高等數(shù)學(xué)I課程教學(xué)大綱(試用稿).doc

高等數(shù)學(xué)I課程教學(xué)大綱(試用稿)課程代碼： 適用專業(yè)：理科類學(xué)時(shí)數(shù)：180 學(xué)分?jǐn)?shù)：10執(zhí)筆人：劉 群 編寫時(shí)間：2004年9月一、課程的性質(zhì)和目的高等數(shù)學(xué)課程是師范類大學(xué)各相關(guān)專業(yè)學(xué)生的一門必修的重要基礎(chǔ)理論課，它為學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)各專業(yè)課提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，也為學(xué)生解決一些實(shí)際問(wèn)題提供了有效的數(shù)學(xué)方法，同時(shí)，通過(guò)180學(xué)時(shí)的教學(xué)，逐步培養(yǎng)學(xué)生具有抽象概話問(wèn)題的能力，較強(qiáng)的邏輯推理能力和較熟練的運(yùn)算能力，從而提高綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)后繼專業(yè)課打下較好的基礎(chǔ)。二、教學(xué)內(nèi)容及要求第一章 函數(shù)與極限(講授16學(xué)時(shí),習(xí)題課2學(xué)時(shí))（一）教學(xué)要求1、理解函數(shù)、函數(shù)極限、無(wú)窮小與無(wú)窮大及函數(shù)的連續(xù)的概念。2、掌握極限的性質(zhì)及運(yùn)算方法，會(huì)利用極限存在的準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限、等價(jià)無(wú)窮小及函數(shù)的連續(xù)性計(jì)算極限。3、了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，并會(huì)運(yùn)用。（二）教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)：函數(shù)的概念、極限的概念、極限的性質(zhì)及其運(yùn)算，連續(xù)函數(shù)的概念。難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)的概念、極限的概念 1.1映射與函數(shù) 集合、映射、函數(shù) 1.2數(shù)列的極限 數(shù)列極限的定義、數(shù)列極限的性質(zhì) 1.3函數(shù)的極限 函數(shù)極限的定義、函數(shù)極限的性質(zhì) 1.4無(wú)窮小與無(wú)窮大 1.5極限運(yùn)算法則 1.6極限存在準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限 1.7 無(wú)窮小的比較 1.8函數(shù)的連續(xù)與間斷 函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的間斷點(diǎn) 1.9連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性 1.10閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 有界性與最大值、最小值定理、零點(diǎn)定理與介值定理一致連續(xù)性第二章 導(dǎo)數(shù)與微分(講授12學(xué)時(shí),習(xí)題課2學(xué)時(shí))（一）教學(xué)要求1、理解導(dǎo)數(shù)、微分的概念、相互關(guān)系、物理和幾何意義，理解可導(dǎo)與連續(xù)之間的關(guān)系，了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。2、會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，會(huì)求各種類型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，分段函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)，了解微分的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。（二）教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念、微分的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義、初等函數(shù)微分法。2.1導(dǎo)數(shù)概念 導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)可導(dǎo)性與函數(shù)連續(xù)性的關(guān)系2.2函數(shù)的求導(dǎo)法則 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則、反函數(shù)的求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則、基本求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式 2.3高階導(dǎo)數(shù)2.4隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率2.5函數(shù)的微分 微分的定義、微分的幾何意義、微分公式及運(yùn)算法則、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(講授18學(xué)時(shí),習(xí)題課2學(xué)時(shí))（一）教學(xué)要求1、理解并會(huì)用微分中值定理2、掌握導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)的單調(diào)性、求極值、求最值、判斷函數(shù)圖象的各種特征等方面的運(yùn)用3、掌握洛必達(dá)法則、泰勒公式4、了解曲率和曲率半徑的概念，并會(huì)計(jì)算（二）教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)：拉格朗日中值定理、泰勒公式、洛必達(dá)法則，函數(shù)增減性和凹凸性判別法、函數(shù)極值及其求法、最值問(wèn)題。難點(diǎn)：中值定理、泰勒公式 3.1微分中值定理 羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理 3.2洛必達(dá)法則 3.3泰勒公式 3.4函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性及拐點(diǎn) 3.5函數(shù)的極值、最大值及最小值 3.6函數(shù)圖形的描繪 3.7曲率 弧微分、曲率及其計(jì)算公式、曲率園與曲率半徑、*曲率中心計(jì)算公式、漸屈線與漸伸線 3.8方程的近似解第四章 不定積分(講授14學(xué)時(shí),習(xí)題課2學(xué)時(shí))（一）教學(xué)要求1、理解原函數(shù)、不定積分的概念2、掌握不定積分的基本公式、掌握不定積分的性質(zhì)、換元積分法及分部積分法、會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分，會(huì)使用積分表。（二）教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)：原函數(shù)、不定積分的概念、基本積分公式、換元積分與分部積分法 4.1不定積分的概念與性質(zhì) 4.2 換元積分法 4.3分部積分法 4.4有理函數(shù)的積分4.5 積分表的使用第五章 定積分(講授12學(xué)時(shí),習(xí)題課2學(xué)時(shí))（一）教學(xué)要求1、理解定積分的概念、性質(zhì)2、理解變上限積分定義的函數(shù)，掌握牛頓萊布尼茨公式3、了解廣義積分的概念，并會(huì)計(jì)算廣義積分，會(huì)計(jì)算函數(shù)的平均值（二）教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)：定積分概念。定積分中值定理，變上限定積分及其求導(dǎo)定理，牛頓萊布尼茲公式，定積分的換元積分法及分部積分法。難點(diǎn)：定積分的概念、變上限定積分作為上限函數(shù)及其求導(dǎo)定理。5.1定積分的概念與性質(zhì)5.2微積分基本公式 變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，牛頓萊布尼茨公式 5.3定積分的換元法和分部積分法 5.4反常積分 5.5反常積分的審斂法、部函數(shù)第六章 定積分的應(yīng)用(講授6學(xué)時(shí))（一）教學(xué)要求理解定積分的元素法，掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積，平行截面面積為已知的主體體積，功、引力、壓力）。（二）教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)：定積分的元素法、平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、弧長(zhǎng)、功。6.1定積分的元素法6.2定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 平面圖形的面積、體積、平面曲線的弧長(zhǎng)6.3定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用 變力沿直張線所作的功、水壓力、引力第七章 空間解析幾何與向量代數(shù)(講授12學(xué)時(shí),習(xí)題課2學(xué)時(shí))（一）教學(xué)要求1、理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示，掌握向量的運(yùn)算，了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件，理解單位向量、方向數(shù)與量向余弧、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法。2、掌握平面方程和直線方程及其求法，會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題。3會(huì)求點(diǎn)到直線的距離以及點(diǎn)到平面的距離4了解曲面方程和空間曲線方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程，了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求其方程。（二）教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)：向量概念，向量的坐標(biāo)表達(dá)式及向量運(yùn)算平面的點(diǎn)法式方程，直線的對(duì)稱方程，曲面方程的概念，空間曲線一般方程和參數(shù)方式，空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影。 7.1向量及其線性運(yùn)算 向量概念、向量的線性運(yùn)算、空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)系作向量的線性運(yùn)算，向量的模、方向角、投影。 7.2數(shù)量積、向量積、混和積 7.3曲面及其方程 曲面方程的概念、旋轉(zhuǎn)曲面、柱面、二次曲面7.4空間曲線及其方程7.5平面及其方程 平面的點(diǎn)法式方程、平面的一般方程，兩平面的夾角7.6空間直線及其方程 空間直線的一般方程，空間直線的對(duì)稱方程與參數(shù)方程、兩直線的夾角，直線與平面的夾角第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用(講授16學(xué)時(shí),習(xí)題課2學(xué)時(shí))（一）教學(xué)要求1、理解多元函數(shù)的概念、理解二元函數(shù)的幾何意義，了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。2、理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性，掌握多元復(fù)合函數(shù)一、二階段的求法，會(huì)用隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。3、理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法。4、了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面積法平面的概念，會(huì)求它們的方程。5、了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。6、理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。（二）教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)：多元函數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念，偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)8.1多元函數(shù)的基本概念 平面與集、n維空間、多元函數(shù)概念、多元函數(shù)的極限、多元函數(shù)的連續(xù)性8.2偏導(dǎo)數(shù) 偏導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算方法、高階偏導(dǎo)數(shù)8.3全微分8.4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則8.5隱函數(shù)的求導(dǎo)公式8.6多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線8.7方向?qū)?shù)與梯度8.8多元函數(shù)的極值及求法8.9二元函數(shù)的泰勒公式第九章 重積分(講授10學(xué)時(shí),習(xí)題課2學(xué)時(shí))（一）教學(xué)要求1、理解二重積分、三重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理2、掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）會(huì)計(jì)算三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）。3、會(huì)求曲面的面積，求質(zhì)心、重心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及引力。（二）教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)：二重積分的概念和計(jì)算難點(diǎn)：重積分化為累次積分次序及積分上、下限的確定9.1二重積分的概念與性質(zhì)9.2二重積分的計(jì)算法 利用直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)計(jì)算二重積分9.3三重積分 三重積分的概念、三重積分的計(jì)算（直角、坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）9.4重積分的應(yīng)用 曲面的面積、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力9.5含參變量的積分第十章 曲線積分與曲面積分(講授10學(xué)時(shí),習(xí)題課2學(xué)時(shí))（一）教學(xué)要求1、理解對(duì)弧長(zhǎng)的和對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及相互關(guān)系，掌握其計(jì)算方法。2、掌握格林公式，會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，會(huì)求全微分的原函數(shù)。3、了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及相互關(guān)系，掌握計(jì)算兩類曲面積分的方法，會(huì)用高斯公式、斯托克斯公式計(jì)算曲面、曲線積分。4、了解散度、旋轉(zhuǎn)度，并會(huì)計(jì)算，會(huì)運(yùn)用曲線、曲面積分求一些幾何量與物理量。（二）教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)：曲線積分與曲面積分的概念，格林公式高斯公式。難點(diǎn)：曲面積分的計(jì)算10.1對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分10.2對(duì)坐標(biāo)的曲線積分10.3格林公式及其應(yīng)用10.4對(duì)面積的曲面積分10.5對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 10.6高斯公式，通量與散度10.7斯托克斯公式，環(huán)流量與旋度第十一章 無(wú)窮級(jí)數(shù)(講授16學(xué)時(shí),習(xí)題課2學(xué)時(shí))（一）教學(xué)要求1、理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)數(shù)、P級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法、了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系。2、了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念，掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法，了解冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)，會(huì)求冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)。3、了解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件，掌握ex、sinx、cosx、In(1+x)和(1+x)的麥克勞林展開(kāi)式。4、了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會(huì)將定義在上的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在上的函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)會(huì)寫出傅里葉級(jí)數(shù)的和的表達(dá)式。（二）教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)：級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念、正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較審斂法與比值審斂法，冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的求法，函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。（物理系學(xué)生包括傅里葉級(jí)數(shù)）11.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)11.2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及審斂法、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法、絕對(duì)收斂與條件收斂11.3冪級(jí)數(shù) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念、冪級(jí)數(shù)及其收斂性、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算11.4函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)11.5函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的應(yīng)用 近似計(jì)算、歐拉公式11.6函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)11.7傅里葉級(jí)數(shù)11.8一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)第十二章 微分方程(講授16學(xué)時(shí),習(xí)題課2學(xué)時(shí))（一）教學(xué)要求1、了解微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等概念，掌握可分離變量及一階線性微分方程的解法。2、會(huì)解齊次微分方程，伯努力方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程，會(huì)用降階法解微分方程，y(n)=f(x),y=f(x,y)和y=f(y,y)。3、理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。4、會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常數(shù)非齊次線性微分方程、會(huì)解歐拉方程。（二）教學(xué)要求重點(diǎn)：微分方程概念、通解、可分離變量方程，一階線性方程、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù)微分方程。12.1微分方程的基本概念12.2可分離變量的微分方程12.3齊次方程12.4一階線性微分方程 線性微分方程、伯努力方程12.5全微分方程12.6可降階的高階微分方程12.7高階線性微分方程12.8常系數(shù)齊次線性微分方程12.9常系數(shù)非齊次線性微分方程 f（x）=e Pm(x)型、f(x)=eP1(x)Cos+Pn(x)sin型12.10歐拉方程12.11微分方程的冪級(jí)數(shù)解法12.12常系數(shù)線性微分方程組解法舉例三、教學(xué)形式與安排高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)形式有：教師課堂講授、學(xué)生自學(xué)，加強(qiáng)練習(xí)；教師與學(xué)生共同討論，加強(qiáng)習(xí)題課，加強(qiáng)計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)等方式，為在有限的180學(xué)時(shí)的教學(xué)時(shí)數(shù)內(nèi)，提高教學(xué)質(zhì)量。成績(jī)考核方式：以閉卷考試為主，平時(shí)作業(yè)評(píng)查計(jì)30%。作業(yè)方面：學(xué)生通過(guò)做一定數(shù)量的習(xí)題，以達(dá)到掌握所學(xué)知識(shí)，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，以選擇的同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編的教材為例，作業(yè)量應(yīng)達(dá)到書中練習(xí)題量的百分之七十以上。四、建議使用教材與教學(xué)參考書目教材：同濟(jì)大學(xué)主編高等數(shù)學(xué)節(jié)五版高等教育出版社 2002年7月參考書目:（1）陳文燈高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)世界圖書出版公司2004年8月（2）北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)機(jī)械工具出版社2002年9月課程簡(jiǎn)介課程代碼：課程名稱：高等數(shù)學(xué)課程名稱：Advanced