同濟(jì)大學(xué)微積分課件ch6_2.ppt

第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù) 本節(jié)要點(diǎn) 一 偏導(dǎo)數(shù)的定義及偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法 二 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 三 高階偏導(dǎo)數(shù) 一 偏導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量的比值的極限 即 一個(gè)變量的改變而引起函數(shù)改變的情況 在一元函數(shù)的微積分中 我們知道 所謂一元函數(shù)的 自然 多元函數(shù)的情況要復(fù)雜的多 但有時(shí)候也會(huì)遇到 為此 我們引入 1 偏增量 設(shè)函數(shù)定義域?yàn)辄c(diǎn) 稱其為函數(shù)在點(diǎn) 關(guān)于自變量的偏增量 記為 給自變量以增量并使得點(diǎn) 相應(yīng)的函數(shù)的增量為 即 2 偏導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義 存在 則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)對(duì) 給以增量并使得若極限 的偏導(dǎo)數(shù) 記作 類似地 若極限 存在 則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù) 記作 則稱函數(shù)在點(diǎn)可偏導(dǎo) 稱其為的偏導(dǎo)函數(shù) 記為 當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)同時(shí)存在對(duì)的偏導(dǎo)數(shù) 如果函數(shù)在某平面區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn) 都存在對(duì)或?qū)Φ钠珜?dǎo) 由此得到了新的函數(shù) 注從偏導(dǎo)數(shù)的定義中可以看出 多元函數(shù)對(duì)某一變量 的偏導(dǎo)數(shù) 實(shí)際上是把其它變量視為常數(shù)的導(dǎo)數(shù) 因而 在對(duì)某變量求導(dǎo)的過(guò)程中 只需把其它變量視為常數(shù) 對(duì)該變量用一元函數(shù)求導(dǎo)的方法 即可求出相應(yīng)的導(dǎo)數(shù) 例求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 解 所以 例設(shè)求 解由一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得 二 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 設(shè)二元函數(shù) 在點(diǎn)有偏導(dǎo) 為曲面上的點(diǎn) 過(guò)點(diǎn)作平面 此平面與曲面相交得一曲線 曲線的方程為 由定義 知道 在幾何上表示曲線 在點(diǎn)處的切線對(duì)軸的斜率 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn) 處的切線對(duì)軸的斜率 同理 三 可導(dǎo)與連續(xù) 即如果函數(shù)在某一點(diǎn)可偏導(dǎo) 不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù) 在一元函數(shù)微分學(xué)中我們知道 如果函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo) 則在該點(diǎn)一定連續(xù) 但是對(duì)多元函數(shù)而言 此結(jié)論就不成立 可導(dǎo)連續(xù) 例設(shè) 解當(dāng)時(shí) 求的偏導(dǎo) 當(dāng)時(shí) 即 由于 所以不存在 函數(shù)在處不連續(xù) 四 高階偏導(dǎo)數(shù) 如果這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍可偏導(dǎo) 則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)為函數(shù) 設(shè)函數(shù)在平面區(qū)域內(nèi)處處存在偏導(dǎo)數(shù) 由求導(dǎo)次序 可得到相應(yīng)的四個(gè)二階偏導(dǎo) 的二階偏導(dǎo)數(shù) 而其中的第二與第三項(xiàng)稱為混合偏導(dǎo) 例求的二階偏導(dǎo)數(shù) 解 我們可以看到這兩個(gè)混合偏導(dǎo)是相同的 例設(shè) 求 解當(dāng)時(shí) 而當(dāng)時(shí) 此時(shí) 內(nèi) 定理如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù) 在區(qū)域內(nèi)內(nèi)連續(xù) 那么在該區(qū)域 上例中繼續(xù)計(jì)算可驗(yàn)證不存在 因此不滿足定