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有趣的數(shù)學(xué)故事杭?jí)廴A (海安縣墩頭中學(xué)226691)第一個(gè)一百分：童第周（1902-1979）是我國(guó)實(shí)驗(yàn)胚胎學(xué)的主要?jiǎng)?chuàng)造人。他十七歲才到學(xué)校讀書，十八歲考入一所教會(huì)學(xué)校的三年級(jí)當(dāng)插班生。由于基礎(chǔ)差，他在中學(xué)讀書時(shí)十分吃力，第一學(xué)期總平均分?jǐn)?shù)只有四十五分。學(xué)校令其退學(xué)或留級(jí)，經(jīng)過(guò)再三請(qǐng)求，校長(zhǎng)才允許他跟班試讀一學(xué)期。他每天早晨天不亮就起床苦讀，晚上跑到馬路上靠路燈自修。試讀結(jié)束時(shí)，他的總平均分?jǐn)?shù)達(dá)到七十多，幾何還考了一百分。童第周二十八歲時(shí)留學(xué)比利時(shí)，他的老師布拉舍多年來(lái)從事剝除青蛙卵膜的手術(shù)，卻沒(méi)有搞成。童第周知道這種手術(shù)很難做，但他知難而上，不聲不響地搞成了。這下子震動(dòng)了他的歐洲同行。老師高興地說(shuō)：“童小子真行！”1978年夏天，幾個(gè)文藝界的同志曾問(wèn)童第周：解放前，有哪些事情使他特別高興？他回答說(shuō)：“有兩件事，我一想起來(lái)就很高興。一件是我在中學(xué)時(shí)，第一次取得一百分。那件事使我知道我并不比別人笨，別人能辦到的事， 我經(jīng)過(guò)努力也能辦到。世界上沒(méi)有天才，天才是勞動(dòng)換來(lái)的。另一件，就是我在比利時(shí)第一次完成剝除青蛙卵膜的手術(shù)。那件事使我相信：“中國(guó)人也不比外國(guó)笨。外國(guó)人認(rèn)為很難辦到的事，我們照樣能辦到。”祖 沖 之 ： 祖沖之生于公元429年，卒于公元500年。祖籍是現(xiàn)在的河北省淶源縣，他是南北朝時(shí)代南朝宋齊之間的一位杰出的科學(xué)家。他不僅是一位數(shù)學(xué)家，同時(shí)還通曉天文歷法、機(jī)械制造、音樂(lè)，并且是一位文學(xué)家 祖沖之在數(shù)學(xué)方面的主要貢獻(xiàn)是關(guān)于圓周率的計(jì)算，他算出圓周率3.14159263.1415927，這一結(jié)果的重要意義在于指出誤差的范圍，準(zhǔn)確到小數(shù)第七位，是當(dāng)時(shí)世界上最先進(jìn)的成就 祖沖之還和兒子祖暅圓滿解決了球體積的計(jì)算問(wèn)題，得到正確的球體積公式帕 斯 卡 ： 帕斯卡（16231662年）是法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家16歲的時(shí)候就發(fā)現(xiàn)了著名的“帕斯卡定理”，即“圓錐曲線內(nèi)接六邊形的三組對(duì)邊的交點(diǎn)共線”，對(duì)射影幾何學(xué)作出了重要貢獻(xiàn)19歲時(shí)，發(fā)明了一種能做加法和減法運(yùn)算的計(jì)算器，這是世界上第一臺(tái)機(jī)械式的計(jì)算機(jī)他對(duì)連續(xù)不可分量、微分三角形、面積和重心等問(wèn)題的深入研究，對(duì)微積分學(xué)的建立起到了積極的作用帕斯卡對(duì)數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是創(chuàng)立概率論，為了解決概率論和組合分析方面的問(wèn)題，帕斯卡廣泛應(yīng)用了算術(shù)三角形（即二項(xiàng)式定理系數(shù)表，西方稱帕斯卡三角，我國(guó)稱賈憲三角或楊輝三角），并深入研究了二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律以及這個(gè)三角形的構(gòu)造及其許多有趣的性質(zhì)。帕斯卡在物理學(xué)方面提出了重要的“帕斯卡定律”。他所著思想錄和致鄉(xiāng)人書對(duì)法國(guó)散文的發(fā)展產(chǎn)生了重要的影響。 小數(shù)點(diǎn)的代價(jià)： 1967年8月23日，前蘇聯(lián)的聯(lián)盟一號(hào)宇宙飛船在返回大氣層時(shí)，突然發(fā)生了惡性事故-減速速降落傘無(wú)法打開(kāi)。前蘇聯(lián)中央領(lǐng)導(dǎo)研究后決定：向全國(guó)實(shí)況轉(zhuǎn)播這次事故。當(dāng)電視臺(tái)的播音員用沉重的語(yǔ)調(diào)宣布，宇宙飛船兩個(gè)小時(shí)后將墜毀，觀眾將目睹宇航員弗拉迪米科馬洛夫殉難的消息后，舉國(guó)上下頓時(shí)被震撼了，人們沉浸在巨大的悲痛之中。 在電視臺(tái)上，觀眾看到了宇航員科馬洛夫鎮(zhèn)定自若的形象，他面帶微笑地對(duì)母親說(shuō)：媽媽，您的圖像我在這里看得清清楚楚，包括您的頭上的每根白發(fā)，您能看清我嗎？能，能看清楚。兒啊，媽媽一切都很好，你放心吧！這時(shí)，科馬洛夫的女兒也出現(xiàn)在電視屏幕上，她只有12歲?？岂R少夫說(shuō)：女兒，你不要哭。我不哭女兒已泣不成聲，但她強(qiáng)忍悲痛說(shuō)：爸爸，您是蘇聯(lián)英雄，我想告訴您，英雄的女兒會(huì)像英雄那樣生活的！科馬洛夫叮囑女兒說(shuō)：學(xué)習(xí)時(shí)，要認(rèn)真對(duì)待每一個(gè)小數(shù)點(diǎn)。聯(lián)盟一號(hào)今天發(fā)生的一切，就是因?yàn)榈孛鏅z查時(shí)忽略了一個(gè)小數(shù)點(diǎn) 時(shí)間一分一秒地過(guò)去，距離宇宙飛船墜毀只有7分鐘了，科馬洛夫向全國(guó)的電視觀眾揮揮手說(shuō)：同胞們，請(qǐng)?jiān)试S我在這茫茫的太空中與你們告別。 這是一次驚心動(dòng)魄的告別儀式?？岂R洛夫永遠(yuǎn)地走了，他留下了對(duì)親人對(duì)祖國(guó)永恒的愛(ài)。但更震撼人心的是他對(duì)女兒說(shuō)的那番話。它警示著人們：對(duì)待人生不能有絲毫的馬虎，否則，即使是一個(gè)細(xì)枝末節(jié)，也會(huì)讓你付出深重的甚至是永遠(yuǎn)無(wú)法彌補(bǔ)的代價(jià) 。第一個(gè)算出地球周長(zhǎng)的埃拉托色尼： 2000多年前，有人用簡(jiǎn)單的測(cè)量工具計(jì)算出地球的周長(zhǎng)。這個(gè)人就是古希臘的埃拉托色尼(約公元前275前194)。 埃拉托色尼博學(xué)多才，他不僅通曉天文，而且熟知地理；又是詩(shī)人、歷史學(xué)家、語(yǔ)言學(xué)家、哲學(xué)家，曾擔(dān)任過(guò)亞歷山大博物館的館長(zhǎng)。 細(xì)心的埃拉托色尼發(fā)現(xiàn)：離亞歷山大城約800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的陽(yáng)光可以一直照到井底，因而這時(shí)候所有地面上的直立物都應(yīng)該沒(méi)有影子。但是，亞歷山大城地面上的直立物卻有一段很短的影子。他認(rèn)為：直立物的影子是由亞歷山大城的陽(yáng)光與直立物形成的夾角所造成。從地球是圓球和陽(yáng)光直線傳播這兩個(gè)前提出發(fā)，從假想的地心向塞恩城和亞歷山大城引兩條直線，其中的夾角應(yīng)等于亞歷山大城的陽(yáng)光與直立物形成的夾角。按照相似三角形的比例關(guān)系，已知兩地之間的距離，便能測(cè)出地球的圓周長(zhǎng)。埃拉托色尼測(cè)出夾角約為7度，是地球圓周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周長(zhǎng)大約為4萬(wàn)公里，這與實(shí)際地球周長(zhǎng)(40076公里)相差無(wú)幾。他還算出太陽(yáng)與地球間距離為1.47億公里，和實(shí)際距離1.49億公里也驚人地相近。這充分反映了埃拉托色尼的學(xué)說(shuō)和智慧。 埃拉托色尼是首先使用“地理學(xué)”名稱的人，從此代替?zhèn)鹘y(tǒng)的“地方志”，寫成了三卷專著。書中描述了地球的形狀、大小和海陸分布。埃拉托色尼還用經(jīng)緯網(wǎng)繪制地圖，最早把物理學(xué)的原理與數(shù)學(xué)方法相結(jié)合，創(chuàng)立了數(shù)理地理學(xué)。 數(shù)學(xué)之神阿基米德： 阿基米德公元前年出生在意大利半島南端西西里島的敘拉古。父親是位數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家。阿基米德從小有良好的家庭教養(yǎng)，歲就被送到當(dāng)時(shí)希臘文化中心的亞歷山大城去學(xué)習(xí)。在這座號(hào)稱智慧之都的名城里，阿基米德博閱群書，汲取了許多的知識(shí)，并且做了歐幾里得學(xué)生埃拉托塞和卡農(nóng)的門生，鉆研幾何原本。 后來(lái)阿基米德成為兼數(shù)學(xué)家與力學(xué)家的偉大學(xué)者，并且享有力學(xué)之父的美稱。其原因在于他通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了杠桿原理，又用幾何演澤方法推出許多杠桿命題，給出嚴(yán)格的證明。其中就有著名的阿基米德原理，他在數(shù)學(xué)上也有著極為光輝燦爛的成就。盡管阿基米德流傳至今的著作共只有十來(lái)部，但多數(shù)是幾何著作，這對(duì)于推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展，起著決定性的作用。 砂粒計(jì)算，是專講計(jì)算方法和計(jì)算理論的一本著作。阿基米德要計(jì)算充滿宇宙大球體內(nèi)的砂粒數(shù)量，他運(yùn)用了很奇特的想象，建立了新的量級(jí)計(jì)數(shù)法，確定了新單位，提出了表示任何大數(shù)量的模式，這與對(duì)數(shù)運(yùn)算是密切相關(guān)的。 圓的度量，利用圓的外切與內(nèi)接邊形，求得圓周率為： ，這是數(shù)學(xué)史上最早的，明確指出誤差限度的值。他還證明了圓面積等于以圓周長(zhǎng)為底、半徑為高的正三角形的面積；使用的是窮舉法。 球與圓柱，熟練地運(yùn)用窮竭法證明了球的表面積等于球大圓面積的四倍；球的體積是一個(gè)圓錐體積的四倍，這個(gè)圓錐的底等于球的大圓，高等于球的半徑。阿基米德還指出，如果等邊圓柱中有一個(gè)內(nèi)切球，則圓柱的全面積和它的體積，分別為球表面積和體積的 。在這部著作中，他還提出了著名的阿基米德公理。 拋物線求積法，研究了曲線圖形求積的問(wèn)題，并用窮竭法建立了這樣的結(jié)論：任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的弓形（即拋物線），其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四。他還用力學(xué)權(quán)重方法再次驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，使數(shù)學(xué)與力學(xué)成功地結(jié)合起來(lái)。 論螺線，是阿基米德對(duì)數(shù)學(xué)的出色貢獻(xiàn)。他明確了螺線的定義，以及對(duì)螺線的面積的計(jì)算方法。在同一著作中，阿基米德還導(dǎo)出幾何級(jí)數(shù)和算術(shù)級(jí)數(shù)求和的幾何方法。平面的平衡，是關(guān)于力學(xué)的最早的科學(xué)論著，講的是確定平面圖形和立體圖形的重心問(wèn)題。浮體，是流體靜力學(xué)的第一部專著，阿基米德把數(shù)學(xué)推理成功地運(yùn)用于分析浮體的平衡上，并用數(shù)學(xué)公式表示浮體平衡的規(guī)律。 論錐型體與球型體，講的是確定由拋物線和雙曲線其軸旋轉(zhuǎn)而成的錐型體體積，以及橢圓繞其長(zhǎng)軸和短軸旋轉(zhuǎn)而成的球型體的體積。 丹麥數(shù)學(xué)史家海伯格，于年發(fā)現(xiàn)了阿基米德給厄拉托塞的信及阿基米德其它一些著作的傳抄本。通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，這些信件和傳抄本中，蘊(yùn)含著微積分的思想，他所缺的是沒(méi)有極限概念，但其思想實(shí)質(zhì)卻伸展到世紀(jì)趨于成熟的無(wú)窮小分析領(lǐng)域里去，預(yù)告了微積分的誕生。 正因?yàn)樗慕艹鲐暙I(xiàn)，美國(guó)的E.T.貝爾在數(shù)學(xué)人物上是這樣評(píng)價(jià)阿基米德的：任何一張開(kāi)列有史以來(lái)三個(gè)最偉大的數(shù)學(xué)家的名單之中，必定會(huì)包括阿基米德，而另外兩們通常是牛頓和高斯。不過(guò)以他們的宏偉業(yè)績(jī)和所處的時(shí)代背景來(lái)比較，或拿他們影響當(dāng)代和后世的深邃久遠(yuǎn)來(lái)比較，還應(yīng)首推阿基米德。 有趣的21： 我們知道，整數(shù)被2 , 3 , 4 , 5 , 8 , 9或11整除的特點(diǎn)易掌握，什么樣的數(shù)能被7整除？這可是一個(gè)難題，下面，我將介紹一些關(guān)于整數(shù)被7整除的有趣而又有用的知識(shí)。 先從37=21談起。 有一個(gè)道理是很明顯的。如果有一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)是1，這個(gè)數(shù)又比21大的話，我們將這個(gè)數(shù)減去21，得數(shù)（它的末位數(shù)肯定是0）如果能被7整除，先前那個(gè)數(shù)肯定也能被7整除；如果得數(shù)不能被7整除，先前那個(gè)數(shù)肯定也不能被7整除，即在這種情況下，判斷得數(shù)能不能被7整除，最末位上的0可以舍去不管。如果給定的整數(shù)的末位數(shù)不是1，而是其他數(shù)，也可以依此類推，例如給定整數(shù)末位數(shù)是6，我們可將此數(shù)減去216=126，也即先從該整數(shù)中去掉末位數(shù)6，再?gòu)乃鄶?shù)中減去62=12。由此我們得到一個(gè)一般原則：去掉末位數(shù)，再?gòu)氖Ｏ碌臄?shù)中減去去掉的末位數(shù)的2倍。 以考查15946能不能被7整除為例，去掉末位數(shù)6，再計(jì)算1594-26得1582，此時(shí)，如果1582能被7整除，則115946就能被7整除；如果1582不能被7整除，則15946就不能被7整除。 繼續(xù)對(duì)1582用此法判斷可得154，再作一次就得7，由于最后得到的是7（或7的倍數(shù)），故知15946能被7整除。 這是一種簡(jiǎn)捷可靠的判斷一個(gè)整數(shù)能不能被7整除的方法，我們稱它?quot;去一減二法，它的意思就是前面說(shuō)的：去掉末位一個(gè)數(shù)，再?gòu)氖Ｏ碌臄?shù)中減去去掉的數(shù)的2倍。 再舉一個(gè)例子，讓我們來(lái)考查841945是否能被7整除。我們將逐次用去一減二法。結(jié)果寫出來(lái)（末位數(shù)是0時(shí)可以將0舍去）便是：84194584184841824。故知841945不能被7整除。 實(shí)際解題時(shí)，只需心算就行了，不必將上面的式子逐個(gè)寫出，解題中也可以隨機(jī)應(yīng)變地運(yùn)用一些技巧，例如，如果一眼就看出末位兩位或前兩位數(shù)是14，35，56，84，91等7的倍數(shù)時(shí)，可以直接舍去，如84194519451841，立即就可以斷定841945不能被7整除。在上面的心算中，我們兩次舍去了84這個(gè)7的倍數(shù)。 還有一種判斷整數(shù)能不能被7整除的方法，這種方法也可以用來(lái)判斷整數(shù)是否能被11或13整除，由于這種方法的基礎(chǔ)是71113=1001，所以我們將它為1001法。 還以15946為例，我們將15946從左往右數(shù)到第一位與第四位（中間相隔兩位）上的數(shù)都減去1，則得5936，實(shí)際上相當(dāng)于減去101001，減去的是7的倍數(shù)，因此要考查15946是否能被7整除，只須考查5936是否能被7整除就行了，再?gòu)?936的第一位和第四位上都減去5，得931，則15946能不能被7整除的問(wèn)題變成了考查931能不能被7整除，如果我們把大于7的數(shù)字都減去7，實(shí)際上就是要考查231是否能被7整除，這時(shí)只須用一次去一減二法得21，就能判定15946能被7整除了。 又如，用1001法考查841945能不能被7整除，由于 1001841=841841，所以841945-841841=945-841=104（即多次用1001法的結(jié)果），因此我們只須考查104是否能被7整除即可，此時(shí)用去一減二法得2，故知841945不能被7整除。 這里要注意，因?yàn)?001=71113，所以1001法不光能用來(lái)判斷7的整除性，還可以用來(lái)判斷11和13的整除性，由于104不能被11整除而能被13整除，所以我們可以判定841945不能被11整除而能被113整除。這是一個(gè)很有用的知識(shí)。 利用1001法進(jìn)行判斷時(shí)，如果位數(shù)較多（數(shù)字較長(zhǎng)），可以先將整數(shù)從右到左每三個(gè)數(shù)一節(jié)地分開(kāi)，再?gòu)挠疫厰?shù)起按下面辦法計(jì)算（下式的證明要用到同余式的知識(shí)，此處從略，有興趣的讀者可參看有關(guān)初等數(shù)論的書）： 第一節(jié) - 第二節(jié) + 第三節(jié) - 第四節(jié) +，計(jì)算所得的數(shù)如果是7，11或13的倍數(shù)，原數(shù)就能被7，11或13數(shù)整除；如果算得的數(shù)不是7，11或13的倍數(shù)，則原數(shù)就不能被7，11或13整除。 例如，我們考查64763881，從右往左分節(jié)得881，763，64，于是計(jì)算得881-763+64=182，由于182能被7和13整除，而不能被11整除，所以64763881能被7和13整除而不能被11整除。 為了開(kāi)闊思路、增加興趣，使讀者掌握得更好些，筆者擬了道趣題作為上述方法的練習(xí)。 如果我們?cè)?1的2與1之間添加進(jìn)去若干個(gè)0，使它變成：2001，現(xiàn)在問(wèn)：這種2001的數(shù)中，是否有能被21整除的？如果沒(méi)有，那是為什么？如果有，那么有多少個(gè)？ 這個(gè)題目如果思路得當(dāng)，小學(xué)生都能解答；如果弄得不好，大學(xué)生也做不出來(lái)。一個(gè)很自然的想法是，我們不妨在21的2與1之間添加進(jìn)去幾個(gè)0試試看，當(dāng)添加進(jìn)去6個(gè)0鋇?0000001，這是一個(gè)八位數(shù)，按1001法分節(jié)計(jì)算得： 001-000+20=21， 由于21能被7整除，故20000001必能被7整除，同時(shí)考慮到20000001的各位數(shù)字之和為3，故這個(gè)數(shù)必能被3整除，因此20000001必能被21整除，所以形如2001的數(shù)中，能被21整除的數(shù)是有的，這種數(shù)有多少個(gè)呢？如果我們?cè)偬砑舆M(jìn)去6個(gè)0的話得20000000000001，按1001法分節(jié)計(jì)算得 001-000+000-000+20=21， 又得到一個(gè)形如