閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(77).ppt

1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1 ContinuousFunctionsonaClosedInterval 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2 函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù)是指f x 在該區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)都連續(xù) 并且在兩個(gè)端點(diǎn)單側(cè)連續(xù) 閉區(qū)間 a b 上的連續(xù)函數(shù)y f x 的圖形是一條從點(diǎn)A a f a 到點(diǎn)B b f b 的連續(xù)不間斷的曲線 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)3 f x 在開(kāi)區(qū)間 a b 上連續(xù)但在閉區(qū)間 a b 上不連續(xù) 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)4 一 有界性和最值性 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)5 定理1 有界性定理 在閉區(qū)間 a b 上的連續(xù)函數(shù)f x 在該區(qū)間上是有界的 存在實(shí)數(shù)A和B 使得 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)6 證明 這個(gè)看似簡(jiǎn)單的定理的證明 其證明較難 涉及較多的實(shí)數(shù)和分析理論 證明從略有興趣的同學(xué)可以參考 數(shù)學(xué)分析 中的證明 例如 江澤堅(jiān) 數(shù)學(xué)分析 上冊(cè) 66頁(yè) 證明 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)7 定理1 最值定理 在閉區(qū)間 a b 上的連續(xù)函數(shù)f x 一定能在該區(qū)間上取得最大的函數(shù)值和最小的函數(shù)值 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)8 證明 最值性可以用有界性加以證明 仍然有一定難度 有興趣的同學(xué)可以參考 數(shù)學(xué)分析 中的證明 例如 江澤堅(jiān) 數(shù)學(xué)分析 上冊(cè) 67頁(yè) 證明 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)9 僅在開(kāi)區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)不一定能夠取到最大 最小 的函數(shù)值 也不一定有界 注意 例如函數(shù)y x在 0 1 內(nèi)連續(xù) 但它不能取到最大和最小的函數(shù)值 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)10 又如函數(shù)y 1 x在開(kāi)區(qū)間 0 1 上連續(xù) 但無(wú)界 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)11 二 零點(diǎn)定理與介值定理 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)12 定理2 零點(diǎn)定理 設(shè)函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 且f a 與f b 異號(hào) 則在區(qū)間 a b 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得f 0 這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)f x 的零點(diǎn) 或方程f x 0的根 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)13 零點(diǎn)定理的幾何解釋 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)14 零點(diǎn)定理的幾何解釋 Ithasthreeroots 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)15 證明 同樣 這個(gè)看上去很顯然的結(jié)論 其證明不簡(jiǎn)單 涉及較多的實(shí)數(shù)和分析理論 證明利用了所謂的閉區(qū)間套技術(shù) 證明從略有興趣的同學(xué)可以參考 數(shù)學(xué)分析 中的證明 例如 江澤堅(jiān) 數(shù)學(xué)分析 上冊(cè) 68頁(yè) 證明 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)16 在閉區(qū)間上不連續(xù)的函數(shù)不一定有零點(diǎn) 注意 瞧 這個(gè)函數(shù)就沒(méi)有零點(diǎn) 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)17 定理3 介值定理 設(shè)函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 且M和m分別是函數(shù)在 a b 上的最大值和最小值 則對(duì)任何介于M和m值的數(shù)C 在區(qū)間 a b 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得f C 將零點(diǎn)定理加以推廣 得到介值定理 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)18 介值定理的幾何解釋 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)19 介值定理的幾何解釋 即函數(shù)f x 的值域?yàn)?m M 介值定理實(shí)質(zhì)是說(shuō)明值域f a b 是一個(gè)沒(méi)有縫隙的連通區(qū)間 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)20 定理3 介值定理 設(shè)函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 且M和m分別是函數(shù)在 a b 上的最大值和最小值 則對(duì)任何介于M和m值的數(shù)C 在區(qū)間 a b 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得f C 證明思路 有零點(diǎn) 作輔助函數(shù) 再用零點(diǎn)定理即可 自學(xué) 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)21 證明 方程 在開(kāi)區(qū)間 0 1 內(nèi)至少有一個(gè)根 例1 解 令 則函數(shù)在閉區(qū)間 0 1 上連續(xù) 又 由零點(diǎn)定理 該方程在 0 1 內(nèi)至少有一個(gè)根 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)22 方程 在開(kāi)區(qū)間 0 1 內(nèi)至少有一個(gè)根 討論 能不能判斷方程還在哪些區(qū)間上有根 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)23 with plots A plot x 3 4 x 2 1 x 3 5 y 10 3 color red thickness 3 B plot exp x x 2 3 y 0 01 3 color blue thickness 3 C plot x x 1 2 5 y 1 2 5 color black thickness 2 linestyle 2 display A scaling unconstrained tickmarks 5 5 有三個(gè)根 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)24 我還想知道根的近似值 怎么辦 見(jiàn)教材第三章第八節(jié) p 176 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)25 二分法BisectionMethod 教材178頁(yè) 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)26 選學(xué)內(nèi)容 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)27 有界性定理的證明 江澤堅(jiān) 數(shù)學(xué)分析 上冊(cè) 67頁(yè) Back 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)28 最值定理的證明 Back 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)29 零點(diǎn)定理的證明 二分法 江澤堅(jiān) 數(shù)學(xué)分析 上冊(cè) 68頁(yè) 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)30 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)31 Back 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)32 另一證明 菲赫金哥爾茨 微積分學(xué)教程 第一卷第一分冊(cè) 162頁(yè) Back 1 10閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)33 二分法的思路 1 10閉區(qū)