一道例題看看數(shù)學探究教學設計.doc

從一道例題談數(shù)學探究性學習的教學設計【摘要】：探究性學習給中學數(shù)學課堂帶來勃勃的生機和活力，教師由過去的主宰者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生數(shù)學學習的組織者、引導者與合作者，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數(shù)學的重要方式。課堂教學應該是培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識和實踐能力的主陣地，因此，教師的課堂教學設計是能否激發(fā)學生探究興趣、能否有效拓展學生思維發(fā)展空間和提高學生的綜合素質(zhì)的關(guān)鍵，同時也是對教師的教學觀念和教學能力的挑戰(zhàn)。 【關(guān)鍵詞】： 探究性學習；教學設計數(shù)學課程標準中指出：“有效的數(shù)學學習活動不能單純地依賴模仿和記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數(shù)學的重要方式。”新課程提倡教師在課堂教學中著力構(gòu)建探究平臺，引導學生通過實踐、思考、探索、交流，獲得知識，形成技能。課堂教學應該是培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識和實踐能力的主陣地，因此，教師的課堂教學設計是能否激發(fā)學生探究興趣，能否有效拓展學生思維發(fā)展空間和提高學生的綜合素質(zhì)的關(guān)鍵。所謂數(shù)學探究性學習，是指“學生在數(shù)學領域或現(xiàn)實生活的情境中，通過發(fā)現(xiàn)問題、調(diào)查研究、動手操作、表達與交流等探究性活動，獲得知識、技能和態(tài)度的學習方式和學習過程。”如何在初中數(shù)學教學中引導學生進行探究性學習？如何落實新課程理念下的教學目標？本文試圖通過自己的課堂實例，呈現(xiàn)與探究性學習理論相結(jié)合的探究性學習的課堂教學設計。例題：兩個邊長為a，面積為S的全等的正n邊形疊合，當疊合部分的中心角度數(shù)為時，正n邊形的邊被重合部分的總長度為多少？正n邊形被重合部分的面積為多少？本題沒有提供圖形，重合部分比較抽象，而且中心角概念模糊，學生感到難以人手。如何激發(fā)學生的探究欲望，讓他們自己來參與數(shù)學發(fā)現(xiàn)呢？為此，我進行以下的教學設計：1.創(chuàng)設情境，激發(fā)探究興趣實踐與探究題：如圖1，正方形的對角線相交于點O，點O又是正方形的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等，那么無論正方形繞點O怎樣轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的，想一想這是為什么。（人教版數(shù)學八年級下冊105頁“實踐與探究”“巧拼正方形”第1題）圖1在這里，我利用了課本后面一道與例題有著內(nèi)在聯(lián)系的探究題，在幾何畫板中用鼠標拖動相關(guān)關(guān)鍵點，結(jié)合“計算工具 演示：重合部分的面積始終是一個固定的值。激起學生疑問：重合部分的位置在不斷變化，為什么重合部分的面積卻始終不變呢？這個固定的值是多少呢？如何來證明呢？學生這時處于一種復雜的心理狀態(tài)，一方面學生非常想解決這個問題，很想說出為什么，另一方面又無法立即解決，因為認知水平不夠，這種心理不平衡性激發(fā)了學生探究問題的興趣和熱情，從而產(chǎn)生了強烈的求知欲。2.動手探索，引導深入探究2.1引導學生觀察分析圖形，解決問題并引申結(jié)論（1) 如圖1，一個正方形經(jīng)過另一個正方形的中心，疊合的中心角為多少度？（2）你認為AE和BF、OE和OF、AOE和BOF分別有何關(guān)系？（AE=BF，OE=OF，AOEBOF）（3）與有何關(guān)系？（相等）（4）正方形的邊被另一個正方形重合部分的總長度BE+BF為多少？（定值為：正方形的邊長）（5）重合部分的面積為多少？（定值為：原正方形面積的四分之一）結(jié)論引申：正方形的邊被另一個正方形重合部分的總長度為正方形的邊長，重合部分的面積為正方形面積的四分之一。2.2變式嘗試，從特例入手，類比探究（1）如圖2：設O是邊長為1的正方形的中心，將一塊半徑足夠長、圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點處，并將紙板繞點O旋轉(zhuǎn)，你能發(fā)現(xiàn)什么呢？（仍可得到上述結(jié)論）圖2圖3圖4（2）如圖3：設O是邊長為a，面積為S的正三角形的中心，將一塊半徑足夠長、圓心角為120的扇形紙板的圓心放在O點處，并將紙板繞點O旋轉(zhuǎn)，你能發(fā)現(xiàn)什么新結(jié)論呢？（正三角形的邊被重合部分的總長度為a？正三角形被重合部分的面積為）（3）如圖4：設O是邊長為a，面積為S的正五邊形的中心，將一塊半徑足夠長、圓心角為72的扇形紙板的圓心放在O點處，并將紙板繞點O旋轉(zhuǎn)，大家能發(fā)現(xiàn)什么新結(jié)論呢？（正五邊形的邊被重合部分的總長度為a，正五邊形被重合部分的面積為）2.3縱向探究，揭示普遍規(guī)律（1）根據(jù)以上正三角形、正方形、正五邊形的探究過程，請作出合理猜想。從特殊到一般地推廣： 將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a，面積為S的正n邊形的中心O點處，并將紙板繞點O旋轉(zhuǎn)，當圓心角為，正n邊形的邊被重合部分的總長度為定值a，正n邊形被重合部分的面積為定值。（2）半徑足夠長，圓心角為的扇形與正n邊形內(nèi)角度數(shù)有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？若把“半徑足夠長，圓心角為的扇形”改為與之全等的正n邊形，那么大家能得到什么結(jié)論？類比遷移，可得到如下推廣結(jié)論：兩個邊長為a，面積為S的全等的正n邊形疊合，當疊合部分中心角度數(shù)為時，正n邊形的邊被重合部分的總長度為a，正n邊形被重合部分的面積為。該教學過程設計結(jié)合了新課程標準中的探究性學習理論，涉及了變更問題、類比聯(lián)想、嘗試猜想、總結(jié)歸納等教學環(huán)節(jié)，從學生的“最近發(fā)展區(qū)”入手，為學生構(gòu)建探究平臺，鼓勵學生自主動手、動腦實踐，引導學生由淺入深，從特殊到一般進行探索歸納，有效拓展了學生思維發(fā)展空間，還培養(yǎng)了學生鍥而不舍的學習精神和提高了學生的綜合素質(zhì)。3.合作交流，促進優(yōu)勢互補3.1以四人為小組，進行組內(nèi)合作，充分發(fā)表己見，形成小組集體意見3.2進行組際交流，交流猜想結(jié)論、交流驗證方法等3.3學生概括兩個正n邊形被重合部分的一般規(guī)律這里，教師設計了一個容易激疑的問題情境，給學生思維以方向和動力；幾個由淺人深的問題引起學生深入的思考，并且能促使學生“發(fā)現(xiàn)問題，作出思考，提出猜想，進行歸納”等探究性的學習活動，并教給學生探究性學習的方法。這樣設計探究學習活動，是為了更有利于學生主體性的發(fā)揮。在探究活動中共同協(xié)作，互相學習，各盡其才，促進了學生在語言表達能力、思維品質(zhì)、人格特征以及解題方法等方面的優(yōu)勢互補，使學生興趣盎然地投人探究新知的學習活動，充分體驗合作交流的樂趣。4.反思小結(jié)，提煉數(shù)學思想荷蘭當代著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾指出：“反思是數(shù)學活動的核心和動力。”在探究學習中，學生通過自己的艱苦探索，探究出豐富多彩但有些雜亂無章的結(jié)果。這些結(jié)果雖然凝結(jié)了學生探究的辛苦，但卻有對有錯，因此，在探究學習過程中，教師應及時引導學生進行反思與小結(jié)。對于正確的、合乎邏輯的結(jié)果予以充分的肯定，并及時提煉上升到數(shù)學思想的高度，要讓學生始終對自己充滿信心，引導學生反思，為此，我和學生一起從以下幾個方面進行總結(jié)：(1)在問題的解決過程中，我們是怎樣人手的？我們?yōu)槭裁匆獜倪@里人手？（從正三角形、正方形、正五邊形等正n邊形入手的）(2)在證明過程中我們主要運用了哪些方法？（證三角形全等和面積轉(zhuǎn)移法）(3)本題可以概括出怎樣的一般性的結(jié)論？（兩個邊長為a，面積為S的全等的正n邊形疊合，當疊合部分的中心角度數(shù)為時，正n邊形的邊被重合部分的總長度為a，正n邊形被重合部分的面積為。）(4)在探究中運用了哪些數(shù)學思想方法？（化歸思想、類比思想、轉(zhuǎn)化思想、從特殊到一般的思想等。）5.課外延伸，深化學生探究應用以上解題的方法和結(jié)論，嘗試解決下列問題：1.(2006年晉江市中考題)如圖5，將n個邊長都為1cm的正方形按如圖所示擺放，點、分別是正方形的中心，則n個這樣的正方形重疊部分的面積和為（ ）（）A1A2A3A4圖5A B C D 設計意圖：結(jié)合近幾年的中考命題熱點，反思并鞏固圖1的結(jié)論，題目由一個正方形增加到n個正方形進行變式訓練，注意n個正方形含有（n-1）個重合部分，培養(yǎng)了學生思維的靈活性、變通性和嚴謹性。2.(2007年山東臨沂市中考題)如圖6，已知ABC中，ABBC1，ABC90，把一塊含30角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上(直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF)，將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)。(1)在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N。證明DMDN；在這一旋轉(zhuǎn)過程中，直角三角板DEF與ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積；(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖7的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DMDN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖8的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DMDN是否仍然成立？請寫出結(jié)論，不用證明。AAABBBCCCDDDNNNEEFEFFMMM圖6圖7圖8評析：(1)連接BD，證明BMDCND。四邊形DMBN的面積在旋轉(zhuǎn)過程中恒等于ABC的二分之一，即。(2) 、(3) DMDN仍然成立。設計意圖：這道試題在“實踐與探究題”的基礎上，由正方形變?yōu)槿切?，增加了旋轉(zhuǎn)的角度，設置新的問題。圖形位置變化了，并沒有改變原問題中隱含的數(shù)量關(guān)系，特別是在觀察圖8時，我們應該有敏銳的洞察力，要從表象中看出問題的實質(zhì)：這與圖6給出的信息完全一樣。 一題多變，設計新題，繼續(xù)拓展：(續(xù)上題)(4) 在上述旋轉(zhuǎn)過程中，連接MN，設CN=，DMN的面積為，求當旋轉(zhuǎn)角(090)與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍； (5)當三角板DEF繞點C旋轉(zhuǎn)到DE與AB垂直時(如圖9)，易證：BM+BN=BD。當三角板繞點D旋轉(zhuǎn)到DE與AB不垂直時，在圖10、圖11這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立?若成立，請給予證明；若不成立，線段BM、BN、BD之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想，不需證明ABCDNEEFM圖9圖11BCDNFM圖10AEBCDNMAF評析： (4)AB=BC=1, CN=， BN=,BM=.由 得（因為090，所以01）(5)圖10結(jié)論：BM+BN=BD 證明：過D分別作BA、BC的垂線，垂足分別為P、QDPMDQN,MP=NQ，BP=BM+MP，BQ=BN-NQ 又BP+BQ=BD，即 BM+MP + BN-NQ =BDBM+BN=BD 圖11結(jié)論： BN-BM=BD設計意圖：一題多變，圍繞同一圖形，從不同角度，或變換旋轉(zhuǎn)角度，或結(jié)合其它知識點，引導學生進行深入探究，有利于學生更扎實的掌握知識結(jié)論。(5)本題圖形運動的位置發(fā)生改變，得到的結(jié)論也隨之發(fā)生變化。那么在解決該問題時要把握問題的本質(zhì)，在圖形變化中尋求不變量，在運動過程中把握不變的規(guī)律和結(jié)論，通過類比思維，由已有的結(jié)論猜想出相關(guān)的結(jié)論，從而培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性。學生經(jīng)過自己的主動探索、實驗，發(fā)現(xiàn)了重要的結(jié)論，這是對學生主動參與精神的激勵，能使學生體驗到主動探究成功后的喜悅，增強學生學習的動力和信心。經(jīng)過組內(nèi)和組際的交流，能使學生各自得到不同的收獲，同時能使學生感悟到“面對新問題，聯(lián)想舊知識，尋找新舊知識之間的關(guān)系，揭示知識規(guī)律，獲取新知”的探究方法和策略，使他們更自覺更主動地投入到探究性學習活動中去。實施數(shù)學探究性學習，是數(shù)學教學和學習方式改革的