《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)的性質(zhì)課件.ppt

第二十一講三角函數(shù)的性質(zhì) 回歸課本 1 正 余弦曲線的定義正弦函數(shù)的圖象和余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線 2 周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)f x 如果存在一個(gè)非零常數(shù)t 使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí) 都有f x t f x 那么函數(shù)f x 就叫做周期函數(shù) 非零常數(shù)t叫做這個(gè)函數(shù)的周期 如果在周期函數(shù)f x 的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù) 那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f x 的最小正周期 正弦函數(shù) 余弦函數(shù)都是周期函數(shù) 2k k z都是它們的周期 最小正周期是2 3 正弦函數(shù) 余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)如下表 4 y tanx的性質(zhì) 1 定義域是 x x k k z 2 值域是r 即正切函數(shù)既無最大值 也無最小值 3 周期性 正切函數(shù)是周期函數(shù) 最小正周期是 4 奇偶性 正切函數(shù)是奇函數(shù) 5 單調(diào)性 正切函數(shù)在開區(qū)間k z內(nèi)都是增函數(shù) 6 對(duì)稱性 正切函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 正切曲線是中心對(duì)稱圖形 其對(duì)稱中心坐標(biāo)是 k z 正切函數(shù)無對(duì)稱軸 5 y tanx x k k z 的圖象 考點(diǎn)陪練 1 函數(shù)的定義域是 a x 2k x 2k k z b x 2k x 2k k z c x 2k x 2k k z d x r答案 d 2 若的最小正周期為t 且t 1 3 則正整數(shù) 的最大值是 a 5b 6c 7d 8答案 b 答案 c 答案 c 5 函數(shù)x r是 a 奇函數(shù)b 偶函數(shù)c 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)d 非奇非偶函數(shù) 答案 b 類型一三角函數(shù)的定義域解題準(zhǔn)備 求函數(shù)定義域的題型 關(guān)鍵是求使式子有意義的x的取值范圍 將問題轉(zhuǎn)化為解不等式 此題是解三角不等式 常用的方法有 利用單位圓中的三角函數(shù)線 利用三角函數(shù)的圖象 利用函數(shù)單調(diào)性 一定要與相應(yīng)三角函數(shù)的周期聯(lián)系起來 分析 先寫出使函數(shù)有意義的不等式或不等式組 再利用三角函數(shù)圖象或單位圓求解集 反思感悟 求三角函數(shù)的定義域 既要注意一般函數(shù)的定義域的規(guī)律 又要注意三角函數(shù)本身的特有屬性 如題中出現(xiàn)tanx 則一定有x k k z 求三角函數(shù)的定義域通常使用三角函數(shù)線 三角函數(shù)圖象或單位圓 類型二三角函數(shù)的值域及最值問題解題準(zhǔn)備 三角函數(shù)的值域及最值問題 實(shí)質(zhì)上大多是含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的值域問題 常用的方法有 化為代數(shù)函數(shù)的值域或化為關(guān)于sinx 或cosx 的二次函數(shù)式 再利用換元 配方等方法求解 典例2 求下列函數(shù)的值域 1 y 2cos2x 2cosx 2 y 3cosx sinx 3 y sinx cosx sinxcosx 分析 先將原函數(shù)式進(jìn)行等價(jià)變形 利用 sinx 1 cosx 1 但要注意自變量的取值變化 反思感悟 1 將原函數(shù)式化為y asin x b y acos x b型或化為關(guān)于sinx 或cosx 的二次函數(shù)式 利用換元法進(jìn)行配方可解決問題 2 關(guān)于y acos2x bcosx c a 0 或y asin2x bsinx c a 0 型或可化為此型的函數(shù)求值域 一般可化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題 切忌忽視函數(shù)的定義域 3 換元法 旨在三角問題代數(shù)化 要防止破壞等價(jià)性 類型三三角函數(shù)的單調(diào)性解題準(zhǔn)備 與三角函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題 1 單調(diào)區(qū)間的求法函數(shù)y asin x a 0 0 的單調(diào)區(qū)間的確定 基本思想是把 x 看作一個(gè)整體 比如 由2k x 2k k z 解出x的范圍 所得區(qū)間即為增區(qū)間 由2k x 2k k z 解出x的范圍 所得區(qū)間即為減區(qū)間 2 如何比較兩個(gè)三角函數(shù)值的大小比較三角函數(shù)值的大小 往往是利用奇偶性或周期性轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)同名函數(shù)值 再利用單調(diào)性比較 反思感悟 1 求形如y asin x 或y acos x 其中a 0 0 的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 可以通過解不等式的方法去解答 列不等式的原則是 把 x 0 視為一個(gè) 整體 a 0 a 0 時(shí) 所列不等式的方向與y sinx x r y cosx x r 的單調(diào)區(qū)間對(duì)應(yīng)的不等式方向相同 反 2 對(duì)于y atan x a 為常數(shù) 其周期單調(diào)區(qū)間利用 x k z 解出x的取值范圍 即為其單調(diào)區(qū)間 對(duì)于復(fù)合函數(shù)y f v v x 其單調(diào)性的判定方法是 若y f v 和v x 同為增 減 函數(shù)時(shí) y f x 為增函數(shù) 若y f v 和v x 一增一減時(shí) y f x 為減函數(shù) 類型四三角函數(shù)的奇偶性解題準(zhǔn)備 1 當(dāng) k 時(shí) y asin x y acos x a 0 分別為奇函數(shù)和偶函數(shù) k z 2 當(dāng) k 時(shí) y asin x y acos x a 0 分別為偶函數(shù)和奇函數(shù) k z 3 函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件 因此在判斷函數(shù)奇偶性時(shí) 應(yīng)首先判斷函數(shù)定義域的對(duì)稱性 4 當(dāng)函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí) 只需分析f x 與f x 的關(guān)系即可 典例4 判斷下列函數(shù)的奇偶性 1 f x sinx cosx 2 y lg sinx 分析 先確定定義域 再用函數(shù)奇偶性的定義 解 1 f x 的定義域?yàn)閞 f x sin x cos x sinx cosx f x 故此函數(shù)是偶函數(shù) 反思感悟 判斷函數(shù)奇偶性時(shí)應(yīng)注意 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件 的應(yīng)用 確定定義域是研究函數(shù)問題的前提 因此解函數(shù)問題的步驟是 先研究函數(shù)的定義域 再用相關(guān)定義加以判斷 類型五三角函數(shù)的周期解題準(zhǔn)備 三角函數(shù)周期的求法有三種 1 定義法 即直接利用周期函數(shù)的定義求周期 2 公式法 三角函數(shù)y sinx y cosx和y tanx的周期分別為2 2 和 函數(shù)y asin x 的周期函數(shù)y acos x 的周期為函數(shù)y atan x 的周期為 a 為常數(shù) a 0 3 轉(zhuǎn)化法 對(duì)于較為復(fù)雜的三角函數(shù) 可通過恒等變形轉(zhuǎn)化為y asin x k y acos x k y atan x k的類型 再利用公式法求得 反思感悟 求三角函數(shù)最小正周期的基本方法有兩種 一是將所給函數(shù)化為y asin x 或y acos x 的形式 二是利用圖象的基本特征求 錯(cuò)源一沒注意三角函數(shù)的有界性出錯(cuò) 典例1 求函數(shù)y 3sin2x 9sinx 的最大值 錯(cuò)解 配方得 故函數(shù)的最大值是ymax 8 剖析 上述解法的錯(cuò)誤在于把題中函數(shù)與通常的二次函數(shù)等同起來了 它們雖有相似之處但也有嚴(yán)格的區(qū)分 忽視了 1 sinx 1的隱含條件 正解 事實(shí)上 二次函數(shù)在t 1 1 上遞增 故原函數(shù)當(dāng)sinx 1時(shí)取最大值 即ymax 評(píng)析 正 余弦的值域是固定在某一個(gè)確定的范圍內(nèi) 在解三角題時(shí) 一定要深入挖掘條件中由正 余弦函數(shù)有界性產(chǎn)生的隱含因素 否則就會(huì)擴(kuò)大解集 造成解題的失誤 錯(cuò)源二確定單調(diào)性時(shí)不注意復(fù)合規(guī)律而致錯(cuò) 典例2 求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間 剖析 上述解法忽視了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的復(fù)合規(guī)律 因?yàn)闃?gòu)成原函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)在 x r 上為減函數(shù) 因此所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為外層函數(shù)y cosu的減區(qū)間 錯(cuò)源三確定函數(shù)的周期時(shí)不注意體現(xiàn)最小而致錯(cuò) 典例3 求y sinx cosx 的周期 錯(cuò)解 設(shè)f x sinx cosx 因?yàn)閒 x sin x cos x sinx cosx f x 所以f x 最小正周期為 剖析 三角函數(shù)周期是指最小正周期 而上述解法沒有體現(xiàn)出所求周期為最小正周期 正解 因?yàn)閥 sinx cosx 0 所以函數(shù)y的周期與函數(shù)y2 1 sin2x 的周期相同 而y2 1 sin2x 的周期為所以函數(shù)y sinx cosx 的周期為 評(píng)析 求三角函數(shù)的最小正周期主要有三種方法 一是根據(jù)定義 但要注意體現(xiàn)最小 二是利用三角函數(shù)的圖象 三是公式法 即函數(shù)y asin x b y acos x b y atan x b 0 的最小正周期分別為 錯(cuò)源四利用正切函數(shù)圖象求解方程根作圖有誤而致錯(cuò) 剖析 產(chǎn)生錯(cuò)解的原因是對(duì)y sinx與y tanx的圖象的性質(zhì)認(rèn)識(shí)不清 答案 a 技法求函數(shù)周期的若干策略一 數(shù)形結(jié)合當(dāng)一個(gè)函數(shù)的周期不容易求得時(shí) 畫出它的圖象是行之有效的好方法 典例1 已知函數(shù)指出函數(shù)的最小正周期 顯然函數(shù)的最小正周期為t 2 二 轉(zhuǎn)化與化歸形如 y tanx cotx y tanx cotx 類型的正切函數(shù)可以通過化簡轉(zhuǎn)換成單一函數(shù)名稱的三角函數(shù) 然后再求周期 典例2