貴州省都勻第一中學(xué)2019_2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理（含解析）.docx

貴州省都勻第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題（本大題共12小題）1. 下列命題正確的是（）A. 經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面B. 經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C. 四邊形確定一個(gè)平面D. 兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面2. 在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，1，3）關(guān)于平面xOz的對稱點(diǎn)是（）A. B. C. D. 1,3. 空間中異面直線a與b所成角的取值范圍是（）A. B. C. D. 4. 已知直線l的方程為y=2，則它的斜率為（）A. 0B. 1C. 2D. 不存在5. 若直線l的傾斜角滿足，則其斜率k的范圍為（）A. B. C. D. 6. 設(shè)直線l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，下列命題正確的是（）A. 若,則B. 若,則C. 若,則D. 若,則7. 空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)E，M，N滿足，則（）A. 四點(diǎn)O、E、M、N必共面B. 四點(diǎn)P、E、M、N必共面C. 四點(diǎn)O、P、M、N必共面D. 五點(diǎn)O、P、E、M、N必共面8. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為（）A. B. C. 2D. 9. 如圖，二面角-l-等于120，A、B是棱l上兩點(diǎn)，BD、AC分別在半平面、內(nèi)，ACl，BDl，且2AB=AC=BD=2，則CD的長等于（）A. B. C. 4D. 510. 已知兩條不同直線m，n和兩個(gè)不同平面，下列敘述正確的是（）A. 若,則B. 若,則C. 若,則D. 若,則11. 設(shè)直線m：4x-3y-1=0和n：y-1=0，則m和n成角（銳角）的平分線所在的直線方程為（）A. B. C. D. 12. 設(shè)mR，動直線l1：x+my-1=0過定點(diǎn)A，動直線過定點(diǎn)B，若直線l1與l2相交于點(diǎn)P（異于點(diǎn)A，B），則PAB周長的最大值為（）A. B. C. D. 二、填空題（本大題共4小題）13. 過點(diǎn)P（2，-3）且在兩軸上的截距相等的直線方程為_（寫出直線的一般方程）14. 設(shè)，是兩個(gè)不共線的空間向量，若=2，=，且A，C，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為_15. 長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，直線AB1和A1C的夾角的余弦值為_16. 已知二次函數(shù)f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2在區(qū)間3，5上至少有一個(gè)零點(diǎn)，則a2+b2的最大值為_三、解答題（本大題共6小題）17. 已知直線l經(jīng)過兩條直線l1：x-y+4=0和l2：x-2y+2=0的交點(diǎn)，直線l3：2x-3y+1=0；（1）若ll3，求l的直線方程；（2）若ll3，求l的直線方程18. 圖1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB1，BEBF2，F(xiàn)BC60，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC平面BCGE；（ 2）求圖2中的四邊形ACGD的面積19. ABC中，A(0，1)，AB邊上的高CD所在直線的方程為x+2y-40，AC邊上的中線BE所在直線的方程為2x+y-30（1）求直線AB的方程；（2）求直線BC的方程20. 如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=4，AB=AD=2，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)（1）證明：MN平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的余弦值21. 一般地，對于直線l：Ax+By+C=0（A，B不全為0）及直線l外一點(diǎn)P（x0，y0），我們有點(diǎn)P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0（A，B不全為0）的距離公式為：（1）證明上述點(diǎn)P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0（A，B不全為0）的距離公式；（2）設(shè)P為拋物線y=x2上的一點(diǎn)，P到直線l：x+y+2=0的距離為d，求d的最小值22. 如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D為BB1的中點(diǎn)（）若E為AB1上的一點(diǎn)，且DE與直線CD垂直，求的值；（）在（）的條件下，設(shè)異面直線AB1與CD所成的角為45，求直線DE與平面AB1C1成角的正弦值答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、根據(jù)公理2知，必須是不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A不對；B、根據(jù)一條直線和直線外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面知，故B不對；C、比如空間四邊形則不是平面圖形，故C不對；D、兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線，則三個(gè)交點(diǎn)不共線，故它們確定一個(gè)平面，由公理1知三條直線都在此平面內(nèi)，故D正確故選：D根據(jù)公理2以及推論判斷A、B、D，再根據(jù)空間四邊形判斷C本題主要考查了確定平面的依據(jù)，注意利用公理2的以及推論的作用和條件，可以利用符合題意的幾何體來判斷，考查了空間想象能力2.【答案】B【解析】解：由題意，關(guān)于平面xOz的對稱點(diǎn)很明顯y軸的正負(fù)性發(fā)生改變，而x軸和z軸不改變故點(diǎn)（2，1，3）關(guān)于平面xOz的對稱點(diǎn)是（2，-1，3）故選：B本題主要思考y軸的正負(fù)性發(fā)生改變，而x軸和z軸不改變即可得到結(jié)果本題主要考查在空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)關(guān)于面的對稱點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題3.【答案】C【解析】解：根據(jù)異面直線所成角定義，空間中異面直線a與b所成角的取值范圍是，故選：C根據(jù)異面直線所成角定義，直接求出考查異面直線所成角的范圍，基礎(chǔ)題4.【答案】A【解析】解：直線l的方程為y=2，直線y=2是平行于x軸的直線，其斜率為0故選：A直接由平行于x軸的直線的斜率為0得答案本題考查直線的斜率，是基礎(chǔ)題5.【答案】C【解析】解：直線l的傾斜角滿足，且k=tan，又tan=，tan，函數(shù)y=tanx在（，）上單調(diào)遞增，k的范圍為故選：C由直線的傾斜角的范圍結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性得答案本題考查直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，考查正切函數(shù)的單調(diào)性，是基礎(chǔ)題6.【答案】D【解析】解：直線A1x+B1y+C1=0的方向向量為（-B1，A1），直線A2x+B2y+C2=0的方向向量為（-B2，A2），當(dāng)l1l2時(shí)，B1與B2可能都等于0，故“則”不一定成立，故A不正確A1B2=A2B1，不能說明l1l2，可能兩條直線重合，所以B不正確，兩條直線A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0垂直，就是兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0，即：（-B1，A1）（-B2，A2）=0，可得A1A2+B1B2=0，故D正確，C錯(cuò)誤；故選：D分別根據(jù)直線的平行和垂直判斷即可本題考查了兩條直線平行與垂直的充要條件，涉及直線的向量以及方向向量，數(shù)量積的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題7.【答案】B【解析】解：空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)E，M，N滿足，由+=1，則四點(diǎn)P、E、M、N必共面故選：B根據(jù)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，滿足向量關(guān)系式=x+y+z，P，A，B，C四點(diǎn)共面的充要條件是：x+y+z=1，判斷即可本題考查了空間四點(diǎn)P，A，B，C共面的判斷問題，是基礎(chǔ)題8.【答案】A【解析】解：由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)三棱錐，其直觀圖如下圖所示：故其體積V=，故選：A由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)三棱錐，畫出直觀圖，代入錐體體積公式，可得答案本題考查的知識點(diǎn)是由三視圖求體積和表面積，根據(jù)已知中的三視圖分析出幾何體的形狀，是解答的關(guān)鍵9.【答案】B【解析】解：過點(diǎn)D作ODl，OABD，ODOA=O，ACl，BDl，OD=AB=1，OA=BD=2，OC=12，CD=，故選：B由題意分別過點(diǎn)A，D作ODl，OABD，OD與OA交于點(diǎn)O，進(jìn)而利用余弦定理，勾股定理求解考查二面角的理解，余弦定理，勾股定理的應(yīng)用10.【答案】A【解析】解：由兩條不同的直線m，n，兩個(gè)不同的平面，知：在A中，若，m，m，則m，故A正確；在B中，若m，n，m，n，如果mn=A，則，如果mn，可能、相交，故B錯(cuò)誤；在C中，若，m，則m，顯然不正確，因?yàn)閙可能與相交，故C錯(cuò)誤；在D中，若m，n，則m與n相交、平行或異面，故D錯(cuò)誤故選：A通過直線與直線的平行與垂直，平面與平面的平行與垂直關(guān)系，結(jié)合直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系的判定定理以及性質(zhì)定理，判斷選項(xiàng)的正誤即可本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題11.【答案】A【解析】解：利用草圖數(shù)形結(jié)合分析得：角平分線l過點(diǎn)M且傾斜角為，直線m與直線n聯(lián)立得：，因此M（1，1），且，=，從而解得：或tan=-2（舍）即直線l的斜率為從而直線l方程為：y-1=（x-1），化簡得：直線l方程為：x-2y+1=0故選：A數(shù)形結(jié)合得出兩直線的所成角（銳角），做其角平分線，發(fā)現(xiàn)角平分線過兩直線的交點(diǎn)且傾斜角為，從而點(diǎn)斜式得出直線方程本題屬于中檔題，難度不大，能夠數(shù)形結(jié)合畫出草圖從而快速求得角平分線的斜率是解題的關(guān)鍵12.【答案】D【解析】解：直線l1：x+my-1=0過定點(diǎn)A（1，0），直線l2：mx-y-2m+=0即m（x-2）=y-，可得過定點(diǎn)B（2，），由于1m+m（-1）=0，得l1與l2始終垂直，又P是兩條直線的交點(diǎn)，PAPB，|PA|2+|PB|2=|AB|2=4由a2+b22ab，可得2（a2+b2）（a+b）2，那么2（|PA|2+|PB|2）（|PA|+|PB|）2，即有|PA|+|PB|，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|=時(shí)，上式取得等號，PAB周長的最大值為2+2故選：D求出直線l1過定點(diǎn)A的坐標(biāo)和直線l2過定點(diǎn)B的坐標(biāo)，l1與l2交于點(diǎn)P，由題意可得PAPB，得到|PA|2+|PB|2=|AB|2=4利用基本不等式可得|PA|+|PB|的最大值，即可得到所求周長的最大值本題是直線和不等式的綜合考查，明確兩條直線相互垂直是解答該題的關(guān)鍵，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題13.【答案】x+y+1=0和3x+2y=0【解析】解：一條直線過點(diǎn)（2，-3），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，一是斜率為-1，所求直線方程為y+3=-1（x-2），即x+y+1=0；還有第二種情況直線過原點(diǎn)，所求方程為：y=-x，即3x+2y=0故所求方程為：x+y+1=0和3x+2y=0故答案為：x+y+1=0和3x+2y=0一條直線過點(diǎn)（2，-3），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等就是說直線有兩種情況，一是直線的斜率為-1，二是直線過坐標(biāo)原點(diǎn)本題容易出錯(cuò)的地方一是過原點(diǎn)的直線漏掉，二是把截距看成了距離也可以設(shè)出點(diǎn)斜式用截距相等來解14.【答案】【解析】解：=2，=，=，又A，C，D三點(diǎn)共線，2-5k=0，k=，故答案為：先由求出，在根據(jù)A，C，D三點(diǎn)共線，得到，從而得到2-5k=0，解出k即可本題考查了三點(diǎn)共線和向量共線定理，考查了方程思想和計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題15.【答案】【解析】解：設(shè)以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，B1=（1，0，2），C（1，1，0），A1（0，0，2），則，=（1，1，-2）設(shè)直線AB1和A1C的夾角，cos=|cos|=|以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線AB1和A1C的夾角，求出相量帶入即可考查向量法求異面直線所成的角，基礎(chǔ)題16.【答案】【解析】解：把等式看成關(guān)于a，b的直線方程：（x2-1）a+2xb+x-2=0，由于直線上一點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)的距離大于等于原點(diǎn)到直線的距離，即，所以a2+b22=，x-2+在3，4是減函數(shù)，2+x-2+1+5；即x-2+6；故；當(dāng)x=3，a=-，b=-時(shí)取等號，故a2+b2的最小值為故答案為：把等式看成關(guān)于a，b的直線方程：（x2-1）a+2xb+x-2=0，由于直線上一點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)的距離大于等于原點(diǎn)到直線的距離，從而可得，進(jìn)一步變化從而解得本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用，把等式看成關(guān)于a，b的直線方程（x2-1）a+2xb+x-2=0是難點(diǎn)，屬于中檔題17.【答案】解：（1）由，解得，l1與l2的交點(diǎn)為（-6，-2），設(shè)與直線l3：2x-3y+1=0平行的直線方程為2x-3y+c1=0，把（-6，-2）代入2x-3y+c1=0，解得c1=6所求直線方程為2x-3y+6=0；（2）設(shè)與直線l3：2x-3y+1=0垂直的直線方程為3x+2y+c2=0，把（-6，-2）代入2x-3y+c1=0，解得c2=22所求直線方程為3x+2y+22=0【解析】（1）聯(lián)立方程組求解l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出與直線l3：2x-3y+1=0平行的直線方程為2x-3y+c1=0，把（-6，-2）代入直線方程求得c1，則答案可求；（2）設(shè)與直線l3：2x-3y+1=0垂直的直線方程為3x+2y+c2=0，把（-6，-2）代入求解c2，則直線方程可求本題考查直線方程的求法，考查直線的一般方程與直線平行、垂直的關(guān)系，是基礎(chǔ)題18.【答案】（1）證明：由已知可得ADBE，CGBE，即有ADCG，則AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面；由四邊形ABED為矩形，可得ABBE，由ABC為直角三角形，可得ABBC，又BCBE=E，BC平面BCGE，BE平面BCGE，可得AB平面BCGE，AB平面ABC，可得平面ABC平面BCGE；（2）解：連接BG，AG，由AB平面BCGE，BG平面BCGE，可得ABBG，在BCG中，BC=CG=2，BCG=120，可得BG=2BCsin60=2，可得AG=，在ACG中，AC=，CG=2，AG=，可得cosACG=-，即有sinACG=，由（1）可得：ADCG且AD=CG=2，所以四邊形ACGD為平行四邊形，則平行四邊形ACGD的面積為2=4【解析】本題考查空間線線、線面和面面的位置關(guān)系，考查平行和垂直的判斷和性質(zhì)，注意運(yùn)用平面幾何的性質(zhì)，考查推理能力，屬于中檔題（1）運(yùn)用空間線線平行的公理和確定平面的條件，以及線面垂直的判斷和面面垂直的判定定理，即可得證；（2）連接BG，AG，由線面垂直的性質(zhì)和三角形的余弦定理和勾股定理，結(jié)合三角形的面積公式，可得所求值19.【答案】解：（1）AB邊上的高CD所在直線方程為x+2y-4=0，其斜率為，直線AB的斜率為2，且過A（0，1）所以AB邊所在的直線方程為y-1=2x，即2x-y+1=0；（2）聯(lián)立直線AB和BE的方程：，解得：，即直線AB與直線BE的交點(diǎn)為B（，2），設(shè)C（m，n），則AC的中點(diǎn)D（，），由已知可得，解得：，C（2，1），BC邊所在的直線方程為，即2x+3y-7=0【解析】本題考查了求直線的方程，直線垂直的充要條件，直線的交點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題（1）由CD所在直線的方程求出直線AB的斜率，再由點(diǎn)斜式寫出AB的直線方程；（2）先求出點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)，再寫出BC的直線方程；20.【答案】證明：（1）正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)取AD的中點(diǎn)F，連接NF，F(xiàn)E，如圖所示所以MNBF，BFED，所以MNED由于MN平面DEC1，DE平面DEC1，所以MN平面C1DE（2）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ADABB1A1，由于M為BB1的中點(diǎn)，AB=2，AA1=4，所以，所以，故A1MAM所以AMD為二面角A-MA1-N的平面角在RtAMD中，所以即二面角A-MA1-N的余弦值為【解析】（1）直接利用線面平形的判定求出結(jié)果（2）首先求出二面角的平面角，進(jìn)一步利用解三角形知識的應(yīng)用求出結(jié)果本題考查的知識要點(diǎn)：線面平行的判定的應(yīng)用，二面角的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的空間想象能力的應(yīng)用，屬于中檔題21.【答案】解：（1）證明：A0，B0時(shí)，如圖所示：則直線l：Ax+By+C=0與x軸，y軸都相交過點(diǎn)P分別作x軸，y軸的平行線，交直線l于點(diǎn)R，S，則直線PR的方程為y=y0，R（-，y0），直線PS的方程為x=x0，S（x0，-），由P（x0，y0）于是有|PR|x0+|=|，|PS|=|，|RS|=，設(shè)P到直線l的距離為d=|PQ|，由三角形面積計(jì)算公式可得d|RS|=|PR|PS|d=，可以驗(yàn)證A=0，或B=0 時(shí)，上述公式也成立綜上可得：點(diǎn)P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0（A，B不全為0）的距離公式為d=；（2）P為拋物線y=x2上的一點(diǎn)，設(shè)P（x0，x02），則P到直線l：x+y+2=0的距離d=，當(dāng)x0=-時(shí)，即P（-，），d取得最小值【解析】（1）分別討論：A0，B0時(shí)，過點(diǎn)P分別作x軸，y軸的平行線，交直線l于點(diǎn)R，S，求得R，S的坐標(biāo)，可得|PR|，|PS|，|RS|，再由三角形的面積公式，運(yùn)用等積法，計(jì)算可得所求距離，再討論可以驗(yàn)證A=0或B=0時(shí)，公式也成立；（2）設(shè)P（x0，x02），運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合二次函