shí),為更好地理解角度弧度的關(guān)系奠定基礎(chǔ).我們知道,半徑不同時(shí),同樣的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是不相等的,但通過(guò)度量和計(jì)算發(fā)現(xiàn),當(dāng)半徑不同時(shí),同樣的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑之比是常數(shù),這個(gè)常數(shù)我們稱為該角的弧度數(shù).討論后教師提問(wèn)學(xué)生,并對(duì)回答好的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng),對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問(wèn)題的關(guān)鍵.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究,對(duì)任意一個(gè)0360的角,我們以它的頂點(diǎn)為圓心,畫單位圓就能得到它的弧度數(shù).不難看出,不同的角,其弧度數(shù)一定不相同,而且角越大,它的弧度數(shù)越大.因此,我們可以用角的弧度數(shù)來(lái)度量角的大小.我們規(guī)定長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度的角.以弧度為單位來(lái)度量角的制度叫作弧度制;在弧度制下,1弧度記作1 rad.如圖1中,的長(zhǎng)等于半徑r,所對(duì)的圓心角AOB就是1弧度的角,即=1.圖1討論結(jié)果:1的角可以理解為將圓周角分成360等份,每一等份的弧所對(duì)的圓心角就是1.它是一個(gè)定值,與所取圓的半徑大小無(wú)關(guān).能,用弧度制.提出問(wèn)題 問(wèn)題:作半徑不等的甲、乙兩圓,在每個(gè)圓上作出等于其半徑的弧長(zhǎng),連接圓心與弧的兩個(gè)端點(diǎn),得到兩個(gè)角,將乙圖移到甲圖上,兩個(gè)角有什么樣的關(guān)系? 問(wèn)題:如果一個(gè)半徑為r的圓的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是l,那么的弧度數(shù)是多少?既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它們之間如何換算?活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)和歸納角度制和弧度制的關(guān)系,提問(wèn)學(xué)生歸納的情況,讓學(xué)生找出區(qū)別和聯(lián)系.教師給予補(bǔ)充和提示,對(duì)表現(xiàn)好的學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng),對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示和鼓勵(lì).引入弧度之后,應(yīng)與角度進(jìn)行對(duì)比,使學(xué)生明確:第一,弧度制是以“弧度”為單位來(lái)度量角的單位制,角度制是以“度”為單位來(lái)度量角的單位制;第二,1弧度是等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角(或這條弧)的大小,而1的角是周角的;第三,無(wú)論是以“弧度”還是以“度”為單位,角的大小都是一個(gè)與半徑大小無(wú)關(guān)的定值.教師要強(qiáng)調(diào)為了讓學(xué)生習(xí)慣使用弧度制,本教科書在后續(xù)的內(nèi)容中盡量采用弧度制.討論結(jié)果:完全重合,因?yàn)槎际?弧度的角. =;將角度化為弧度:360=2rad,1=rad0.01745rad,將弧度化為角度:2rad=360,1rad=()57.30=5718.弧度制與角度制的換算公式:設(shè)一個(gè)角的弧度數(shù)為rad=(),n=n(rad).提出問(wèn)題 問(wèn)題:引入弧度之后,在平面直角坐標(biāo)系中,終邊相同的角應(yīng)該怎么用弧度來(lái)表示?扇形的面積與弧長(zhǎng)公式用弧度怎么表示? :填寫下列的表格,并找出某種規(guī)律. 的長(zhǎng)OB旋轉(zhuǎn)的方向AOB的弧度數(shù)AOB的度數(shù)r逆時(shí)針?lè)较?r逆時(shí)針?lè)较騬1-2-0180360活動(dòng):教師先點(diǎn)明教科書上為什么設(shè)置這個(gè)“探究”?其意圖是先根據(jù)所給圖像對(duì)一些特殊角填表,然后概括出一般情況.通過(guò)學(xué)生合作交流,討論并總結(jié)出規(guī)律,提問(wèn)學(xué)生的總結(jié)情況,讓學(xué)生板書.教師對(duì)做正確的學(xué)生給予表?yè)P(yáng),對(duì)沒(méi)有總結(jié)完全的學(xué)生進(jìn)行必要的提示. 由上表可知,如果一個(gè)半徑為r的圓的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是l,那么的弧度數(shù)的絕對(duì)值是這里,應(yīng)當(dāng)注意從數(shù)學(xué)思想的高度引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“換算”問(wèn)題,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它們一定可以換算.推而廣之,同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象用不同方式表示時(shí),它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系,認(rèn)識(shí)這種聯(lián)系性也是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一. 教師點(diǎn)撥:角的概念推廣后,在弧度制下,角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系:每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng);反過(guò)來(lái),每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng).值得注意的是:今后在表示與角終邊相同的角時(shí),有弧度制與角度制兩種單位制,要根據(jù)角的單位來(lái)決定另一項(xiàng)的單位,即兩項(xiàng)所用的單位制必須一致,絕對(duì)不能出現(xiàn)k360+或者2k+60一類的寫法.在弧度制中,與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可以寫成=+2k (kZ)的形式.如圖2為角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.圖2討論結(jié)果:與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可以寫成=+2k (kZ)的形式.弧度制下關(guān)于扇形的公式為l=R,S=R2,S=R.的長(zhǎng)OB旋轉(zhuǎn)的方向AOB的弧度數(shù)AOB的度數(shù)r逆時(shí)針?lè)较?802r逆時(shí)針?lè)较?360r逆時(shí)針?lè)较?57.32r順時(shí)針?lè)较?2-114.6r順時(shí)針?lè)较?1800未施轉(zhuǎn)00r逆時(shí)針?lè)较?802r逆時(shí)針?lè)较?360應(yīng)用示例思路1例1 下列各命題中,是真命題的是( )A.一弧度是一度的圓心角所對(duì)的弧B.一弧度是長(zhǎng)度為半徑的弧C.一弧度是一度的弧與一度的角之和D.一弧度是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角,它是角的一種度量單位活動(dòng):本例目的是讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下理解弧度制與角度制的聯(lián)系與區(qū)別,以達(dá)到熟練掌握定義.從實(shí)際教學(xué)上看,弧度制不難理解,學(xué)生結(jié)合角度制很容易記住. 根據(jù)弧度制的定義:我們把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫作一弧度的角.對(duì)照各項(xiàng),可知D為真命題.答案:D點(diǎn)評(píng):本題考查弧度制下角的度量單位:1弧度的概念.變式訓(xùn)練下列四個(gè)命題中,不正確的一個(gè)是( )A.半圓所對(duì)的圓心角是radB.周角的大小是2C.1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于該圓的半徑D.長(zhǎng)度等于半徑的弦所對(duì)的圓心角的大小是1弧度答案:D例2 把45化成弧度.解:45=45rad=rad.例3 把rad化成度.解:rad=180=108.例4 將下列用弧度制表示的角化為2k+kZ,0,2)的形式,并指出它們所在的象限:-;-20;-2.活動(dòng):本題的目的是讓學(xué)生理解什么是終邊相同的角,教師給予指導(dǎo)并討論歸納出一般規(guī)律.即終邊在x軸、y軸上的角的集合分別是:|=k,kZ,|=+k,kZ.第一、二、三、四象限角的集合分別為:|2k2k+,kZ,|2k+2k+,kZ,|2k+2k+,kZ,|2k+2k+2,kZ.解:-=-4+,是第一象限角.=10+,是第二象限角.-20=-36.28-1.16,是第四象限角.-2-3.464,是第二象限角.點(diǎn)評(píng):在這類題中對(duì)于含有的弧度數(shù)表示的角,我們先將它化為2k+kZ,0,2)的形式,再根據(jù)角終邊所在的位置進(jìn)行判斷,對(duì)于不含有的弧度數(shù)表示的角,取=3.14,化為k6.28+,kZ,|0,6.28)的形式,通過(guò)與,比較大小,估計(jì)出角所在的象限.變式訓(xùn)練 (1)把-1 480寫成2k+(kZ,0,2)的形式; (2)若-4,0),且與(1)中終邊相同,求.解:(1)-1 480=-=-10+,02,-1 480=2(-5)+.(2)與終邊相同,=2k+,kZ.又-4,0),1=-,2=-.思路21.已知02,且與7終邊相同,求.活動(dòng):本例目的是讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下會(huì)用弧度制求終邊相同的角,并通過(guò)獨(dú)立完成課后練習(xí)真正領(lǐng)悟弧度制的要領(lǐng),最終達(dá)到熟練掌握.從實(shí)際教學(xué)來(lái)看,用弧度制解決角的問(wèn)題很容易卻難掌握,很有可能記錯(cuò)或者混淆或者化簡(jiǎn)錯(cuò)誤,學(xué)生需多做些這方面的題來(lái)練基本功.可先讓學(xué)生多做相應(yīng)的隨堂練習(xí),在黑板上當(dāng)場(chǎng)演練,教師給予批改指導(dǎo),對(duì)易出錯(cuò)的地方特別強(qiáng)調(diào).對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的種種失誤,教師不要著急,在學(xué)生的練習(xí)操作中一一糾正,這對(duì)以后學(xué)習(xí)大有好處. 解:由已知,得7=2k+,kZ,即6=2k.=. 又02,02.kZ,當(dāng)k=1、2、3、4、5時(shí),=、點(diǎn)評(píng):本題是在一定的約束條件下,求與角終邊相同的角,一般地,首先將這樣的角表示為2k+kZ,0,2)的形式,然后在約束條件下確定k的值,進(jìn)而求適合條件的角.例2 已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為a,求當(dāng)扇形的圓心角多大時(shí),扇形的面積最大,并求這個(gè)最大值.活動(dòng):這是一道應(yīng)用題,并且考查了函數(shù)思想,教師提示學(xué)生回顧一下用函數(shù)法求最值的思路與步驟,教師提問(wèn)學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的掌握和鞏固,并對(duì)回答好的學(xué)生進(jìn)行表?yè)P(yáng),對(duì)回答不全面的學(xué)生給予一定的提示和鼓勵(lì).教師補(bǔ)充.函數(shù)法求最值所包括的五個(gè)基本環(huán)節(jié):(1)選取自變量;(2)建立目標(biāo)函數(shù);(3)指出函數(shù)的定義域;(4)求函數(shù)的最值;(5)作出相應(yīng)結(jié)論.其中自變量的選取不唯一,建立目標(biāo)函數(shù)結(jié)合有關(guān)公式進(jìn)行,函數(shù)定義域要根據(jù)題意確定,有些函數(shù)是結(jié)構(gòu)確定求最值的方法,并確保在定義域內(nèi)能取到最值.解:設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l,半徑為r,圓心角為,面積為S.由已知,2r+l=a,即l=a-2r.S=lr= (a-2r)r=-r2+r=-(r-)2+.r0,l=a-2r0,0r.當(dāng)r=時(shí),=此時(shí),l=a-2=,=2.故當(dāng)扇形的圓心角為2rad時(shí),扇形的面積取最大值點(diǎn)評(píng):這是一個(gè)最大值問(wèn)題,可用函數(shù)法求解,即將扇形的面積S表示成某個(gè)變量的函數(shù),然后求這個(gè)函數(shù)的最大值及相應(yīng)的圓心角.變式訓(xùn)練 已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為+4,圓心角為80,求這個(gè)扇形的面積.解:設(shè)扇形的半徑為r,面積為S,由已知知道,扇形的圓心角為80=,扇形的弧長(zhǎng)為r,由已知,r+2r=+4,r=2,S=,r2=故扇形的面積為點(diǎn)評(píng):求解扇形問(wèn)題的關(guān)鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長(zhǎng)三個(gè)量中的任意兩個(gè)量.相反,也可由扇形的面積結(jié)合其他條件,求扇形的圓心角、半徑、弧長(zhǎng).解題時(shí)要注意公式的靈活變形及方程思想的運(yùn)用.知能訓(xùn)練習(xí)題13 1、2、3、4、5.課堂小結(jié) 由學(xué)生總結(jié)弧度制的定義,角度與弧度的換算公式與方法.教師強(qiáng)調(diào)角度制與弧度制是度量角的兩種不同的單位制,它們是互相聯(lián)系,辯證統(tǒng)一的;角度與弧度的換算,關(guān)鍵要理解并牢記180=rad這一關(guān)系式,由此可以很方便地進(jìn)行角度與弧度的換算;三個(gè)注意的問(wèn)題,同學(xué)們要切記;特殊角的弧度數(shù),同學(xué)們要熟記. 重要的一點(diǎn)是,同學(xué)們自己找到了角的集合與實(shí)數(shù)集R的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,對(duì)弧度制下的弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式有了深刻的理解,要把這兩個(gè)公式記下來(lái),并在解決實(shí)際問(wèn)題中靈活運(yùn)用,表?yè)P(yáng)學(xué)生能總結(jié)出引入弧度制的好處,這種不斷總結(jié),不斷歸納,梳理知識(shí),編織知識(shí)的網(wǎng)絡(luò),特別是同學(xué)們善于聯(lián)想、積極探索的學(xué)習(xí)品質(zhì),會(huì)使我們終生受用,這樣持之以恒地堅(jiān)持下去,你會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)王國(guó)的許多寶藏,以服務(wù)于社會(huì),造福于人類.作業(yè)習(xí)題13 6、8.設(shè)計(jì)感想 本節(jié)課的設(shè)計(jì)思想是:在學(xué)生的探究活動(dòng)中通過(guò)類比引入弧度制這個(gè)概念并突破這個(gè)難點(diǎn).因此一開始要讓學(xué)生從圖形、代數(shù)兩方面深入探究,不要讓開始的探究成為一種擺設(shè).如果學(xué)生一開始沒(méi)有很好的理解,那么以后有些題怎么做就怎么難受.通過(guò)探究讓學(xué)生明確知識(shí)依附于問(wèn)題而存在,方法為解決問(wèn)題的需要而產(chǎn)生.將弧度制的概念的形成過(guò)程自然地貫徹到教學(xué)活動(dòng)中去,由此把學(xué)生的思維推到更寬的廣度. 本節(jié)設(shè)計(jì)的特點(diǎn)是由特殊到一般、由易到難,這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律;讓學(xué)生在探究中積累知識(shí),發(fā)展能力,對(duì)形成科學(xué)的探究未知世界的嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)有著良好的啟迪.但由于學(xué)生知識(shí)水平的限制,本節(jié)不能擴(kuò)展太多,建議讓學(xué)有余力的學(xué)生繼續(xù)總結(jié)歸納用弧度來(lái)計(jì)量角的好處并為后續(xù)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 根據(jù)本節(jié)特點(diǎn)可考慮分層推進(jìn)、照顧全體.對(duì)優(yōu)等生,重在引導(dǎo)他們變式思維的訓(xùn)練,培養(yǎng)他們求同思維、求異思維的能力,以及思維的靈活性、深刻性與創(chuàng)造性.鼓勵(lì)他們獨(dú)立思考,勇于探索,敢于創(chuàng)新,對(duì)正確的要予以肯定,對(duì)暴露出來(lái)的問(wèn)題要及時(shí)引導(dǎo)、剖析糾正,使課堂學(xué)習(xí)成為再發(fā)現(xiàn)再創(chuàng)造的過(guò)程.備課資料一、密位制度量角 度量角的單位制,除了角度制、弧度制外,軍事上還常用密位制.密位制的單位是“密位”.1密位就是圓的所對(duì)的圓心角(或這條弧)的大小.因?yàn)?60=6 000密位,所以1=16.7密位,1密位=0.06=3.6216. 密位的寫法是在百位上的數(shù)與十位上的數(shù)之間畫一條短線,例如7密位寫成007,讀作“零,零七”,478密位寫成478,讀作“四,七八”.二、備用習(xí)題1.一條弦的長(zhǎng)度等于圓的半徑,則這條弦所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)是( )A. B. C.1 D.2.圓的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,而弧長(zhǎng)也增大到原來(lái)的2倍,則( )A.扇形的面積不變 B.扇形的圓心角不變C.扇形的面積增大到原來(lái)的2倍 D.扇形的圓心角增大到原來(lái)的2倍3.下列表示的為終邊相同的角的是( )A.k+與2k+(kZ) B.與k+(kZ)C.k-與k+(kZ) D.(2k+1)與3k(kZ)4.已知扇形的周長(zhǎng)為6cm,面積為2cm2,求扇形的中心角的弧度數(shù).5.若(-,0),(0,),求+,-的范圍,并指出它們各自所在的象限.6.用弧度表示頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊重合于x軸的非負(fù)半軸,終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界,如圖3所示).圖37.(1)角,的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱,寫出與的關(guān)系式;(2)角,的終邊關(guān)于直線y=-x對(duì)稱,寫出與的關(guān)系式.參考答案:1.A 2.B 3.C4.解:設(shè)扇形所在圓的半徑為R,扇形的中心角為,依題意有R+2R=6,且R2=2,R=1,=4或R=2,=1.=4或1.5.解:-+,+在第一象限或第四象限,或+的終邊在x軸的非負(fù)半軸上.-0,-在第三象限或第四象限,或-