內(nèi)蒙古鄂爾多斯市康巴什新區(qū)第二中學八年級數(shù)學上冊 第十三章 軸對稱 13.4 課題學習 最短路徑問題課件2 （新版）新人教版.ppt

13 4課題學習最短路徑問題 課件說明 本節(jié)課以數(shù)學史中的一個經(jīng)典問題 將軍飲馬問題 為載體開展對 最短路徑問題 的課題研究 讓學生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學的線段和最小問題 再利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為 兩點之間 線段最短 或 三角形兩邊之和大于第三邊 問題 學習目標 能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題 體會圖形的變化在解決最值問題中的作用 感悟轉(zhuǎn)化思想 學習重點 利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為 兩點之間 線段最短 問題 課件說明 引言 前面我們研究過一些關(guān)于 兩點的所有連線中 線段最短 連接直線外一點與直線上各點的所有線段中 垂線段最短 等的問題 我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴} 現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題 本節(jié)將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史中著名的 將軍飲馬問題 引入新知 問題1相傳 古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者 名叫海倫 有一天 一位將軍專程拜訪海倫 求教一個百思不得其解的問題 從圖中的a地出發(fā) 到一條筆直的河邊l飲馬 然后到b地 到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短 探索新知 精通數(shù)學 物理學的海倫稍加思索 利用軸對稱的知識回答了這個問題 這個問題后來被稱為 將軍飲馬問題 你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎 探索新知 追問1這是一個實際問題 你打算首先做什么 將a b兩地抽象為兩個點 將河l抽象為一條直線 探索新知 1 從a地出發(fā) 到河邊l飲馬 然后到b地 2 在河邊飲馬的地點有無窮多處 把這些地點與a b連接起來的兩條線段的長度之和 就是從a地到飲馬地點 再回到b地的路程之和 探索新知 追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思 并把它抽象為數(shù)學問題嗎 探索新知 追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思 并把它抽象為數(shù)學問題嗎 3 現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點 設(shè)c為直線上的一個動點 上面的問題就轉(zhuǎn)化為 當點c在l的什么位置時 ac與cb的和最小 如圖 追問1對于問題2 如何將點b 移 到l的另一側(cè)b 處 滿足直線l上的任意一點c 都保持cb與cb 的長度相等 探索新知 問題2如圖 點a b在直線l的同側(cè) 點c是直線上的一個動點 當點c在l的什么位置時 ac與cb的和最小 追問2你能利用軸對稱的有關(guān)知識 找到上問中符合條件的點b 嗎 探索新知 問題2如圖 點a b在直線l的同側(cè) 點c是直線上的一個動點 當點c在l的什么位置時 ac與cb的和最小 作法 1 作點b關(guān)于直線l的對稱點b 2 連接ab 與直線l相交于點c 則點c即為所求 探索新知 問題2如圖 點a b在直線l的同側(cè) 點c是直線上的一個動點 當點c在l的什么位置時 ac與cb的和最小 探索新知 問題3你能用所學的知識證明ac bc最短嗎 證明 如圖 在直線l上任取一點c 與點c不重合 連接ac bc b c 由軸對稱的性質(zhì)知 bc b c bc b c ac bc ac b c ab ac bc ac b c 探索新知 問題3你能用所學的知識證明ac bc最短嗎 探索新知 問題3你能用所學的知識證明ac bc最短嗎 證明 在 ab c 中 ab ac b c ac bc ac bc 即ac bc最短 若直線l上任意一點 與點c不重合 與a b兩點的距離和都大于ac bc 就說明ac bc最小 探索新知 追問1證明ac bc最短時 為什么要在直線l上任取一點c 與點c不重合 證明ac bc ac bc 這里的 c 的作用是什么 探索新知 追問2回顧前面的探究過程 我們是通過怎樣的過程 借助什么解決問題的 運用新知 練習如圖 一個旅游船從大橋ab的p處前往山腳下的q處接游客 然后將游客送往河岸bc上 再返回p處 請畫出旅游船的最短路徑 運用新知 基本思路 由于兩點之間線段最短 所以首先可連接pq 線段pq為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路 將河岸抽象為一條直線bc 這樣問題就轉(zhuǎn)化為 點p q在直線bc