高考數(shù)學一輪復習精講課件 第9單元第53講 空間角及其計算 湘教版 .ppt

第53講空間角及其計算 5 如圖 已知ab為平面 的一條斜線 b為斜足 ao o為垂足 bc為 內的一條直線 abc 60 obc 45 則斜線ab和平面 所成的角為 45 解析 由斜線和平面所成的角的定義可知 abo為斜線ab和平面 所成的角 又因為cos abo 所以 abo 45 例1如圖 直四棱柱abcd a1b1c1d1的底面abcd為平行四邊形 其中ab bd bc 1 2 e為dc的中點 f是棱dd1上的動點 1 求異面直線ad1與be所成角的正切值 2 當df為何值時 ef與bc1所成的角為90 題型一異面直線所成的角的求法 分析 依異面直線所成角的定義或推理尋找或平行移動作出異面直線所成角對應平面角 方法1 1 連接ec1 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 ad1 bc1 則 ebc1為異面直線ad1與be所成的角 又底面abcd 側面dcc1d1bd bce為cd的中點 be 側面dcc1d1 be ec1 在rt bec1中 be ec1 所以tan ebc1 3 be cd 2 當df 時 ef與bc1所成的角為90 由 1 知 be 側面dcc1d1 be ef 又de ec cc1 aa1 2 當df 時 因為 所以 def cc1e 所以 def cec1 90 所以 fec1 90 即fe ec1 又eb bc1 e 所以ef 平面bec1 所以ef bc1 即ef與bc1所成的角等于90 方法2 由bc2 bd2 dc2可知bd bc 分別以bd bc bb1分別為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標系 如圖 則b 0 0 0 a 1 1 0 d 1 0 0 d1 1 0 2 c 0 1 0 c1 0 1 2 e 0 1 因為 0 1 2 0 所以cos 所以sin 所以tan 3 即ad1與be所成的角的正切值為3 2 設f 1 0 q 則 q 又 0 1 2 由 0 1 q 2 0 得q 即df 時 ef bc1 所以sin 所以tan 3 即ad1與be所成的角的正切值為3 2 設f 1 0 q 則 q 又 0 1 2 由 0 1 q 2 0 得q 即df 時 ef bc1 評析 異面直線所成角的求法有傳統(tǒng)的構造法和空間向量法兩種 解題可依據(jù)問題情境恰當選用 d 例2如圖 在矩形abcd中 ab 4 ad 2 e為cd的中點 將 ade沿ae折起 使平面ade 平面abce 得到幾何體d abce 1 求證 be 平面ade 并求ab與平面ade所成的角的大小 2 求bd與平面cde所成角的正弦值 題型二直線和平面所成的角 解析 1 在矩形abcd中 連接be 因為ab 2ad e為cd的中點 所以ad de eab 45 從而 eba 45 故ae eb 過d作do ae于o 因為平面ade 平面abce 所以do 平面abce 所以do be 又ae do o 所以be 平面ade 可知ae為ab在平面ade上的射影 從而 bae為ab與平面ade所成的角 大小為45 2 由 1 可知 do 平面abce be ae 過o作of be 以o為原點 oa of od分別為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標系 則d 0 0 e 0 0 b 2 2 0 c 2 2 0 設平面cde的法向量n x y z 又 2 2 0 n 2x y z 0z xn x y 0y x 取x 1 得n 1 1 1 又 2 cos n 則bd與平面cde所成角的正弦值為 則 得 評析 本例的求解策略說明 若方便獲知直線在平面內的射影 則可用傳統(tǒng)的構造法求直線與平面所成的角 若找直線在平面內的射影較難 則可用向量法求直線和平面所成的角 題型三二面角 評析 1 求二面角的平面角的直接作法是利用三垂線定理 在一個平面內找一點 過此點作另一個平面的垂線 若題目中有兩個互相垂直的面 其中一個為二面角的面時可用面面垂直的性質作垂線 2 平面與平面所成角的向量公式 設平面a與平面b的法向量分別為m和n 則二面角a l b與m n的夾角q相等或互補 1 角的計算與度量總要進行轉化 這體現(xiàn)了轉化的思想 主要將空間角轉化為平面角或兩向量的夾角 2 用向量的數(shù)量積來求解兩異面直線所成的角 簡單 易掌握 其基本程序是選基底 表示兩直線方向向量 計算數(shù)量積 若能建立空間直角坐標系 則更為方便 3 找直線和平面所成的角常用方法是過線上一點作面的垂線或找線上一點到面的垂線 或找 作 垂面 將其轉化為平面角 或用向量求解 或解直角三角形 二面角的求解方法一般有作垂面法 三垂線定理法 面積射影法 向量法等 特別是對 無 棱 圖中沒有棱 的二面角 應先找出棱或借助平面法向量的夾角求解 4 若利用向量來解 各類角都可以轉化為向的夾角來運算 1 求兩異面直線a b的夾角q 需求出它們的方向向量a