高中數(shù)學(xué)解題思想方法2-換元法.doc

二、換元法解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元。它可以化高次為低次、化無理為有理、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。換元時要盡可能把分散的條件聯(lián)系起來，把隱含的條件顯露出來。、再現(xiàn)性題組：1. ysinxcosxsinx+cosx的最大值是_。2. 設(shè)f(x1)log(4x) （a1），則f(x)的值域是_。3. 已知數(shù)列a中，a1，aaaa，則數(shù)列通項a_。4. 設(shè)實數(shù)x、y滿足x2xy10，則xy的取值范圍是_。5. 方程3的解是_。6. 不等式log(21) log(22)2的解集是_。、示范性題組：例1. 實數(shù)x、y滿足4x5xy4y5 （ 式） ，設(shè)Sxy，求的值。（93年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）【分析】 由Sxy聯(lián)想到cossin1,于是進行三角換元，設(shè)代入式求S和S的值?！窘狻吭O(shè)代入式得： 4S5Ssincos5 解得 S ； -1sin21 385sin213 后面求S值域還可由sin2的有界性而求（有界法）：【另解】 設(shè)xt，yt，t， 則xy代入式得：4S5=5， 移項平方整理得 100t+39S160S1000 。 39S160S1000 解得【注】 三角換元法、均值換元法；求值域的幾種方法（有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法）。其它換元法（和差換元）解：設(shè)xab，yab，代入式整理得3a13b5 得a0,S2(ab) a, 例2 ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足：AC2B，求cos的值。（96年全國理）【分析】 由AC2B，可得 ,則設(shè) ，再代入可求cos即cos?！窘狻?【另解】 由2，也可設(shè)m，m 再代入求?！咀ⅰ?均值換元法。結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式進行運算。例3. 設(shè)a0，求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a的最大值和最小值。 y , , x【解】 設(shè)sinxcosxt，則t-,，sinxcosx f(x)g(t)(t2a) （a0）， t-,t-時，取最小值：2a2a當2a時，t，取最大值：2a2a ；當00恒成立，求a的取值范圍。（87年全國理）【解】 設(shè)logt，則log log原不等式簡化為：【注】局部換元法，簡化了問題；判別式法；對數(shù)運算。例5. 已知，且 (式)，求的值?！窘狻?設(shè)k，則sinkx，cosky，且sincosk(x+y)1,代入式得： 即：設(shè)t，則t , 解得：t3或 或【另解】 由tg，將式表示成tg而求出：【注】 等量換元，減少變量個數(shù)。例6. 實數(shù)x、y滿足1，若xyk0恒成立，求k的范圍?！窘狻?設(shè)cos，sin，即： 代入不等式得：3cos4sink0，即k3cos4sin5sin(+) 所以k0 k 平面區(qū)域【另解】 數(shù)形結(jié)合法：在平面直角坐標系，不等式axbyc0 (a0)所表示的區(qū)域為直線axbyc0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。此題不等式恒成立問題化為圖形問題：橢圓上的點始終位于平面上xyk0的區(qū)域。即當直線xyk0在與橢圓下部相切的切線之下時。、鞏固性題組：1. 已知f(x)lgx (x0)，則f(4)的值為_。A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg42. 函數(shù)y(x1)2的單調(diào)增區(qū)間是_。A. -2,+) B. -1,+) D. (-,+) C. (-,-13. 設(shè)等差數(shù)列a的公差d，且S145，則aaaa的值為_。A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.54. 已知x4y4x，則xy的范圍是_。5. 已知a0，b0，ab1，則的范圍是_。6. 不等式ax的解集是(4,b)，則a_，b_。7. 函數(shù)y2x的值域是_。8. 在等比數(shù)列a中，aaa2，aaa12，求aaa。 y D