拉格朗日乘數(shù)法在消費者均衡原則中的應用.doc

拉格朗日乘數(shù)法在消費者均衡原則中的應用 在利用偏導數(shù)求多元函數(shù)的極值時，若函數(shù)的自變量有附加條件，則稱之為條件極值。這時，可用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。具體方法如下: 拉格朗日乘數(shù)法：設給定二元函數(shù)z=(x,y)和附加條件(x,y)=0，為尋找z=(x,y)在附加條件下的極值點，先做拉格朗日函數(shù)L(x,y)=(x,y)+(x,y)，其中為參數(shù)。求L(x,y)對x和y的一階偏導數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立，即Lx(x,y)=x(x,y)+x(x,y)=0，Ly(x,y)=y(x,y)+y(x,y)=0，(x,y)=0 由上述方程組解出x，y及，如此求得的(x,y)，就是函數(shù)z=(x,y)在附加條件(x,y)=0下的可能極值點。 微觀經濟學研究消費者行為時，所要闡述的核心問題是消費者均衡的原則。所謂消費者均衡指的是一個有理性的消費者所采取的均衡購買行為。進一步說，它是指保證消費者實現(xiàn)效用最大化的均衡購買行為。 但人的需要或欲望是無限的，而滿足需要的手段是有限的。所以微觀經濟學所說的效用最大化只能是一種有限制的效用最大化。而這種限制的因素就是各種商品的價格和消費者的貨幣收入水平。 首先，我們先引入一些名詞解釋: 總效用(TU):消費者在一定時間內消費一定數(shù)量某種商品或商品組合所得到的總的滿足。 邊際效用(MU):消費者在所有其它商品的消費水平保持不變時，增加消費一單位某種商品所帶來的滿足程度的增加，也就是說指增加一單位某種商品所引起的總效用的增加。 商品數(shù)量(Q)，商品價格(P), 收入(I)邊際效用的公式表達為:MU=TU/Q 那么如何才能實現(xiàn)在制約條件下效用最大化的商品組合呢？就是當消費者把全部收入用于購買各種商品時，他從所購買的每一種商品所得到的邊際效用與其價格的比例都相同，這樣的商品組合就是最佳的或均衡的商品組合。假設當消費者選擇兩種商品x,y時，消費者均衡原則的公式表達為:MUx MUyPx Py制約條件的公式表達式為:I=PxQx+PyQy。那么這一結論是如何推導出來的呢？解決這一問題最直接的方法就是拉格朗日乘數(shù)法。設效用函數(shù)U(Qx,Qy),為使它在制約條件下取得極值，首先建立拉格朗日函數(shù):L=U(Qx,Qy)+(I-PxQx-PyQy)，為參數(shù)。求L(x,y)對x和y的一階偏導數(shù)，令它們等于零，并與附加條件連立。即 L/Qx=U/Qx-Px=0 L/Qy=U/Qy-Py=0 I-PxQx-PyQy=0 將方程除以方程，得: U/Qx Px 即 MUx MUy U/Qy Py PX Py所以，消費者要實現(xiàn)兩種商品的效用最大化，邊際效用的比率應該等于價格比率。 以上是關于x和y兩種商品所說的，是否同樣適用于多種商品呢？答案是肯定的。如果消費者在n種商品中做出選擇，則消費者均衡的原則可表達為:MU1 MU2 MU3 MUnP1 P2 P3 Pn這一結論同樣可用拉格朗日乘數(shù)法證明。拉格朗日乘數(shù)法可推廣到求n元函數(shù)(x1,x2,xn)在m個附加條件(x1,x2,xn)下的條件極值。方法如下: m做拉格朗日函數(shù)L(x1,x2,xn)=(x1,x2,xn)+ ii(x1,x2); i=1 求L(x1,xn)關于x1,xn的偏導數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立，即m Lxi=xi+ ii=0 ,i=1,2,n i=1 k(x1,x2,xn)=0 ,k=1,2,n求解此方程組，可得到極值點?，F(xiàn)在回到我們的問題中，設效用函數(shù)U(Qx1,Qx2,Qxn),為使它在制約條件下取得極值,首先建立拉格朗日函數(shù):L=U(Qx1,Qx2,Qxn )+(I-Px1Qx1-P2Qy2-PxnQxn)，為參數(shù)。求L(x1,x2,xn)對x1,xn的一階偏導數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立。即 L/Qx1=U/Qx1-Px1=0 （1）L/Qx2=U/Qx2-Px2=0 （2） L/Qxn=U/Qxn-Pxn=0 （n） I-Px1Qx1-