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第6章正弦電流電路 本章介紹電壓 電流隨時間按正弦規(guī)律變化的電路即正弦電流電路 這是一類在理論上和工程上具有重要意義的電路 主要內(nèi)容包括 正弦量的相量表示 元件方程和基爾霍夫定律的相量形式 阻抗和導(dǎo)納的概念 電路方程和電路定理的相量形式 含互感的正弦電流電路的計算 正弦電流電路功率的特點(diǎn)及計算方法 1正弦電流 3基爾霍夫定律的相量形式 2正弦量的相量表示法 5RLC串聯(lián)電路的阻抗 6GCL并聯(lián)電路的導(dǎo)納 4RLC元件上電壓與電流的相量關(guān)系 7正弦電流電路的相量分析法 9正弦電流電路的功率 10復(fù)功率 11最大功率傳輸定理 8含互感元件的正弦電流電路 本章目次 在指定電流參考方向和時間坐標(biāo)原點(diǎn)之后 正弦電流的波形如圖6 1 b 所示 基本要求 掌握正弦量的振幅 角頻率和初相位 正弦量的瞬時值 有效值和相位差 隨時間按正弦規(guī)律變動的電流稱為正弦電流 圖6 1 a 表示流過正弦電流的一條支路 圖6 1經(jīng)過某支路的正弦電流 波形 我國電力系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)頻率為50Hz 稱為工頻 相應(yīng)的角頻率 得有效值與最大值間的關(guān)系 有效值 當(dāng)周期電流i f t 和直流I分別通過相同的電阻R 若二者作功的平均效果相同 則將此直流I的量值規(guī)定為周期電流i的有效值 用I表示 有效值是瞬時值的平方在一個周期內(nèi)的平均值再開方 正弦電流電路常用的幾個概念 若則稱電壓 電流為同相 如圖 6 3a 所示 則稱u越前i于 即u比i先達(dá)到最大值或先達(dá)到零值 如圖6 3b所示 在圖6 4中 參考正弦量 一旦把某一正弦量選作參考正弦量 其它同頻率的正弦量的初相也就相應(yīng)被確定 圖6 4中電流其初相為 故i的波形圖較參考正弦量u的波形圖沿橫軸右移 示波器顯示三個工頻正弦電壓的波形如圖所示 已知圖中縱坐標(biāo)每格表示5V 試寫出各電壓的瞬時表達(dá)式 圖題6 1示波器上顯示的三個正弦波 設(shè)u1 u2和u3依次表示圖中振幅最大 中等和最小的電壓 其幅值分別為5V 10V和15V 取u1為參考正弦量 即 圖6 5時域分析過程示意圖 正弦電流電路 建立電路方程 含微積分方程 基本要求 掌握正弦量的相量表示法原理 相量運(yùn)算規(guī)則及相量圖 得時域響應(yīng)表達(dá)式 思考 正弦函數(shù)微積分或幾個同頻率正弦函數(shù)相加減的結(jié)果仍是同頻率正弦量 能否用一種簡單的數(shù)學(xué)變換方法以避免繁瑣的三角函數(shù)運(yùn)算 正弦電路電壓 電流都是隨時間按正弦規(guī)律變化的函數(shù) 在含有電感和 或 電容的正弦電路中 元件方程中含有微積分形式的方程 因此 在時域內(nèi)對正弦電路進(jìn)行分析時 需要建立含微積分的電路方程 分析過程如圖6 5所示 設(shè)A是一個復(fù)數(shù) 可表示為直角坐標(biāo)式 極坐標(biāo)式 簡寫為 比較式 6 10 和 6 11 有 1 復(fù)數(shù)的表示法 補(bǔ)充6 1 把復(fù)數(shù)分別化為直角坐標(biāo)式 復(fù)數(shù)A還可以用復(fù)平面上的點(diǎn)或有向線段表示 相量圖 如圖6 6 解 比較式 6 9 6 14 得 其中 2 正弦量的相量表示 正弦量一般表達(dá)式為 最大值相量 正弦量振幅 正弦量初相 分別寫出代表正弦量的相量 已知電壓相量U1m 3 j4 V U2m 3 j4 V U3 j4V 寫出各電壓相量所代表的正弦量 設(shè)角頻率為 旋轉(zhuǎn)相量 旋轉(zhuǎn)相量任何時刻在實(shí)軸上的投影對應(yīng)于正弦量在同一時刻的瞬時值 關(guān)于相量說明 1 相量是復(fù)值常量 而正弦量是時間的余弦函數(shù) 相量只是代表正弦量 而不等于正弦量 2 復(fù)平面上一定夾角的有向線段 相量圖6 7所示 3 復(fù)數(shù)的輻角是隨時間均勻遞增的 所以這一有向線段將以原點(diǎn)為圓心反時針方向旋轉(zhuǎn) 旋轉(zhuǎn)角速度為如圖6 8所示 兩個同頻率正弦量相等的充要條件是代表這兩個正弦量的相量相等 即對于所有的時間t 充要條件為 1 惟一性 2 線性性質(zhì)N個同頻率正弦量線性組合 具有實(shí)系數(shù) 的相量等于各個正弦量相量的同樣的線性組合 設(shè) bk為實(shí)數(shù) 則 3 相量運(yùn)算規(guī)則 由此可見 由于采用相量表示正弦量 正弦量對時間求導(dǎo)運(yùn)算變換為用j 乘以代表它們的相量的運(yùn)算 這給正弦電流電路的運(yùn)算帶來極大方便 根據(jù)正弦量的相量表示的惟一性和微分規(guī)則 與上述微分關(guān)系對應(yīng)的相量關(guān)系式為 設(shè)電感的磁鏈為正弦量 它所引起的感應(yīng)電壓也是同頻率的正弦量寫出電壓相量和磁鏈相量的關(guān)系 當(dāng)u和 的參考方向符合右螺旋定則時 或 基爾霍夫電流定律KCL的相量形式 基爾霍夫電流定律方程的時域形式為 即 在集中電路中 任意時刻流進(jìn) 或流出 節(jié)點(diǎn)端子電流的代數(shù)和等于零 當(dāng)方程中各電流均為同頻率的正弦量時 根據(jù)相量的惟一性和線性性質(zhì) 可得基爾霍夫電流定律方程的相量形式為 基本要求 透徹理解相量形式的基爾霍夫定律方程 比較與線性直流電路相應(yīng)方程的異同 基爾霍夫電壓定律方程的時域形式為 在集中參數(shù)電路中 任意時刻回路全部元件端對的電壓代數(shù)和等于零 當(dāng)方程中各電壓均為同頻率的正弦量時 根據(jù)相量的惟一性和線性性質(zhì) 可得基爾霍夫電壓定律方程的相量形式為 在集中參數(shù)正弦電流電路中 沿任一回路各支路電壓相量的代數(shù)和等于零 基爾霍夫電壓定律KVL的相量形式 圖 a 已知V V求節(jié)點(diǎn)2與3之間的電壓 并畫出電壓相量圖 沿回路1231列相量形式的KVL方程為 電壓相量圖見 b 設(shè)代表電壓u1 u2 u23的相量分別為 1電阻元件 有效值相位 時域 基本要求 熟練掌握相量形式的元件方程 理解元件方程的時域形式與相量形式的對應(yīng)關(guān)系 時域 結(jié)論 電感上電壓比電流越前90 電壓 電流有效值 或幅值 之比等于感抗XL 2電感元件 電感的相量電路模型 時域 容抗 3電容元件 補(bǔ)充6 2 圖示各電路中已標(biāo)明電壓表和電流表的讀數(shù) 試求電壓u和電流i的有效值 已知圖題6 6所示電路中L 3H C 510 3F 試求電壓和 圖題6 6 感抗和容抗分別為 根據(jù) 得各電壓的時域表達(dá)式 直流電路中無獨(dú)立源一端口網(wǎng)絡(luò) 僅由線性電阻和線性受控源組成的電路 對外可以等效成 電阻R 那么不含獨(dú)立源的線性交流一端口網(wǎng)絡(luò) 如圖6 12 它對外的等效電路是什么 基本要求 透徹理解阻抗的概念以及引入阻抗的理論意義 根據(jù)基爾霍夫電壓定律的相量形式 圖 b 所示電路的端口電壓相量方程為 令Z 等效電路如圖6 13 c 所示 6 13 b 分析 XL XC 時阻抗角 電壓u越前于電流i R L C串聯(lián)電路呈現(xiàn)感性 XL XC 時阻抗角電壓u滯后于電流i R L C串聯(lián)電路呈現(xiàn)容性 XL XC 時阻抗角電壓u與電流i同相 R L C串聯(lián)電路呈現(xiàn)阻性 又根據(jù) 可得 根據(jù)式 R L C串聯(lián)電路 圖6 13b 電壓 電流的相量圖如圖6 14所示 有效值的關(guān)系 相量圖 R L C串聯(lián)電路電壓相量圖組成直角三角形 它與阻抗三角形與相似 如圖6 15所示 一個電阻R 15 電感L 12mH的線圈與C 5 F的電容器相串聯(lián) 接在電壓V的電源上 5000rad s 試求電流i 電容器端電壓uC和線圈端電壓uW 此為R L C串聯(lián) 其阻抗 電流相量和瞬時表達(dá)式分別為 電容電壓相量和瞬時表達(dá)式 線圈看成RL串聯(lián) 其阻抗 線圈端電壓相量和瞬時表達(dá)式 說明 以i為參考正弦量 比越前90 比滯后90 將電感和電容串聯(lián)部分的電壓稱為電抗電壓 用 來表示 由圖可見 和相位相反 電抗電壓的振幅應(yīng)等于和振幅之差 RLC串聯(lián)電路波形如圖6 16所示 將GCL并聯(lián)電路的時域模型變換成相量模型 如圖6 17 b 所示 以GCL并聯(lián)電路為例 如圖6 17 a 根據(jù)基爾霍夫電流定律的相量形式 圖6 17 b 的KCL方程相量形式為 基本要求 透徹理解導(dǎo)納的概念以及引入導(dǎo)納的理論意義 等效阻抗與等效導(dǎo)納的關(guān)系 GCL并聯(lián)等效電路用圖6 17 c 表示 即有 端口電流越前于電壓 GCL并聯(lián)電路呈現(xiàn)容性 有效值I 其中 說明 Y與Z等效是在某一頻率下求出的 故等效的Z或Y與頻率有關(guān) 復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納之間的關(guān)系 GCL并聯(lián)電路的導(dǎo)納為 其等效阻抗 164 j235 阻抗Z的虛部為正 其串聯(lián)等效電路是由電阻和感抗構(gòu)成 其中等效電感為 等效電路如右圖所示 有一GCL并聯(lián)電路 其中G 2mS L 1H C 1F 試在頻率為50Hz和400Hz兩種情況下求其串聯(lián)等效電路的參數(shù) 阻抗Z的虛部為負(fù) 表明它所對應(yīng)的等效電路是由電阻和容抗串聯(lián)構(gòu)成 等效電容為 等效電路如圖 b 所示 比較圖 a b 可見 一個實(shí)際電路在不同頻率下的等效電路 不僅其電路參數(shù)不同 甚至連元件類型也可能發(fā)生改變 這說明經(jīng)過等效變換求得的等效電路只是在一定頻率下才與變換前的電路等效 補(bǔ)充6 3 在圖示電路中已知 w 2 103rad s 1 求ab端的等效阻抗和等效導(dǎo)納 2 求各元件的電壓 電流及電源電壓u 并作各電壓 電流的相量圖 各電壓 電流相量圖如下 用相量表示正弦電壓 電流并引入阻抗和導(dǎo)納來表示元件方程 使得相量形式的基爾霍夫定律方程和元件方程均變成了線性代數(shù)方程 和直流電路中相應(yīng)方程的形式是相似的 分析步驟如下 1將電阻推廣為復(fù)阻抗 將電導(dǎo)推廣為復(fù)導(dǎo)納 2將激勵用相量形式表示 恒定電壓 電流推廣為電壓 電流的相量 3按線性直流電路分析方法計算相量模型電路 4將所得的電壓 電流相量計算結(jié)果變換成正弦表達(dá)式 基本要求 熟練掌握正弦電流電路相量分析法原理及步驟 電路方程和電路定理的相量形式 過程示意圖見下頁 得時域響應(yīng)表達(dá)式 建立含微積分的電路方程 時域分析過程 正弦電流電路 正弦電流電路相量分析法過程示意如圖6 20 圖6 20正弦電流電路相量分析法過程示意圖 解 取 L上電流滯后電壓90o 即 注意 電流表讀數(shù)均為有效值 有效值不滿足KCL方程 而電流相量是滿足KCL方程的 補(bǔ)充6 4 已知的讀數(shù)是5A 和R數(shù)值相等 求和的讀數(shù) 即讀數(shù)為5A 讀數(shù)為 各電壓 電流相量圖如下 將圖 a 中時域電路模型變換為相量模型 如圖 b 設(shè)圖 a 電路中 求電流 補(bǔ)充6 5 在圖示電路中 各元件電壓 電流取關(guān)聯(lián)參考方向 設(shè)A 寫出各元件電壓 電流相量 補(bǔ)充6 6 已知圖示電路中UR UL 10V R 10W XC 10W 求IS 補(bǔ)充6 7 下圖所示電路中 w 100rad s 試用支路電流法求電流i1 解 采用支路電流法 節(jié)點(diǎn)KCL方程 回路KVL方程 補(bǔ)充6 8 已知圖示電路中g(shù) 1S w 1rad s 求受控電流源的電壓u12 解 解得 列寫節(jié)點(diǎn)電壓方程 補(bǔ)充6 9 在圖示RC移相電路中設(shè) 試求輸出電壓uo和輸入電壓ui的相位差 解 uo越前于ui的相位差為 分析 圖示電路含理想變壓器 取節(jié)點(diǎn) 為參考點(diǎn)時節(jié)點(diǎn) 和 的節(jié)點(diǎn)電壓也是理想變壓器的端口電壓 理想變壓器是二端口元件 其端口電壓 電流不服從歐姆定律 所以不能用自導(dǎo)納和互導(dǎo)納表示其參數(shù) 這時應(yīng)采用改進(jìn)節(jié)點(diǎn)電壓法 即增加端口電流 為變量 上述節(jié)點(diǎn)方程包含 兩個未知量 因此還要引用理想變壓器本身的兩個方程 方程 1 4 聯(lián)立便可得解 列寫圖示電路的改進(jìn)節(jié)點(diǎn)電壓方程 圖示電路中 C 0 5F時 求當(dāng)C 0 25F時 iC b 對原電路做戴維南等效 如圖 b 所示 圖 a 所示電路 正弦電壓源角頻率為 1000rad s 電壓表為理想的 求可變電阻比值R1 R2為何值時 電壓表的讀數(shù)為最小 理想電壓表的阻抗為無窮大 為串聯(lián) 設(shè) 分得分壓為 電阻電壓為 根據(jù)KVL 電壓表兩端電壓表達(dá)式為 因其虛部與無關(guān)故當(dāng)實(shí)部為零時 的模即電壓表的讀數(shù)便是最小 因此得 通過做出相量圖可進(jìn)一步理解可變電阻改變時電壓表讀數(shù)的變化 設(shè)為參考相量 由式 1 2 3 畫出相量圖如圖 b 所示 說明 由式 1 可知 當(dāng)改變可變電阻時 的模發(fā)生變化而相位不變 再由相量圖 b 可見 當(dāng)變到與正交即式 3 括號中的實(shí)部為零時 的長度即電壓表的讀數(shù)為最小 基本要求 掌握互感元件方程的相量形式及其應(yīng)用 會用支路電流法或回路電流法列寫含互感電路的方程 掌握含互感電路的等效化簡 1互感元件的相量模型 說明 由于互感元件方程宜表達(dá)成電壓是電流的函數(shù) 故對含互感的電路宜選用以電流為變量的分析方法 例如支路電流法和回路電流法 圖6 21互感元件的電路模型 列出圖6 22所示電路的方程 式中 為互感端口電壓 根據(jù)式 方程 1 4 5 聯(lián)立便可得解 2含互感元件電路方程的列寫 圖6 22例題6 15 列出圖6 23所示電路的回路電流方程 回路1 回路2 回路3 方程 1 中和分別為回路電流 通過互感在回路1中產(chǎn)生的電壓 圖6 23例題6 16 補(bǔ)充6 10 設(shè)圖示一端口網(wǎng)絡(luò)中 rad s 求其戴維南等效電路 解 用消互感法 如圖 b 所示 相量形式的戴維南等效電路如圖 c 所示 圖6 24補(bǔ)題6 10 1 互感在電路中常用于傳輸和變換作用 其電路結(jié)構(gòu)如圖6 25 a 所示 此時可將副邊線圈所在的電路等效到原邊 當(dāng)從原邊看進(jìn)去時 相當(dāng)于無源一端口網(wǎng)絡(luò) 可用阻抗來等效 對互感原邊和副邊所在回路分別列寫KVL方程得 即求得從原邊看進(jìn)去的等效阻抗為 等效電路如圖6 25 b 所示 表示副邊回路阻抗對等效阻抗的影響 稱為副邊對原邊的引入阻抗 其實(shí)部和虛部分別稱為引入電阻和引入電抗 圖6 25 a 3互感的阻抗變換作用 應(yīng)用原邊等效電路 下圖所示為耦合系數(shù)測試電路 設(shè)開關(guān)S分別處于斷開和接通位置時 用LCR表 一種測量二端電感 電容 電阻參數(shù)的儀器 測得a b端等效電感為LOC 0 8H LSC 0 1H 試根據(jù)上述結(jié)果計算互感的耦合系數(shù) 開關(guān)斷開時 原邊電感就是此時的等效電感 即 當(dāng)開關(guān)接通時 輸入端口等效阻抗 將及式 1 代入式 2 得 2 當(dāng)互感線圈的原邊接電源 則從副邊看進(jìn)去時相當(dāng)于含獨(dú)立源一端口網(wǎng)絡(luò) 可用戴維南電路或諾頓電路來等效 當(dāng)副邊開路時 端口方程簡化為 計算戴維南等效阻抗 根據(jù)式 6 63 于是 等效戴維南電路如圖 b 求圖 a 電路的戴維南等效電路 1 瞬時功率 一端口網(wǎng)絡(luò)的端口電壓 電流分別為 則一端口網(wǎng)絡(luò)輸入的瞬時功率為 反映一端口網(wǎng)絡(luò)吸收電能 時間的正弦函數(shù) 反映一端口網(wǎng)絡(luò)與外部電路交換能量 它在一個周期內(nèi)的平均值等于零 基本要求 了解正弦電路瞬時功率的特點(diǎn) 透徹理解平均功率 無功功率 視在功率和功率因數(shù)的定義及其計算 熟練掌握RLC元件功率的特點(diǎn) 一端口網(wǎng)絡(luò)吸收功率的平均值稱為平均功率 通常所說交流電路的功率是指平均功率 定義為 在一般情況下 2 R L C各元件的功率 三種特殊情形 1 設(shè)一端口網(wǎng)絡(luò)是一個電阻R 此時u與i同相 即則瞬時功率 功率因數(shù) 功率因數(shù)角 6 67 正值電阻總是吸收功率 u與i真實(shí)方向相同 2 電阻的平均功率為 純電阻 2 設(shè)一端口網(wǎng)絡(luò)是一個電感L 此時電壓u比電流i越前90 即 說明 1 電感吸收瞬時功率是時間的正弦函數(shù) 其角頻率為 3 pL在一個周期內(nèi)的平均值等于零 即它輸入的平均功率為零 表明在一個周期內(nèi)電感吸收與釋放的能量相等 是無損元件 瞬時功率 說明 結(jié)論 在正弦電流電路中 同相位的電壓與電流產(chǎn)生平均功率 且等于其有效值之積 而相位正交的電壓與電流不產(chǎn)生平均功率 1 電容吸收瞬時功率是時間的正弦函數(shù) 其角頻率為 3 設(shè)一端口網(wǎng)絡(luò)是一個電容 此時端口電壓u比電流i滯后 3無功功率和視在功率 U I為電感或電容的端口電壓 電流有效值 由式 6 67 可知 一端口吸收的平均功率為 電流有功分量 表示電氣設(shè)備容量 單位伏 安 VA 視在功率的定義 線圈電阻 感抗和電感分別為 在工頻條件下測得某線圈的端口電壓 電流和功率分別為100V 5A和300W 求此線圈的電阻 電感和功率因數(shù) 補(bǔ)充6 11 圖示正弦穩(wěn)態(tài)電路 已知U1 UR 100V 滯后于的相角為60 求一端口網(wǎng)絡(luò)A吸收的平均功率 提高功率因數(shù)的意義 通過減少線路電流來減小線路損耗 提高發(fā)電設(shè)備利用率 說明 圖中電流仍表示原來感性負(fù)載的電流 是比電壓越前的電容電流 此時一端口所需電流為 滯后的相位差為 且 可見 由于在感性負(fù)載上并聯(lián)電容 使得一端口的功率因數(shù)由原來的提高到 其實(shí)際效果是使一端口電流從原來的減小到 功率因數(shù)的提高 原理 利用電場能量與磁場能量的相互轉(zhuǎn)換 或者說利用容性無功與感性無功的相互補(bǔ)償 來減少電源輸出電流的無功分量 從而減小電源的無功功率 原則 確保負(fù)載正常工作 下圖所示電路 感性負(fù)載Z接于220V 50Hz正弦電源上 負(fù)載的平均功率和功率因數(shù)分別為2200W和0 8 1 求并聯(lián)電容前電源電流 無功功率和視在功率 2 并聯(lián)電容 將功率因數(shù)提高到0 95 求電容大小 并聯(lián)后電源電流 無功功率和視在功率 1 并聯(lián)電容前電源電流等于負(fù)載電流 負(fù)載功率因數(shù)角 電源無功功率等于負(fù)載無功功率 電源視在功率 2 并聯(lián)電容后功率因數(shù)角 有功功率不變 無功功率為 電源無功功率的差值等于電容上的無功功率 故并聯(lián)電容為 并聯(lián)電容后的電源視在功率 電源電流 分別用相量表示 復(fù)功率 即 復(fù)功率等于電壓相量與電流相量共軛復(fù)相量的乘積 復(fù)功率是直接利用電壓和電流相量計算的功率 掌握復(fù)功率定義 及其與平均功率 無功功率和視在功率的關(guān)系 可以證明 任意復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中復(fù)功率具有守恒性 即各支路發(fā)出的復(fù)功率代數(shù)和等于零 當(dāng)計算某一阻抗所吸收的復(fù)功率時 將式代入得 阻抗為感性時 jX前方為正號 的虛部為正 表示感性無功功率若為容性 jX前方為負(fù)號 的虛部為負(fù) 表示容性無功功率 說明 其中實(shí)部代數(shù)和等于零表明 各電源發(fā)出的平均功率之和等于各負(fù)載吸收的平均功率之和 而虛部代數(shù)和等于零表明 各電源 發(fā)出