高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)第六版)第三章第8節(jié).ppt

1 三 一般迭代法 補(bǔ)充 第八節(jié) 可求精確根 無法求精確根 求近似根 兩種情形 有時計算很繁 本節(jié)內(nèi)容 一 根的隔離與二分法 二 牛頓切線法及其變形 方程的近似解 第三章 2 一 根的隔離與二分法 1 作圖法 1 求隔根區(qū)間的一般方法 第二章第八節(jié) 3 2 逐步收索法 由圖可見只有一個實根 可轉(zhuǎn)化為 以定步長h一步步向右 搜索 若 搜索過程也可從b開始 取步長h 0 第二章第八節(jié) 4 2 二分法 取中點 對新的隔根區(qū)間 重復(fù)以上步驟 反復(fù)進(jìn)行 得 則誤差滿足 第二章第八節(jié) 5 例1 用二分法求方程 的近似 實根時 要使誤差不超過 至少應(yīng)對分區(qū)間多少次 解 設(shè) 故該方程只有一個實根 欲使 必需 即 可見只要對分區(qū)間9次 即可得滿足要求的實根近似值 計算結(jié)果見 高等數(shù)學(xué) 上冊 P177 178 第二章第八節(jié) 6 二 牛頓切線法及其變形 有如下四種情況 第二章第八節(jié) 7 牛頓切線法的基本思想 程的近似根 記縱坐標(biāo)與 同號的端點為 用切線近似代替曲線弧求方 在此點作切線 其方程為 令y 0得它與x軸的交點 其中 再在點 作切線 可得近似根 如此繼續(xù)下去 可得求近似根的迭代公式 稱為牛頓迭代公式 第二章第八節(jié) 8 牛頓法的誤差估計 由微分中值定理得 則得 說明 用牛頓法時 若過縱坐標(biāo)與 異號的端點作 切線 則切線與x軸焦點的橫坐標(biāo)未必在 第二章第八節(jié) 9 牛頓法的變形 1 簡化牛頓法 若用一常數(shù)代替 即用平行 則得簡化牛頓迭代公式 線代替切線 得 優(yōu)點 因而節(jié)省計算量 缺點 逼近根的速度慢一些 第二章第八節(jié) 10 2 割線法 為避免求導(dǎo)運算 用割線代替切線 例如用差商 代替 從而得迭代公式 雙點割線法 特點 逼近根的速度快于簡化牛頓法 但慢于牛頓法 說明 若將上式中 則為單點割線法 逼近 根的速度與簡化牛頓法相當(dāng) 第二章第八節(jié) 11 例2 用切線法求方程 的近似解 使 誤差不超過0 01 解 由草圖可見方程有唯一的正實根 且 第二章第八節(jié) 12 得 而 再求 因此得滿足精度要求的近似解 第二章第八節(jié) 13 三 一般迭代法 補(bǔ)充 在隔根區(qū) 按遞推公式 則 即為原方程的根 稱為迭代格式 初值 否則稱為發(fā)散 第二章第八節(jié) 14 例3 用迭代法求方程 解法1將方程變形為 迭代格式為 發(fā)散 解法2將方程變形為 迭代格式為 迭代收斂 1 32472為計算精度范圍內(nèi)的所求根 第二章第八節(jié) 15 定理 證明略 迭代法的斂散性與迭代函數(shù)的特性有關(guān) 可以證明 下述定理 第二章第八節(jié) 16 內(nèi)容小結(jié) 1 隔根方法 作圖法 二分法 2 求近似根的方法 二分法 牛頓切線法 簡化牛頓法 割線法