高考數(shù)學一輪復(fù)習考案 3.2 等差數(shù)列課件 文.ppt

3 2等差數(shù)列 等差數(shù)列是一種特殊的數(shù)列 是本章知識的重點內(nèi)容之一 復(fù)習時要重點把握等差數(shù)列的定義 等差數(shù)列的性質(zhì) 等差數(shù)列的通項公式及變形 等差數(shù)列的前n項和sn與最值等方面的問題 在新課標中 強調(diào)創(chuàng)設(shè)具體的問題情境加強對等差數(shù)列知識的應(yīng)用 同時指明了等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系 要加以重視 預(yù)測在2013年高考中 本節(jié)知識可出現(xiàn)在填空題與選擇題和綜合題中 以考查等差數(shù)列的性質(zhì)為主 多為容易題 在解題中重點考查等差數(shù)列的概念及其中包含的函數(shù)與方程 化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法 與函數(shù) 不等式 解析幾何 等知識綜合考查時 多為中檔難題 復(fù)習中一定要認真對待 注重基礎(chǔ) 1 等差數(shù)列的概念 若數(shù)列 an 從第二項起 每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù) 則數(shù)列 an 叫等差數(shù)列 這個常數(shù)叫等差數(shù)列的公差 常用字母d表示 定義的數(shù)學表達式為an 1 an d n n 2 等差數(shù)列的通項公式an a1 n 1 d 推廣 an am n m d 變式 a1 an n 1 d d 3 等差中項 若a b c成等差數(shù)列 則b稱a與c的等差中項 且b a b c成等差數(shù)列是2b a c的充要條件 4 等差數(shù)列的前n項和sn sn na1 d nan n 1 nd 變式 a1 n 1 an n 1 5 等差數(shù)列的性質(zhì) 1 若m n p q n 且m n p q 則對于等差數(shù)列有等式am an ap aq 2 序號成等差數(shù)列的項依原序構(gòu)成的數(shù)列 則新數(shù)列成等差數(shù)列 3 sk s2k sk s3k s2k 成等差數(shù)列 4 也是一個等差數(shù)列 5 在等差數(shù)列 an 中 若項數(shù)為2n 則s偶 s奇 nd 若項數(shù)為2n 1 則s奇 nan s偶 n 1 an 6 等差數(shù)列的增減性 d 0時為遞增數(shù)列 且當a1 0時 前n項和sn有最小值 d0時 前n項和sn有最大值 7 設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列 且公差為d 若項數(shù)為偶數(shù) 設(shè)共有2n項 則 s偶 s奇 nd 若項數(shù)為奇數(shù) 設(shè)共有2n 1項 則 s奇 s偶 an a中 1 已知數(shù)列 an 中 an 1 an 且a1 2 則a2011等于 a 1005 b 1006 c 1007 d 1008 解析 由題意知 an 1 an an 是等差數(shù)列 a2011 2 2011 1 1007 答案 c 2 2011年寧夏銀川一中質(zhì)檢 已知數(shù)列 an 為等差數(shù)列且a1 a7 a13 4 則tan a2 a12 的值為 a b c d 解析 由等差數(shù)列的性質(zhì)可知 3a7 4 a7 tan a2 a12 tan 2a7 tan 答案 d 3 2011年惠州市二模 已知等差數(shù)列 an 中 a2 6 a5 15 若bn a3n 則數(shù)列 bn 的前9項和 解析 由 所以an 3 3 n 1 3n bn a3n 9n 數(shù)列 bn 的前9項和為s9 9 405 答案 405 4 已知等差數(shù)列的前n項和為sn 若a4 18 a5 則s8 解析 由已知可知a4 a5 18 s8 4 a4 a5 72 答案 72 題型1五個基本量的有關(guān)計算 例1 1 2011年重慶卷 在等差數(shù)列 an 中 a2 2 a3 4 則a10等于 a 12 b 14 c 16 d 18 2 設(shè)sn為等差數(shù)列 an 的前n項和 若s3 3 s6 24 則a9 3 云南省2011屆高三數(shù)學一輪復(fù)習測試 等差數(shù)列 an bn 的前n項和分別為sn tn 且 則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是 a 3 b 4 c 5 d 6 分析 利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和sn的公式 找到a1 an d sn n五個量之間的關(guān)系 合理利用公式 有效快速地解方程 解析 1 d a3 a2 4 2 2 a10 a2 8d 2 8 2 18 故選d 2 解得 a9 a1 8d 15 故填15 3 因為 又 7 只有n 2 1 3 11 33時 才為正整數(shù) 所以命題成立的n有4個 答案 1 d 2 15 3 b 點評 有關(guān)等差數(shù)列的計算問題常涉及五個元素 首項a1 公差d 通項an 項數(shù)n 前n項和sn 其中a1和d是確定等差數(shù)列的兩個基本元素 只要把它們求出 其余的元素便可以求出 但有時單一的用方程的思想解題 所需的運算量大且運算繁瑣 所以 解題時應(yīng)具體分析題意 尋求較簡捷的方法 從而起到事半功倍的效果 變式訓練1 1 2011年江西卷 設(shè) an 為等差數(shù)列 公差d 2 sn為其前n項和 若s10 s11 則a1等于 a 18 b 20 c 22 d 24 2 2011年湖南卷 設(shè)sn是等差數(shù)列 an n n 的前n項和 且a1 1 a4 7 則s5 3 已知數(shù)列 an 為等差數(shù)列 sn為其前n項和 a7 a5 4 a11 21 sk 9 則k 解析 1 s10 s11 a11 s11 s10 0 a11 a1 10d a1 20 0 a1 20 2 3d a4 a1 7 1 6 d 2 s5 5 a1 d 25 3 a7 a5 2d 4 d 2 a1 a11 10d 21 20 1 sk k 2 k2 9 又k n 故k 3 答案 1 b 2 25 3 3 例2 1 2011年重慶卷 在等差數(shù)列 an 中 a3 a7 37 則a2 a4 a6 a8 題型2等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 2 在等差數(shù)列 an 中 a6 a3 a8 則s9等于 a 0 b 1 c 1 d 以上都不對 分析 1 由若m n p q n 且m n p q 則am an ap aq成立來求解即可 2 由 1 同樣的性質(zhì)可知 a5 a6 a3 a8成立 可得a5 由s9 9a5可得 解析 1 a2 a8 a4 a6 a3 a7 37 故a2 a4 a6 a8 2 37 74 2 a3 a8 a5 a6 a6 a5 0 s9 9a5 0 答案 1 74 2 a 點評 巧用性質(zhì) 減少運算量 在等差數(shù)列的計算中非常的重要 利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題 一定要從等差數(shù)列的本質(zhì)特征入手去思考 分析題意 才能做到事半功倍 變式訓練2 1 2011年山東臨沂質(zhì)檢 在等差數(shù)列 an 中 若a2 a4 a6 a8 a10 80 則a7 a8的值為 a 4 b 6 c 8 d 10 2 2011年遼寧卷 sn為等差數(shù)列 an 的前n項和 s2 s6 a4 1 a5 解析 1 性質(zhì)若m n p q n 且m n p q 則am an ap aq可知a2 a10 a4 a8 2a6 a6 16 a7 a8 a6 8 2 s2 s6 a3 a4 a5 a6 0 由性質(zhì)可知 a4 a5 0 a4 1 a5 1 答案 1 c 2 1 題型3等差數(shù)列的判定或證明 例3 2011年全國卷 設(shè)數(shù)列 an 滿足a1 0且 1 1 求 an 的通項公式 2 設(shè)bn sn bk 證明sn 1 分析 抓住等差數(shù)列的定義 學會判斷或證明等差數(shù)列的方法 并且對于 2 中的求和可以利用裂項相消法求數(shù)列的和 解析 1 由 1 得為等差數(shù)列 首項為 1 d 1 于是 1 n 1 1 n 1 an an 1 2 bn sn bk 1 1 命題成立 點評 等差數(shù)列的定義是判定或證明一個數(shù)列為等差數(shù)列的基本方法之一 利用它解題時務(wù)必注意式子an 1 an d的要求是對于任意n 2的正整數(shù)成立 變式訓練3在數(shù)列 an 中 a1 1 an 1 2an 2n 設(shè)bn 證明 數(shù)列 bn 是等差數(shù)列 解析 an 1 2an 2n 1 1 由等差數(shù)列的定義可知 數(shù)列 是以1為首項 以1為公差的等差數(shù)列 即數(shù)列 bn 是等差數(shù)列 例4 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項和為sn 若a1 15 a4 a6 6 則當sn取最小值時 n等于 a 5 b 7 c 5或6 d 6或7 題型4等差數(shù)列前n項和sn的最值 2 2011年廣東卷 等差數(shù)列前9項的和等于前4項的和 若a1 1 ak a4 0 則k 分析 利用等差數(shù)列的函數(shù)特征可知 等差數(shù)列為單調(diào)數(shù)列 關(guān)鍵要由公差的正負來決定 或由等差數(shù)列的前n項和sn的二次函數(shù)特性可知 解析 1 設(shè)該數(shù)列的公差為d 則a4 a6 2a1 8d 2 15 8d 6 解得d 3 令an 15 3 n 1 0得n 6 故選c 2 法一 由題意可知 s9 s4 a5 a6 a7 a8 a9 0 由等差數(shù)列的性質(zhì)可知 a5 a6 a7 a8 a9 5a7 0 a7 0 同理由性質(zhì)可知 2a7 0 ak a4 k 10 法二 由題得 d k 10 答案 1 c 2 10 點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式以及前n項和公式的應(yīng)用 考查二次函數(shù)最值的求法及計算能力 變式訓練4 1 2011年長沙模擬 若 an 是等差數(shù)列 首項a1 0 a2003 a2004 0 a2003 a20040成立的最大的自然數(shù)n是 a 4005 b 4006 c 4007 d 4008 2 2011年溫州模擬 已知等差數(shù)列 an 中 公差d 0 a2009 a2010是方程x2 3x 5 0的兩個根 那么使得前n項和sn為負值且絕對值最大的n的值是 解析 1 由等差數(shù)列的一次函數(shù)特性可知 等差數(shù)列是單調(diào)數(shù)列 由已知可知 a2003 0 a20040 s4007 4007a20040成立的最大的自然數(shù)n是4006 2 由根與系數(shù)的關(guān)系可知 a2009 a2010 3 0 a2009 a2010 50 a20090 a2009是最后一個負項 前2009項的和為最小即為sn絕對值的最大值時n