2011年考研數(shù)學(xué)微積分基礎(chǔ)班6(劉坤林老師).pdf

基礎(chǔ)班微積分第 6 講 定積分的概念與計(jì)算 6 1 定積分的概念與性質(zhì) 定積分基本概念 方法與主要知識(shí)點(diǎn) 概念 定積分作為和式的極限 積分中值定理 保序性與估值定理 定積分是一 個(gè)數(shù) 方法 湊微分法 分部積分 回歸法 變量替換 區(qū)間變換 積分等式與不等式的證明 6 1 1 定義 定義 6 1 設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)間上有定義 且有界 若 基礎(chǔ)班微積分第 6 講 定積分的概念與計(jì)算 6 1 定積分的概念與性質(zhì) 定積分基本概念 方法與主要知識(shí)點(diǎn) 概念 定積分作為和式的極限 積分中值定理 保序性與估值定理 定積分是一 個(gè)數(shù) 方法 湊微分法 分部積分 回歸法 變量替換 區(qū)間變換 積分等式與不等式的證明 6 1 1 定義 定義 6 1 設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)間上有定義 且有界 若 xf ba 1 任意分割區(qū)間 取點(diǎn)列 記 1 任意分割區(qū)間 取點(diǎn)列 記 ba n xxx 10 L 1 iii xxx i i x max 2 任取 2 任取 1iii xx 3 作和式 3 作和式 n i iin xfS 1 4 若極限存在 且極限值與區(qū)間分割的任意 性和 4 若極限存在 且極限值與區(qū)間分割的任意 性和 sxfS n i iin 1 00 limlim ba iii xx 1 取值的任意性無關(guān) 則稱函數(shù)在區(qū)間上可積 該極限 值稱為函數(shù)在區(qū)間上的積分 記作 取值的任意性無關(guān) 則稱函數(shù)在區(qū)間上可積 該極限 值稱為函數(shù)在區(qū)間上的積分 記作 xf ba sxfS n i iin 1 00 limlim xf ba sSdxxfbaI n b a f 0 lim ba 分別稱為積分的下 上限 稱為被積函數(shù) 分別稱為積分的下 上限 稱為被積函數(shù) xfx稱為積分中間變量 定積分 的值與積分中間變量的符號(hào)無關(guān) 即 稱為積分中間變量 定積分 的值與積分中間變量的符號(hào)無關(guān) 即 b a b a dttfdxxf 6 1 26 1 2 函數(shù)的可積性條件 函數(shù)的可積性條件 定理 6 1 函數(shù)在有界閉區(qū)間可積的必要條件 是函數(shù)在上有界 定理 6 1 函數(shù)在有界閉區(qū)間可積的必要條件 是函數(shù)在上有界 ba xf ba 定理 6 2 函數(shù)在有界閉區(qū)間可積的充分條件 滿足下列條件之一即可 定理 6 2 函數(shù)在有界閉區(qū)間可積的充分條件 滿足下列條件之一即可 ba 1 在區(qū)間上單調(diào)有界 1 在區(qū)間上單調(diào)有界 xf ba 2 在區(qū)間上有界 且只有有限個(gè)間斷點(diǎn) 2 在區(qū)間上有界 且只有有限個(gè)間斷點(diǎn) xf ba 3 在區(qū)間上連續(xù) 3 在區(qū)間上連續(xù) xf ba 定積分定義在考研中的應(yīng)用 利用積分和式求特定極限 見后述例題 定積分定義在考研中的應(yīng)用 利用積分和式求特定極限 見后述例題 劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 電話 62780040 1 6 1 3 定積分的性質(zhì)及常用結(jié)論 1 6 1 3 定積分的性質(zhì)及常用結(jié)論 1 a b b a dxxfdxxf 2 2 對(duì)積分區(qū)間的可加性 對(duì)被積 函數(shù)滿足線性性 對(duì)積分區(qū)間的可加性 對(duì)被積 函數(shù)滿足線性性 b c c a b a dxxfdxxfdxxfRc b a b a b a dxxgBdxxfAdxxBgxAf 3 3 若在上可積 則若在上可積 則 xf ba xf在上也可積 且 在上也可積 且 ba b a b a dxxfdxxf 4 保序性 保號(hào)性 若可積函數(shù) 4 保序性 保號(hào)性 若可積函數(shù) 0 baxxf 則 則 0 b a dxxf 若可積函數(shù)滿足 則 若可積函數(shù)滿足 則 xgxf xgxf b a b a dxxgdxxf 特別 若非負(fù)連續(xù)函數(shù)在上不恒為零 則 特別 若非負(fù)連續(xù)函數(shù)在上不恒為零 則 xf ba0 b a dxxf 推論 估值定理 若可積函數(shù)在上滿足推論 估值定理 若可積函數(shù)在上滿足 xf ba Mxfm 則 則 abMdxxfabm b a 進(jìn)一步 若函數(shù)在上非負(fù)可積 則 稱為比較性質(zhì) 進(jìn)一步 若函數(shù)在上非負(fù)可積 則 稱為比較性質(zhì) xg ba b a b a b a dxxgMdxxgxfdxxgm 4 4 積分中值定理 若函數(shù)在上連續(xù) 在上取定號(hào)且可積 則 積分中值定理 若函數(shù)在上連續(xù) 在上取定號(hào)且可積 則 xf ba xg ba ba 使 使 b a b a dxxgfdxxgxf 特別 時(shí) 特別 時(shí) 1 xg ba 使 或 使 或 abfdxxf b a 劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 電話 62780040 2 xff ab dxxf ba b a 平均值 事實(shí)上還可進(jìn)一步證明 平均值 事實(shí)上還可進(jìn)一步證明 0 ba 使上述結(jié)論成立 使上述結(jié)論成立 5 若在上是可積的奇函數(shù) 則 5 若在上是可積的奇函數(shù) 則 xf aa 0 a a dxxf 若在上是可積的偶函數(shù) 則 若在上是可積的偶函數(shù) 則 xf aa aa a dxxfdxxf 0 2 6 若是可積的周期函數(shù) 周期為 6 若是可積的周期函數(shù) 周期為T 則對(duì)任意是實(shí)數(shù)必有 則對(duì)任意是實(shí)數(shù)必有 xfa TTa a dxxfdxxf 0 7 若連續(xù)函數(shù)滿足 則存在 7 若連續(xù)函數(shù)滿足 則存在 xf0 b a dxxf 0 bax 使得 使得 0 0 xf 證明方法 1 由中值定理 證明方法 2 由連續(xù)函數(shù)的保號(hào)性 8 若非負(fù)連續(xù)函數(shù)滿足 則 證明方法 1 由中值定理 證明方法 2 由連續(xù)函數(shù)的保號(hào)性 8 若非負(fù)連續(xù)函數(shù)滿足 則 xf0 b a dxxf0 xfbax 證明方法 由連續(xù)函數(shù)的保號(hào)性與積分的保號(hào)性 反證 例 6 1 設(shè) 證明方法 由連續(xù)函數(shù)的保號(hào)性與積分的保號(hào)性 反證 例 6 1 設(shè)dxxI 2 0 1 sin sin dxxI 2 0 2 cos sin 則 A A B C 則 A A B C 21 1II 21 II D D 1 21 II 解 當(dāng) 解 當(dāng) 2 0 x 且為增函數(shù) 于是 且為增函數(shù) 于是xx sinxsin sin sin sinxx dxxI 2 0 1 sin sin 1sin 2 0 dxxI 2 0 2 cos sin 1 2 0 1cosIdxx 例 6 2 估計(jì)積分的范圍 例 6 2 估計(jì)積分的范圍 2 0 2 2 dxe xx 解 解 12min 02max 2 2 0 2 2 0 xxxx xx 因此 因此 22 2 0 0 2 0 2 2 0 11 2 dxedxedxee xx 例 6 3 設(shè)例 6 3 設(shè)dxxxxM 1 ln 22 1 1 dx x xx N 1 12 3 1 1 1 22 3 1 1 dx x x P 則 A A B C 則 A A B C NMP PNM NPM D D MPN x x dx N 0 1 1 2 22 1 0 dx x P 所以 所以 NMP M Mxf 于是 于是 xMdttfxF xx x 0 由夾逼定理可得 因此在上連續(xù) 由夾逼定理可得 因此在上連續(xù) 0 lim 0 xF x x a dttfxF ba 2 2 x a dttf dx d x a xx ax dttfdttf x 1 lim 0 xx xx dttf x 1 lim 0 劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 電話 62780040 4 xx xx dt x f lim 0 lim 0 xff 上式中 上式中 為為x與與xx 之間的一個(gè)數(shù) 上述證明用到積分中值定理 定理 6 4 牛頓 萊布尼茲公式 若是上的連續(xù)函數(shù) 為在上的一個(gè)原函數(shù) 則存 之間的一個(gè)數(shù) 上述證明用到積分中值定理 定理 6 4 牛頓 萊布尼茲公式 若是上的連續(xù)函數(shù) 為在上的一個(gè)原函數(shù) 則存 xf ba xF xf ba b a b a xFaFbFCbFdxxf 證 證 在常數(shù) 使 在常數(shù) 使 bax CCdttfxF x a CCdttfaF a a 0 于是 于是 aFC aFdxxfCdxxfbF b a b a 因此 b a b a xFaFbFdxxf 上述公式稱為牛頓 萊布尼茲公式 特別還有 上述公式稱為牛頓 萊布尼茲公式 特別還有 afbfdxxf b a 牛頓 萊布尼茲公式使得定積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為求不定積分問題 或求原函數(shù)問 題 利用牛頓 萊布尼茲公式 我們可以通過不定積分求的定積分的值 一般可直 接用湊微分法 換元法和分部積分法計(jì)算定積分 例 6 4 求 牛頓 萊布尼茲公式使得定積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為求不定積分問題 或求原函數(shù)問 題 利用牛頓 萊布尼茲公式 我們可以通過不定積分求的定積分的值 一般可直 接用湊微分法 換元法和分部積分法計(jì)算定積分 例 6 4 求 2 0 1 dxx 解 解 2 1 1 0 2 0 1 1 1 dxxdxxdxx 1 22 2 1 2 1 0 2 x xx x 注 對(duì)于分段定義的函數(shù) 定積分計(jì)算應(yīng)特別注意分段積分 例 6 5 求 注 對(duì)于分段定義的函數(shù) 定積分計(jì)算應(yīng)特別注意分段積分 例 6 5 求 sin1 0 dxx 解 解 00 2 cos 2 sin sin1dx xx dxx 2 2 0 2 cos 2 sin 2 sin 2 cosdx xx dx xx 424 例 6 6 設(shè) 求 例 6 6 設(shè) 求 01 01 xx xx xf 1 1 dxxf 解 解法一 在區(qū)間內(nèi)有第一類間斷點(diǎn) 因此在 解 解法一 在區(qū)間內(nèi)有第一類間斷點(diǎn) 因此在 xf 1 1 1 1 區(qū)間內(nèi)不存 在原函數(shù) 不能直接用牛頓 萊布尼茲公式 利用對(duì)區(qū)間的可加性有 區(qū)間內(nèi)不存 在原函數(shù) 不能直接用牛頓 萊布尼茲公式 利用對(duì)區(qū)間的可加性有 1 0 0 1 1 1 dxxfdxxfdxxf 在內(nèi)分別可以用牛頓 萊布尼茲公式 在內(nèi)分別可以用牛頓 萊布尼茲公式 1 0 0 1 2 3 2 0 1 2 0 1 x x dxxf 2 3 2 1 0 2 1 0 x x dxxf 故 0 故 0 1 1 dxxf 劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 電話 62780040 5 解法二 是解法二 是 xf 1 1 的奇函數(shù) 0 的奇函數(shù) 0 1 1 dxxf 例 6 7 求例 6 7 求dx x xx 2 2 2 cos1 cos 1 解 解 dx x x dx x xx 2 0 2 2 2 2 cos1 cos 2 cos1 cos 1 12 12 ln 2 1 sin2 sin 2 2 0 2 dx x xd 6 2 2 變量替換法 第一換元法的基本思路 湊微分方法 6 2 2 變量替換法 第一換元法的基本思路 湊微分方法 afbfdxxf b a b a b a xfdxxxf 第二換元法的基本思路 第二換元法的基本思路 tFdtttfdxxf b a 其中 要求與其中 要求與 xf t 連續(xù) 連續(xù) tx 有反函數(shù) 且有反函數(shù) 且 1 xt ba CxFdxxf 換元法的重要應(yīng)用之一是區(qū)間變換 以改變積分區(qū)間為特定目的的變換 換元法的重要應(yīng)用之一是區(qū)間變換 以改變積分區(qū)間為特定目的的變換 b a f dxxfbaI dttxtxfdxxf b a 1 0 令 令 ab ax t dttxtxfdxxf d c b a 令 令 ccd ab ax t 還有反號(hào)變換 還有反號(hào)變換 xt 倒數(shù)變換 倒數(shù)變換 x t 1 廣泛用于積分的合并與拆分 例6 8 廣泛用于積分的合并與拆分 例6 8 計(jì)算 dx x x arc 1 sin 3 0 解 解 dx x x x x x xdx x x arc 1 arcsin 1 arcsin 1 sin 3 0 3 0 3 0 dx x x 3 0 12 1 2 3 arcsin3 劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 電話 62780040 6 對(duì)于 dx x x 3 0 1 令tx 則tdtdx2 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 0 x0 t3 x3 t 則 dt t t dt t t dx x x 3 0 2 2 3 0 2 2 3 0 1 11 2 1 2 1 3 2 32 3arctan3 2 arctan 2 3 0 tt 于是 3 3 4 3 3 3 3 1 sin 3 0 dx x x arc 求求 3 42 4x dx 不用了 解 令 不用了 解 令xu 3 42 4x dx 4 32 4u du 再令 則 再令 則 tusec2 tdtdusectan2 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)3 u 3 2 arccos t 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí)4 u 3 t 3 42 4x dx 3 3 2 arccos 4 32 tan2 sectan2 4 dt t tt u du 3 3 2 arccos 2 cos cos dt t t 3 3 2 arccos sin sin1 1 sin1 1 2 1 td tt 3 3 2 arccos sin1 sin1 ln 2 1 t t 2ln 53ln 32ln 再令 可直接利用湊微分法 再令 可直接利用湊微分法 tysin 3 3 2 arccos sin sin1 1 sin1 1 2 1 td tt 2 3 3 5 2 3 3 5 1 1 ln 2 1 1 1 1 1 2 1 u u dy yy 劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 電話 62780040 7 2ln 53ln 32ln 例 6 9 設(shè) 例 6 9 設(shè) 4 0 2 2cos dxxfxxf 求 求 2 0 dxxf 解 記 解 記 Idxxf 2 0 再令 再令ux 2 則 則dudx 2 1 4 0 2 dxxf Iduuf 2 1 2 1 2 0 對(duì)等式 對(duì)等式 4 0 2 2cos dxxfxxf兩邊取積分得到 兩邊取積分得到 Idx I dxxxf 42 cos 2 0 2 0 2 即 即IdxxI 4 cos 2 0 2 故 故dxxII 2 0 2 cos 4 422 1 因此 因此 dxxfI 2 0 4 例 6 10 設(shè)是上的連續(xù)函數(shù) 則 例 6 10 設(shè)是上的連續(xù)函數(shù) 則 D D xf 10 A B A B 00 sin sindxxfdxxxf 00 sin2 sindxxfdxxxf C C 00 sin 2 sindxxfdxxxf D D 00 sin 2 sindxxfdxxxf 解 令 解 令dtdxtx 0 0 sin sin dttftdxxxf 00 sin sindttfdtttf 移項(xiàng)得知答案為 D 移項(xiàng)得知答案為 D 6 2 3 分部積分法 設(shè)與在連續(xù) 為在上的一個(gè)原函數(shù) 則 6 2 3 分部積分法 設(shè)與在連續(xù) 為在上的一個(gè)原函數(shù) 則 xf xg ba xF xf ba b a b a b a dxxgxFxgxFdxxgxf 例 6 11 求 例 6 11 求 e e xdx 1ln 劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 電話 62780040 8 解 解 e e e e e e xxdxxxdx 1 1 1 lnlnln e dx e e e e 21 1 例 6 12 證明 例 6 12 證明 2 0 sin xdx n 2 0 cos xdx n 并求 并求 2 0 sin xdxI n n 證 令 證 令tx 2 0 2 cos tdtI n n 2 0 cos xdx n 22 0 1 0 cos sinsin xxdxdxI nn n 1 cossin 1 cossin 2 0 22 2 0 12 nn nn IIn xdxxnxx 2 1 nn I n n I 初值 初值 L 3 2 n1 2 10 II 注 上述結(jié)果稱為積分的遞推公式 常用遞推公式有一步遞推或二步遞推格式 應(yīng) 指出的是 以遞推公式表示積分結(jié)果 必須給出初值 一步遞推格式需有一步初值 二步遞推格式需有二步初值 才能構(gòu)成完備的計(jì)算格式 上述結(jié)果可歸納得到下述實(shí)用形式 注 上述結(jié)果稱為積分的遞推公式 常用遞推公式有一步遞推或二步遞推格式 應(yīng) 指出的是 以遞推公式表示積分結(jié)果 必須給出初值 一步遞推格式需有一步初值 二步遞推格式需有二步初值 才能構(gòu)成完備的計(jì)算格式 上述結(jié)果可歸納得到下述實(shí)用形式 劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 電話 62780040 9 1 12 2 2 2 12 122 n n I n n I nn L 3 2 1 n 例 6 13 例 6 13 dx xee I xx 2 0 5cossin 8 sin A A 4 B B 15 1 C C 8 D D 30 1 解 由對(duì)稱性與積分概念 立即得知答案 解 由對(duì)稱性與積分概念 立即得知答案 15 1 3 2 5 4 8 1 I 選 B 例 6 14 已知 選 B 例 6 14 已知dt t e A t 1 01 則 則 dt t et 1 0 2 1 答案 答案 A e 2 1 解 因?yàn)?解 因?yàn)?dt t e A t 1 01 所以 所以 1 0 1 0 1 0 2 11 1 dt t e t e dt t e ttt A e 2 1 例 6 15 設(shè)為正整數(shù) 計(jì)算 例 6 15 設(shè)為正整數(shù) 計(jì)算 n 1 0 2 1 dxxx n 解 方法 1 解 方法 1 1 0 2 1 dxxx n dxxx nn xx n n 1 0 1 1 0 12 1 1 2 1 1 dxx nnnn xx n n 1 0 2 1 0 2 1 2 1 2 2 1 1 3 2 1 2 3 2 1 1 2 1 0 3 nnnnnn x n 方法 2 令 方法 2 令dtdxtx 1 則有 則有 1 0 2 1 dxxx n 3 1 2 2 1 1 1 1 0 2 nnn dttt n 6 3 變限積分綜合例題 例 6 16 設(shè) 其中 6 3 變限積分綜合例題 例 6 16 設(shè) 其中 dttfxF x 0 T 結(jié)論 4 有第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)沒有原函數(shù) 結(jié)論 5 有第二類間斷點(diǎn)的函數(shù)可以有原函數(shù) 結(jié)論 6 變限積分表示的函數(shù)不一定是原函數(shù) 例 6 17 證明連續(xù)偶函數(shù)之原函數(shù)必為奇函數(shù)與常數(shù)之和 證 記 結(jié)論 4 有第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)沒有原函數(shù) 結(jié)論 5 有第二類間斷點(diǎn)的函數(shù)可以有原函數(shù) 結(jié)論 6 變限積分表示的函數(shù)不一定是原函數(shù) 例 6 17 證明連續(xù)偶函數(shù)之原函數(shù)必為奇函數(shù)與常數(shù)之和 證 記 x a dttfxF 要證存在奇函數(shù)使得要證存在奇函數(shù)使得 xGCxGxF 其中 為常數(shù) 其中 為常數(shù) xfxF C 設(shè) 要證滿足 設(shè) 要證滿足 x dttfxG 0 xG xGxG 顯然 其中顯然 其中CxGxF xfxf 因此 因此 x dttf 0 令 于是得到 令 于是得到 tu xG x udufxG 0 x duuf 0 xG 例 6 18 設(shè)是連續(xù)的周期為 例 6 18 設(shè)是連續(xù)的周期為T的函數(shù) 證明 的函數(shù) 證明 xf TaT a dxxfdxxf 0 證 證法一 因?yàn)槭沁B續(xù)函數(shù) 將 證 證法一 因?yàn)槭沁B續(xù)函數(shù) 將a作為變量 作為變量 xf 劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 電話 62780040 11 0 afaTfdxxf da d aT a aT a dxxf 關(guān)于變量為常數(shù) 而當(dāng)關(guān)于變量為常數(shù) 而當(dāng)a0 a時(shí) 時(shí) Cdxxfdxxf T a aT a 0 0 因此對(duì)任意的均成立 因此對(duì)任意的均成立 Cdxxfdxxf TaT a 0 a 證法二 證法二 aT a dxxf aT T T a dxxfdxxfdxxf 0 0 T aT a dxxf dxTxfdxxfdxxf 0 00 0 注 證法一 要求是連續(xù)函數(shù) 證法二僅要求是可積函數(shù) 注 證法一 要求是連續(xù)函數(shù) 證法二僅要求是可積函數(shù) xf xf 例 6 19 設(shè) 例 6 19 設(shè) dttxf x 2 cos1 0 sin 65 65 xx xg 則當(dāng)時(shí) 是 的 則當(dāng)時(shí) 是 的 0 x xf xg A 低階無窮小量 B 高階無窮小量 C 等價(jià)無窮小量 D 同階但非等價(jià)無窮小量 答案 B 例 6 20 設(shè) 單調(diào)增加 A 低階無窮小量 B 高階無窮小量 C 等價(jià)無窮小量 D 同階但非等價(jià)無窮小量 答案 B 例 6 20 設(shè) 單調(diào)增加 0 Cxgxf0 xf xg 則則 dttf dttgtf x x x 0 0 A 在上單調(diào)增加 B 在 A 在上單調(diào)增加 B 在 0 0 上單調(diào)減少 C 在上單調(diào)增加 在上單調(diào)減少 上單調(diào)減少 C 在上單調(diào)增加 在上單調(diào)減少 1 0 1 D 在上單調(diào)減少 在上單調(diào)增加 D 在上單調(diào)減少 在上單調(diào)增加 1 0 1 解 由于 解 由于 2 0 00 dttf dttgtfxfdttfxgxf x x xx 劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 電話 62780040 12 0 2 0 0 dttf dttgxgtfxf x x 所以 所以 x 在上單調(diào)增加 答案 A 在上單調(diào)增加 答案 A 0 例 6 21 設(shè)在例 6 21 設(shè)在 上連續(xù) 證明函數(shù) 上連續(xù) 證明函數(shù) 0 xf ba x b x a dttfdttfxF 1 在在 上有且僅有一個(gè)零點(diǎn) 上有且僅有一個(gè)零點(diǎn) ba 證 在 證 在 0 xf ba 上連續(xù) 則在上連續(xù) 則在 xF ba 上連續(xù)且可導(dǎo) 上連續(xù)且可導(dǎo) 0 1 xf xfxF xF 在在 上單調(diào)增 又因?yàn)?上單調(diào)增 又因?yàn)?ba 劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 電話 62780040 13 0 0 1 X 使當(dāng)時(shí) 使當(dāng)時(shí) 0 Xx 由初等函數(shù) 性質(zhì) xe x ln 0 X 使當(dāng)時(shí) 有 0 Xx x x x x x x t e xx dt e x dt e t 1 2ln 1 2ln 1 ln 0 22 應(yīng)用夾逼定理得到 應(yīng)用夾逼定理得到 0 1 ln lim 2 x x t x dt e t 6 5 積分綜合例題 例 6 29 已知連續(xù)曲線關(guān)于點(diǎn) 6 5 積分綜合例題 例 6 29 已知連續(xù)曲線關(guān)于點(diǎn) xfy 0 0 aa對(duì)稱 則 對(duì)稱 則 c c dxxafRc D A B C D D A B C D dxxaf c 0 2 2dxxaf c 0 2 2dxxcf a 0 20 解 由幾何意義可得知選 D 曲線 解 由幾何意義可得知選 D 曲線 xfy 關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) 0 0 aa對(duì)稱 以下是幾個(gè)用到區(qū)間變換的例題 對(duì)稱 以下是幾個(gè)用到區(qū)間變換的例題 例 6 30 已知上的連續(xù)曲線例 6 30 已知上的連續(xù)曲線 ba xfy 關(guān)于直線關(guān)于直線 2 ba x 對(duì)稱 證明 對(duì)稱 證明 2 2 ba a b a dxxfdxxf 證 證 b a b a ba ba dxxfdxxfdxxf 2 2 由于關(guān)于直線 由于關(guān)于直線 xfy 2 ba x 對(duì)稱 對(duì)后一積分有 對(duì)稱 對(duì)后一積分有 b ba dxxf 2 b ba dxxbaf 2 令 則 于是得到 令 則 于是得到 xbat dtdx 劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 電話 62780040 15 a ba b ba dttfdxxbaf 22 2 ba a dttf 所以 所以 2 2 ba a b a dxxfdxxf 例 6 31 求的最大最小值 例 6 31 求的最大最小值 dtetxf x t 2 0 2 解 為偶函數(shù) 只需求 解 為偶函數(shù) 只需求 xf 0上的最大最小值 令 上的最大最小值 令2 0 2 2 2 2 xexxxf x 為唯一駐點(diǎn) 且 當(dāng) 為唯一駐點(diǎn) 且 當(dāng)20 xf 當(dāng)當(dāng)2 x時(shí) 因此時(shí) 因此 0 xf2 x為極大值點(diǎn) 即最大值點(diǎn) 最大值為 為極大值點(diǎn) 即最大值點(diǎn) 最大值為 2 2 0 1 2 2 edtetf t limxf x dtet t 0 2 112 2 00 tt eet 又 因此為最小值點(diǎn) 最小值為 0 又 因此為最小值點(diǎn) 最小值為 0 0 0 f0 x 例6 32 設(shè)在上可微 例6 32 設(shè)在上可微 xf ba x f 非減 證明非減 證明 劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 電話 62780040 16 2 bfaf ab dxxf b a 證 證 移項(xiàng)造輔助函數(shù) 設(shè)移項(xiàng)造輔助函數(shù) 設(shè) bax x a dttfxfaf ax xF 2 0 aF 則只須研究的單調(diào)性 證明 則只須研究的單調(diào)性 證明 xF0 aFxF 2 2 1 xfxf ax xfafxF 2 2 1 xf ax xfaf 2 2 xf ax f xa 2 fxf ax xa xf 非減 又 非減 又 0 xF0 aFxF 例 6 33 證明 例 6 33 證明 22 00 22 1 cos 1 sin dx x x dx x x 證 方法 1 證 方法 1 2 4 4 2 0 2 1 cossin 1 cossin dx x xx dx x xx I 對(duì)上述第二個(gè)積分令 對(duì)上述第二個(gè)積分令xt 2 則有 則有 2 0 2 1 cossin dx x xx I 4 0 2 4 0 2 2 1 sincos 1 cossin dt t tt dx x xx 4 0 2 2 2 1 1 1 1 cos sin dt t t tt 0 2 1 1 4 cos sin 4 0 22 2 dt tt ttt 方法 2 方法 2 劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 電話 62780040 17 2 0 2 1 cossin dx 2 4 2 4 0 2 1 cossin 1 cossin dx x xx dx x xx I x