1.多元函數(shù)(重修2011).ppt

7 1多元函數(shù)的概念 7 2偏導數(shù)與全微分 7 3多元復合函數(shù)求導法 7 4隱函數(shù)求導法 7 5多元函數(shù)微分學的幾何應用 7 6方向導數(shù)與梯度 7 7多元函數(shù)的極值及其求法 第7章多元函數(shù)微分學及其應用 1 鄰域 7 1 1平面點集的有關概念 7 1多元函數(shù)的概念 2 n維空間 1 n維空間的記號為 注 2 n維空間中兩點間距離公式 注 n維空間中鄰域概念 特殊地當n 1 2 3時 便為數(shù)軸 平面 空間兩點間的距離 鄰域 設兩點為 類似地可定義三元及三元以上函數(shù) 定義7 1 1設D是平面上的一個點集 則稱映射f D R為定義在D上的二元函數(shù) 7 1 2多元函數(shù)的概念 1 二元函數(shù)的定義 二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面 2 二元函數(shù)z f x y 的圖形 7 1 3多元函數(shù)的極限 定義7 1 2 1 定義 注 1 定義中P P0的方式是任意的 2 二元函數(shù)的極限也叫二重極限 3 二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似 4 二元以上的函數(shù)的極限可類似地定義 2 二元函數(shù)極限問題舉例 例1求極限 解 其中 例2證明 分析 要證明二重極限不存在 可使P選擇不同的路徑而趨于P0 如有不同的極限 則二重極限不存在 證明 令P沿直線y kx而趨于點P0 0 0 則有 顯然 此極限值隨k的變化而變化 所以二重極限 例2 解 當P沿直線y kx而趨于 0 0 點時 當P沿曲線y kx2而趨于 0 0 時 它是與k的取值有關的 所以二重極限 確定極限不存在的方法 定義7 1 3 注 1 間斷點的判別與一元函數(shù)類似 2 多元函數(shù)不僅有間斷點而且有間斷線 1 多元函數(shù)連續(xù)性的定義 7 1 4多元函數(shù)的連續(xù)性 3 多元連續(xù)函數(shù)具有一元連續(xù)函數(shù)相同的性質(zhì) 例3討論函數(shù) 在 0 0 處的連續(xù)性 解 取 故函數(shù)在 0 0 處連續(xù) 例4討論函數(shù) 在 0 0 的連續(xù)性 解 取 其值隨k的不同而變化 極限不存在 故函數(shù)在 0 0 處不連續(xù) 2 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù) 在D上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù) 如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值 則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次 1 最大值和最小值定理 2 介值定理 多元初等函數(shù) 由常數(shù)及不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合步驟所構成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù) 定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域 3 多元初等函數(shù)的連續(xù)性 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 例5 解 7 2偏導數(shù)與全微分 7 2 1偏導數(shù)的概念 7 2 2偏導數(shù)的幾何意義 7 2 3高階偏導數(shù) 7 2 4全微分 7 2 1偏導數(shù)的概念 1 偏導數(shù)的定義 1 f x y 在點P0 x0 y0 處的偏導數(shù) 例如 極限 1 可以表示為 2 偏導函數(shù) 3 偏導數(shù)概念可推廣到二元以上的函數(shù) 注 解 2 偏導數(shù)的計算 仍然是一元函數(shù)的求導公式和求導法則 對某一個自變量求偏導時 其余的自變量看作常量 證明 原結論成立 例3 解 例4 解 注 1 求fx x0 y0 時 可先將y0代入得 最后再將x0代入 例5 解 注 2 求分界點 不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求 按定義可知 3 偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系 但函數(shù)在該點處并不連續(xù) 偏導數(shù)存在連續(xù) 一元函數(shù)中在某點可導連續(xù) 多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在連續(xù) 7 2 2偏導數(shù)的幾何意義 如圖 幾何意義 純偏導 混合偏導 二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù) 7 2 3高階偏導數(shù) 解 例6 具備怎樣的條件才能使混合偏導數(shù)相等 解 問題 混合偏導數(shù)都相等嗎 證畢 例8證明函數(shù) 其中 滿足方程 證明 由于函數(shù)關于自變量的對稱性 所以 因此 證畢 7 2 4全微分 1 增量 全增量及偏微分 由一元函數(shù)微分學中增量與微分的關系得 叫做函數(shù)在點 x y 對應于自變量增量 x y的全增量 z f x x y y f x y 1 2 全微分的定義 事實上 3 可微的必要條件 4 偏導存在不是函數(shù)可微的充分條件 一元函數(shù)可微等價于可導 f x y 在點P0處偏導存在 但f x y 在點P0處不連續(xù) 所以f x y 在點P0處一定不可微 而多元函數(shù)偏導存在不能推出可微 5 函數(shù)可微的充分條件 習慣上 記全微分為 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù) 方法 6 全微分的計算 2 dz fx x y dx fy x y dy iii P0 x0 y0 處且dx dy給定時的微分 1 先求fx x y fy x y 判斷f x y 的可微性 利用充分條件 幾類微分 i P x y 處的微分 ii P0 x0 y0 處的微分 例1 1 計算z x2y y3的全微分 2 計算z x2y y