高中數(shù)學 2.6對數(shù)與對數(shù)函數(shù)配套課件 北師大版.pptVIP

第六節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 三年7考高考指數(shù) 1 理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì) 知道用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)或常用對數(shù) 了解對數(shù)在簡化運算中的作用 2 理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性 掌握對數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點 會畫底數(shù)為2 10 的對數(shù)函數(shù)的圖像 3 體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型 4 了解指數(shù)函數(shù)y ax a 0 且a 1 與對數(shù)函數(shù)y logax a 0 且a 1 互為反函數(shù) 1 對數(shù)的運算及對數(shù)函數(shù)的圖像 性質(zhì)是高考重點 主要考查利用對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì) 比較函數(shù)值大小 求定義域 值域 單調(diào)區(qū)間 最值及研究零點 奇偶性等問題 同時考查分類討論 數(shù)形結(jié)合 轉(zhuǎn)化與化歸思想 2 常與方程 不等式等知識交匯命題 多以選擇 填空題的形式考查 3 預測2013年高考仍將以對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)為主要考點 重點考查運用知識解決問題的能力 1 對數(shù)的定義 1 對數(shù)的定義 請根據(jù)下圖的提示填寫與對數(shù)有關(guān)的概念 其中a的取值范圍是 a 0且a 1 2 兩種常見對數(shù) 常用對數(shù) 自然對數(shù) 即時應(yīng)用 1 若2x 5 則x 若log3x 2 則x 2 將log23用常用對數(shù)表示為 用自然對數(shù)表示為 答案 1 log2532 2 2 對數(shù)的性質(zhì) 換底公式與運算性質(zhì) 性質(zhì) 換底公式 運算性質(zhì) a 0 且a 1 m 0 n 0 結(jié)論 條件 a1 0 aa 1 a an n a 0且a 1 n 0 a mn am an 即時應(yīng)用 1 若a 0 a 1 x y 0 n n 判斷下列各式的正誤 請在括號中填 或 logax n logaxn logax 2 則x 3 計算 解析 1 是錯誤的 如 log24 3 8 log243 log226 6 是正確的 是錯誤的 如 是正確的 是正確的 設(shè) 2 由 3 原式 答案 1 2 3 4 3 對數(shù)函數(shù)的定義 圖像與性質(zhì) 1 對數(shù)函數(shù)的概念 解析式 自變量 定義域 y logax a 0 a 1 x 0 2 對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì) 1 定義域 0 2 值域 r 3 當x 1時 y 0 即過定點 1 0 4 在 0 上為增函數(shù) 4 在 0 上為減函數(shù) 即時應(yīng)用 1 判斷下列函數(shù)是否是對數(shù)函數(shù) 請在括號中填 是 或 否 y log2 x 1 y log2x 1 y 2log3x y lnx 2 函數(shù)y loga x 1 2 a 0 a 1 的圖像恒過一定點是 3 設(shè)p log23 q log32 r log2 log32 則p q r的大小關(guān)系為 解析 1 由對數(shù)函數(shù)的定義可知 是對數(shù)函數(shù) 2 依題意 當x 2時 函數(shù)y loga x 1 2 a 0 a 1 的值為2 所以其圖像恒過定點 2 2 3 p log23 log22 1 即p 1 0 log31 q log32 log33 1 即0 q 1 0 log32 1 log2 log32 log21 0 即r 0 r q p 答案 1 否 否 否 否 否 是 2 2 2 3 r q p 4 反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y ax a 0 a 1 與對數(shù)函數(shù) a 0 a 1 互為反函數(shù) 它們的圖像關(guān)于直線 對稱 y logax y x 即時應(yīng)用 1 若函數(shù)y f x 是函數(shù)y ax a 0 a 1 的反函數(shù) 其圖像經(jīng)過點 a 則f x 2 設(shè)函數(shù)f x log2x的反函數(shù)為y g x 若則a等于 解析 1 y ax 其反函數(shù)為f x logax 2 由于f x log2x的反函數(shù)為y g x 2x 答案 對數(shù)的運算 方法點睛 對數(shù)式化簡與求值的一般思路 1 先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形 化成分數(shù)指數(shù)冪的形式 使冪的底數(shù)最簡 然后正用對數(shù)運算法則化簡合并 2 先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和 差 倍數(shù)運算 然后逆用對數(shù)的運算法則 轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積 商 冪再運算 提醒 在運算中要注意對數(shù)化同底和指數(shù)與對數(shù)的互化 例1 1 2012 渭南模擬 計算 2 已知loga2 m loga3 n 求a2m n 解題指南 1 按對數(shù)式求值的一般思路進行計算 2 將已知對數(shù)式化為指數(shù)式 并將a2m n轉(zhuǎn)化為 am 2 an 從而計算求解 規(guī)范解答 1 原式 2 loga2 m am 2 又 loga3 n an 3 則a2m n a2m an am 2 an 22 3 12 互動探究 本例 2 中條件不變 求loga12的值 解析 loga2 m loga3 n loga12 loga4 loga3 2loga2 loga3 2m n 反思 感悟 1 在對數(shù)運算中 首先對底數(shù) 真數(shù)進行變形 然后再利用對數(shù)的運算性質(zhì)進行化簡 若出現(xiàn)不同的 底 應(yīng)利用換底公式換成相同的 底 2 在等比數(shù)列的計算中常涉及到對數(shù)的運算 要正確地運用對數(shù)的相關(guān)知識進行計算 變式備選 1 計算 2 計算 log32 log92 log43 log83 3 若數(shù)列 an 為各項均為正項的等比數(shù)列 且a12與a2001為一元二次方程x2 mx 8 0的兩根 求log2a1 log2a2 log2a2012的值 解析 3 由已知得a12 a2001 8 且由等比數(shù)列的性質(zhì)得 a1a2a3 a2012 a1a2012 1006 a12 a2001 1006 81006 原式 log2 a1a2a3 a2012 log281006 1006 3 3018 對數(shù)函數(shù)的圖像及其應(yīng)用 方法點睛 用對數(shù)函數(shù)的圖像可求解的問題 1 對一些可通過平移 對稱變換作出其圖像的與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù) 在求解其單調(diào)性 單調(diào)區(qū)間 值域 最值 零點時 常利用其圖像通過數(shù)形結(jié)合求解 2 一些對數(shù)型方程 不等式的求解 常轉(zhuǎn)化為對數(shù)函數(shù)圖像問題 利用數(shù)形結(jié)合法求解 例2 2012 蚌埠模擬 已知函數(shù)若a b c互不相等 且f a f b f c 則abc的取值范圍是 a 1 10 b 5 6 c 10 12 d 20 24 解題指南 求解本題 需作出函數(shù)f x 的圖像 不妨設(shè)a b c 根據(jù)圖像結(jié)合f a f b f c 確定出a b c的大致范圍 先定c的取值范圍 再由f a f b 得到ab的值 從而求得abc的取值范圍 規(guī)范解答 選c 作出f x 的大致圖像 設(shè)a b c 因為a b c互不相等 且f a f b f c 由函數(shù)的圖像可知10 c 12 且 lga lgb 因為a b 所以lga lgb 可得ab 1 所以abc c 10 12 故選c 反思 感悟 數(shù)形結(jié)合思想往往是解決某些對數(shù)型函數(shù)性質(zhì) 對數(shù)型方程 不等式 對數(shù)值大小比較的切入口及有效方法 應(yīng)熟練掌握這種思想方法的解題規(guī)律 變式訓練 1 函數(shù)y log2 x 1 的單調(diào)遞減區(qū)間為 單調(diào)遞增區(qū)間為 解析 作出函數(shù)y log2x的圖像 再作出其關(guān)于y軸對稱的圖像 兩支共同構(gòu)成函數(shù)y log2 x 的圖像 再將圖像向左平移1個單位長度就得到函數(shù)y log2 x 1 的圖像 如圖所示 由圖知 函數(shù)y log2 x 1 的遞減區(qū)間為 1 遞增區(qū)間為 1 答案 1 1 2 若不等式 x 1 2 logax在x 1 2 內(nèi)恒成立 求實數(shù)a的取值范圍 解析 設(shè)f1 x x 1 2 f2 x logax 要使當x 1 2 時 不等式 x 1 2 logax恒成立 只需f1 x x 1 2在 1 2 上的圖像在f2 x logax圖像的下方即可 當0 a 1時 顯然不成立 當a 1時 如圖 要使f1 x x 1 2在 1 2 上的圖像在f2 x logax的圖像下方 只需f1 2 f2 2 即 2 1 2 loga2 loga2 1 1 a 2 即實數(shù)a的取值范圍是 1 2 變式備選 2012 日照模擬 若函數(shù)f x ax b的圖像如圖 其中a b為常數(shù) 則函數(shù)g x loga x b 的大致圖像是 解析 選d 由f x 的圖像可知0 a 1 1 1 b 2 即0 b 1 又g x loga x b 的圖像可由y logax向左平移b個單位得到 結(jié)合四個選項可知d正確 對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 方法點睛 1 利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較對數(shù)值大小利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 可直接比較同底數(shù)對數(shù)值的大小 而對于既不同底數(shù) 又不同真數(shù)的對數(shù)值的比較 可引入中間量 如 1 0 1等 再利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行比較 2 利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解對數(shù)型函數(shù)性質(zhì)求解方法與一般函數(shù)性質(zhì)的求解方法一致 但要注意三方面的問題 一是定義域 二是底數(shù)與1的大小關(guān)系 三是復合函數(shù)的構(gòu)成 即它是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的 例3 1 2011 北京高考 如果那么 a y x 1 b x y 1 c 1 x y d 1 y x 2 2012 長安模擬 函數(shù)在區(qū)間 2 4 上的最小值是 解題指南 1 利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解 2 利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值求解 規(guī)范解答 1 選d 因為為 0 上的減函數(shù) 所以x y 1 答案 變式訓練 是否存在實數(shù)a 使函數(shù)f x loga ax2 x 在區(qū)間 2 4 上是增函數(shù) 如果存在 求出a的取值范圍 如果不存在 請說明理由 解析 假設(shè)符合條件的實數(shù)a存在 設(shè)g x ax2 x 當a 1時 為使函數(shù)f x loga ax2 x 在區(qū)間 2 4 上是增函數(shù) 需g x ax2 x在區(qū)間 2 4 上是增函數(shù) 故應(yīng)滿足 當01時 函數(shù)f x loga ax2 x 在區(qū)間 2 4 上是增函數(shù) 反思 感悟 在求解與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時 要注意以下幾點 1 要分清函數(shù)的底數(shù)a 0 1 還是a 1 2 確定函數(shù)的定義域 無論研究函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個性質(zhì) 都要在其定義域上進行 3 如果需將函數(shù)解析式變形 一定要保證其等價性 否則結(jié)論就會錯誤 易錯誤區(qū) 冪值 對數(shù)值大小比較問題的易錯點 典例 2011 天津高考 已知則 a a b c b b a c c a c b d c a b 解題指南 首先將a b c化成同底數(shù)的冪 再利用對數(shù)函數(shù)的圖像或性質(zhì)比較冪指數(shù)中對數(shù)值的大小 最后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較出a b c的大小 規(guī)范解答 選c 方法一 在同一坐標系中分別作出函數(shù)y log2x y log3x y log4x的圖像 如圖所示 由圖像知 log23 4 log3 log43 6 方法二 log3 log33 1 且 3 4 log3 log33 4 log23 4 log43 6 log44 1 log3 1 log43 6 log3 log23 4 log3 log43 6 由于y 5x為增函數(shù) 即 故a c b 閱卷人點撥 通過高考中閱卷的數(shù)據(jù)分析 我們得到以下誤區(qū)警示及備考建議 1 2011 安徽高考 若點 a b 在y lgx圖像上 a 1 則下列點也在此圖像上的是 解析 選d 由題意得b lga 2b 2lga lga2 即 a2 2b 也在函數(shù)y lgx的圖像上 2 2012 宜春模擬 設(shè)a log54 b log53 2 c log45 則 a a1 b