流體力學(xué)(流體運(yùn)動(dòng)學(xué)).ppt

第三章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)流體運(yùn)動(dòng)的描述方法流場(chǎng)的基本概念流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)連續(xù)性方程 引言 靜止 包括相對(duì)靜止 是流體的一種特殊的存在形態(tài) 運(yùn)動(dòng) 或流動(dòng) 才是流體更普遍的存在形態(tài) 也更能反映流體的本質(zhì)特征 因此相對(duì)流體靜力學(xué)而言 研究流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其特征具有更加深刻的意義 這也為流體動(dòng)力學(xué) 研究在外力作用下流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 打下了理論的基礎(chǔ) 3 l流體運(yùn)動(dòng)的描述方法把流體流動(dòng)占據(jù)的空間稱為流場(chǎng) 在流場(chǎng)中 每個(gè)質(zhì)點(diǎn)均有確定的速度和壓力 都是空間坐標(biāo)和時(shí)間的連續(xù)函數(shù) 流場(chǎng)也可以理解為速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)的綜合 表征流體運(yùn)動(dòng)的量 如速度 壓力等統(tǒng)稱為運(yùn)動(dòng)要素 一 拉格朗日法拉格朗日法研究對(duì)象是單個(gè)流體質(zhì)點(diǎn) 研究其運(yùn)動(dòng)要素 位置 速度 等的變化過(guò)程 顯然是一種質(zhì)點(diǎn)系法 拉格朗日法著眼于流體各質(zhì)點(diǎn)本身的運(yùn)動(dòng)情況 也就是要表示出每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)自始自終的運(yùn)動(dòng)過(guò)程 把任一流體質(zhì)點(diǎn)在初始時(shí)刻t0時(shí)的坐標(biāo) a b c 作為該質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)志 則不同的 a b c 就表示流動(dòng)空間的不同質(zhì)點(diǎn) 這樣 不同的 a b c 變數(shù)表示流場(chǎng)中的不同質(zhì)點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)開(kāi)始前 質(zhì)點(diǎn)的起始坐標(biāo)為 a b c 經(jīng)過(guò)時(shí)間t 它運(yùn)動(dòng)到 x y z x y z表示任一流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)時(shí)間t的位置 是 a b c 及t的函數(shù) 即 這種通過(guò)描述每一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)達(dá)到了解流體運(yùn)動(dòng)的方法 稱為拉格朗日法 表達(dá)式中的自變量 a b c 稱為拉格朗日變量 流體質(zhì)點(diǎn)的速度為 流體質(zhì)點(diǎn)的加速度 流體質(zhì)點(diǎn)的壓力p和密度 也同樣是 a b c 和的函數(shù) 二 歐拉法物理學(xué)中場(chǎng)定義為物理量在空間的分布 如速度場(chǎng) 壓力場(chǎng)等 流體力學(xué)中 流場(chǎng)是指流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)的全部空間 歐拉法以流場(chǎng)為研究對(duì)象 以空間點(diǎn)為著眼點(diǎn) 研究空間點(diǎn)上各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素及其變化規(guī)律 來(lái)獲得整個(gè)流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)特性 歐拉法不是跟蹤個(gè)別質(zhì)點(diǎn) 而是在同一時(shí)間研究流場(chǎng)中各質(zhì)點(diǎn)的流速 壓力的變化 質(zhì)點(diǎn)的流速 壓力和密度均是空間坐標(biāo) x y z 和時(shí)間t的函數(shù) 變量x y z t統(tǒng)稱為歐拉變量 即 加速度可用速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)來(lái)表示 由全導(dǎo)數(shù)公式有 dx dy dz表示在無(wú)窮小一段時(shí)間內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)的位移分量 由位移分量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)得出速度分量表達(dá)式 則 式中 右邊第一項(xiàng)表示流體質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn) x y z 的速度隨時(shí)間的變化率 稱為當(dāng)?shù)丶铀俣?時(shí)變加速度 后三項(xiàng)之和則表示流體質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)間內(nèi) 因坐標(biāo)位置變化而形成的加速度 稱為位變加速度 遷移加速度 同理可得 用矢量表示 哈密爾頓算子 Hamiton 式中 對(duì)比拉格朗日法和歐拉法的不同變量 就可以看出兩者的區(qū)別 前者以a b c為變量 是以一定質(zhì)點(diǎn)為對(duì)象 后者以x y z為變量 是以固定空間點(diǎn)為對(duì)象 只要對(duì)流動(dòng)的描述是以固定空間 固定斷面 或固定點(diǎn)為對(duì)象 應(yīng)采用歐拉法 而不是拉格朗日法 3 2流場(chǎng)的基本概念恒定流與非恒定流跡線和流線一維 二維 三維流動(dòng)流管 流束及總流過(guò)流斷面 流量和平均流速均勻流和非均勻流 3 2流場(chǎng)的基本概念一 恒定流與非恒定流 定常流與非定常流 恒定流動(dòng)是指流場(chǎng)中流動(dòng)參數(shù)不隨時(shí)間變化而改變的流動(dòng) 它滿足下列條件 其速度和壓強(qiáng)表示為 若流場(chǎng)的流動(dòng)參數(shù)的全部或其中之一與時(shí)間變化有關(guān) 即隨時(shí)間變化而改變 則這類流場(chǎng)的流動(dòng)稱為非恒定流 其速度和壓強(qiáng)的描述為 實(shí)際中 恒定流只是相對(duì)的 絕對(duì)的恒定流是不存在的 本課程主要研究恒定流動(dòng)問(wèn)題 二 跡線和流線1 跡線跡線是流體質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的軌跡線 跡線的特點(diǎn)是 對(duì)于每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都有一個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡 所以跡線是一族曲線 如圖所示AB曲線是質(zhì)點(diǎn)M的跡線 在這一跡線上取微元長(zhǎng)度ds表示該質(zhì)點(diǎn)M在dt時(shí)間內(nèi)的微小位移 則其速度為 速度的分量為 3 1 上式為跡線的微分方程 表示質(zhì)點(diǎn)M的軌跡 dx dy dz為ds在各坐標(biāo)軸上的投影 由上式得 2 流線流線是在同一時(shí)刻流場(chǎng)中連續(xù)不同位置質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)方向線 流線的特點(diǎn) 流線上各質(zhì)點(diǎn)的流速都與流線相切 流線不能相交 即某瞬時(shí)通過(guò)流場(chǎng)中固定點(diǎn)只能有一條流線 恒定流時(shí) 流線與跡線重合 流線是光滑曲線不能轉(zhuǎn)折 邊界急劇變化處 液體質(zhì)點(diǎn)受慣性作用會(huì)脫離固體邊界 主流與邊界之間產(chǎn)生旋渦區(qū) 而且隨著邊界的變化 流線有疏有密 流線密 表示流速大 流線疏 表示流速小 流線微分方程在流線上過(guò)任意點(diǎn)取微元有向線段 過(guò)該點(diǎn)的速度與該點(diǎn)切線重合 即 則有 設(shè)得 流線的微分方程表達(dá)式為 跡線與流線的比較 流線由無(wú)窮多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的 它是表示這無(wú)窮多個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)在某一固定瞬間運(yùn)動(dòng)的曲線 跡線則表示在一段時(shí)間過(guò)程中同一流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的曲線 流線與跡線方程是不相同的 跡線方程式以時(shí)間t為自變量 由此決定其運(yùn)動(dòng)軌跡 流線方程式中 時(shí)間t是給定量 隨時(shí)間t不同 流線方程式也不相同 在恒定流中 流線與跡線相重合 即流線和跡線是一致的 沒(méi)有區(qū)別 積分得 例 流體運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)為ux x t uy y t uz 0求t 0時(shí)過(guò)M 1 1 點(diǎn)的流線和跡線 解 流線的微分方程為 當(dāng)t 0時(shí) x 1 y 1代入上式得 C 1 當(dāng)t 0時(shí) 過(guò)M 1 1 點(diǎn)的流線是 即 等邊雙曲線方程 則 那么 將 3 4 式代入 1 式得 跡線的微分方程 1 2 式為非齊次常系數(shù)的線性常微分方程 由 1 式得 3 4 2 1 分部積分公式 同理 得 用分部積分得 5 將 5 式代入 3 式得 當(dāng)t 0時(shí) x 1 y 1代入上式得A B 0 當(dāng)t 0時(shí) 過(guò)M 1 1 質(zhì)點(diǎn)的跡線為 消去t后得 直線方程 由此可見(jiàn) 當(dāng)流動(dòng)與時(shí)間t有關(guān)時(shí) 流線和跡線是不相重合的 三 一維 二維 三維流動(dòng)流體的運(yùn)動(dòng)要素是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù) 按照流體運(yùn)動(dòng)要素與空間坐標(biāo)有關(guān)的個(gè)數(shù) 維數(shù) 可以把流體分為一維流 二維流 三維流 一維 一元 流動(dòng) 若流場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)參數(shù)僅與一個(gè)空間自變量有關(guān) 這種流動(dòng)稱為一維流動(dòng) 即 二維 二元 流動(dòng) 若流動(dòng)參數(shù)與兩個(gè)空間自變量有關(guān) 則稱之為二維流動(dòng) 在直角坐標(biāo)系中 二維空間是個(gè)平面 因而二維流動(dòng)又稱平面流動(dòng) 三維 三元 流動(dòng) 運(yùn)動(dòng)參數(shù)與三個(gè)空間自變量有關(guān) 則稱為三維流動(dòng) 空間流動(dòng) 四 流管 流束及總流1 流管在流場(chǎng)中取任意封閉曲線 通過(guò)這個(gè)閉合曲線上各點(diǎn)作流線 這些流線所圍成的管 稱為流管 2 流束充滿在流管內(nèi)部的全部流體 稱為流束 斷面無(wú)窮小的流束 稱為微小流束或元流 3 總流在流動(dòng)周界內(nèi)全部微小流束 元流 的總和稱為總流 2 流量單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)過(guò)流斷面的流體量 稱為流量 通常用體積流量Q 質(zhì)量流量M和重力流量G表示 其相應(yīng)的單位是m3 s kg s和N s 1 過(guò)流斷面 過(guò)水?dāng)嗝?垂直于所有流線的流體橫斷面稱為過(guò)流斷面 如果流線互相平行 這時(shí)過(guò)流斷面為平面 否則過(guò)流斷面為曲面 五 過(guò)流斷面 流量和平均流速 設(shè)微小流束過(guò)流斷面積為dA 經(jīng)過(guò)時(shí)間dt 微小流束以流速u相對(duì)于斷面1 1的位移為udt 則該時(shí)段內(nèi)通過(guò)微小流束斷面1 1的流體體積 將等式兩邊同除dt 可得微小流束的體積流量 總流的體積流量Q則應(yīng)是微小流束流量dQ對(duì)總流過(guò)流斷面面積A的積分 即 3 平均流速平均流速是一種設(shè)想的速度 即假設(shè)總流同一過(guò)流斷面上各點(diǎn)的速度都相等 大小均等于斷面平均流速v 那么 以斷面平均流速通過(guò)的流量等于該過(guò)流斷面上各點(diǎn)實(shí)際流速所通過(guò)的流量 即 則 把v定義為斷面平均流速 總流的流量等于斷面平均流速v與過(guò)流斷面面積A的乘積 即Q vA 六 均勻流和非均勻流均勻流 流線是平行直線的流動(dòng) 即則也就是說(shuō)均勻流中位變加速度 遷移加速度 為零 均勻流中各過(guò)流斷面上的流速分布圖沿程不變 過(guò)流斷面是平面 沿程各過(guò)流斷面的形狀和大小都保持一樣 例 等直徑直管中的液流或者斷面形狀和水深不變的長(zhǎng)直渠道中的水流都是均勻流 非均勻流 流線不是平行直線的流動(dòng) 即非均勻流中流場(chǎng)中相應(yīng)點(diǎn)的流速大小或方向或同時(shí)二者沿程改變 即沿流程方向速度分布不均 漸變流 緩變流 流速沿流程變化緩慢 流線間的夾角很小 近似為相互平行的直線 急變流 流速沿程變化急劇 流線間的夾角很大 非均勻流 3 3流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的組成分析無(wú)旋流動(dòng)和有旋流動(dòng) 流體質(zhì)點(diǎn)是可以忽略線性尺度效應(yīng)的最小單元 流體微團(tuán)則是由大量流體質(zhì)點(diǎn)所組成的具有線性尺度效應(yīng)的微小流體團(tuán) 一 微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解從理論力學(xué)知道 剛體的運(yùn)動(dòng)可以分解為平移和繞某瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)之和 流體微團(tuán)基本運(yùn)動(dòng)形式除了平移和轉(zhuǎn)動(dòng)之外 還有變形運(yùn)動(dòng) 剛體運(yùn)動(dòng) 平移 轉(zhuǎn)動(dòng)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng) 平移 轉(zhuǎn)動(dòng) 變形怎樣把平移 轉(zhuǎn)動(dòng)和變形這三種基本運(yùn)動(dòng)顯示出來(lái) 自19世紀(jì)40年代 英國(guó)數(shù)學(xué)家斯托克斯 Stokes 1845 德國(guó)力學(xué)家亥姆霍茲 Helmhotz H 1858 先后提出速度分解定理 從理論上解決了這個(gè)問(wèn)題 在流場(chǎng)中取一微團(tuán) 設(shè)其上一點(diǎn)P的流體的速度分量為ux x y z uy x y z uz x y z 在同一瞬間 微團(tuán)上另一點(diǎn)Q的速度分量為 三元函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)為 一元函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)為 Q點(diǎn)速度按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi) 并略去二階向量以上的各項(xiàng) 在此 則 1 由上式可見(jiàn) Q點(diǎn)的速度可以用P點(diǎn)的速度及九個(gè)速度分量的偏導(dǎo)數(shù)來(lái)表示 用上列類似的配項(xiàng)方法 其余二式得 上式的第一式右方加減 及 并重新加以組合得 為了簡(jiǎn)化起見(jiàn) 引用下列符號(hào) 代入前式 則 2 上式即為流體微團(tuán)的速度分解公式 亦稱亥姆霍茲 Helmhotz 速度分解定理 二 微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的組成分析從形式上看 速度分解定理把比較簡(jiǎn)單的式 1 變?yōu)榻Y(jié)果反而更復(fù)雜的式 2 但這不是沒(méi)有原因的 為了便于討論 僅以二維流動(dòng)為例來(lái)分析矩形微團(tuán)ABCD的運(yùn)動(dòng) 設(shè)微團(tuán)的邊長(zhǎng)為dx及dy A點(diǎn)的速度 ux uy 按二元泰勒級(jí)數(shù) 展開(kāi) 忽略二階以上微量 得微團(tuán)ABCD各點(diǎn)的速度分量 A點(diǎn)坐標(biāo) 0 0 速度 ux uy x方向f x0 y0 ux速度 y方向f x0 y0 uy速度 C點(diǎn)坐標(biāo) dx 0 即h dx k 0 x方向f x0 y0 ux速度 y方向f x0 y0 uy速度 B點(diǎn)坐標(biāo) 0 dy 即h 0 k dy D點(diǎn)坐標(biāo) dx dy 即h dx k dyx方向f x0 y0 ux速度 y方向f x0 y0 uy速度 設(shè)流體微團(tuán)從初始位置ABCD 經(jīng)過(guò)dt時(shí)間后 矩形平面ABCD將變成A1B D C 的形狀和位置 各點(diǎn)各方向速度分量 整個(gè)變化過(guò)程可以看作是由以下幾種基本運(yùn)動(dòng)形成所組成 1 平移運(yùn)動(dòng)A點(diǎn)的速度分量ux uy是矩形微團(tuán)其它各點(diǎn)相應(yīng)速度分量的組成部分 若不考慮B C D各點(diǎn)的速度與A點(diǎn)相差部分 則經(jīng)過(guò)dt時(shí)間后 微團(tuán)平移到新的位置A1B1D1C1 其形狀及大小沒(méi)有改變 由此可知ux uy是微團(tuán)在x y方向的平移速度 同理 對(duì)于空間流場(chǎng) ux uy uz為平移速度 在x方向上C點(diǎn)速度分量要比A點(diǎn)大 ux x dx D點(diǎn)比B點(diǎn)大 ux x dx 故邊長(zhǎng)AC和BD在x方向要拉長(zhǎng) 或縮短 ux x dxdt 拉長(zhǎng)為正 縮短為負(fù) 即A1C1拉長(zhǎng)到A1C2 B1D1拉長(zhǎng)到B1D2 同理 邊長(zhǎng)AB和CD在y方向拉長(zhǎng) 縮短 均為 uy y dydt 2 變形運(yùn)動(dòng) 1 線變形線變形是直線線段單位長(zhǎng)度單位時(shí)間的線變形 由于矩形微團(tuán)ABCD各角點(diǎn)在x方向的速度分量的不相同 線變形 線變形速率 為 3 同理 這里稱 xx為微團(tuán)在x方向的線變形或線變率 yy為y方向的線變形 zz為z方向的線變形 由于線變形使微團(tuán)ABCD變成A1B2D2C2 2 角變形如圖 因C點(diǎn)在y方向的速度分量比A點(diǎn)在y方向的速度分量有增量 uy x dx 使AC邊 即A1C2邊逆時(shí)針偏轉(zhuǎn)d 角 同理B點(diǎn)在x方向比A點(diǎn)在x方向有速度增量 ux y dy 使AB邊 即A1B2邊順時(shí)針偏轉(zhuǎn)d 角 考慮到d 和d 是很小的角 所以 分母中第二項(xiàng)與第一項(xiàng)比是高階微量 可略去不計(jì) 于是 因此 A1C2邊和A1B2邊的旋轉(zhuǎn)角速度分別為 通常把微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度之和的一半稱為角變形 角變形速率 角變形 同理 xy表示微團(tuán)在xoy平面上的角變形 或稱為繞z軸的剪切角速度 繞x軸的剪切角速度 繞y軸的剪切角速度 上式說(shuō)明角變形是流體微團(tuán)中某一直角減少速度的一半 3 旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)在一般情況下 d d 流體微團(tuán)在xoy平面上除了產(chǎn)生剪切變形外 還有繞z軸的旋轉(zhuǎn) 對(duì)角線A1D1經(jīng)過(guò)dt時(shí)間轉(zhuǎn)到A1D 旋轉(zhuǎn)的角度為d B A1C 的等分角線A1D 由此可見(jiàn) z代表流體微團(tuán)繞z軸的旋轉(zhuǎn)角速度 繞x軸的旋轉(zhuǎn)角速度 繞y軸的旋轉(zhuǎn)角速度 結(jié)論 流場(chǎng)中任何微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)一般都可以認(rèn)為由平移 變形及轉(zhuǎn)動(dòng)所組成 同理 此運(yùn)動(dòng)稱為無(wú)旋流動(dòng)或有勢(shì)流動(dòng) 三 無(wú)旋流動(dòng)和有旋流動(dòng)流體運(yùn)動(dòng)根據(jù)流體微團(tuán)有無(wú)旋轉(zhuǎn)角速度而劃分為有旋 有渦 流動(dòng)和無(wú)旋 無(wú)渦 運(yùn)動(dòng)兩種 1 無(wú)旋 無(wú)渦 流動(dòng)在流動(dòng)空間中 流體微團(tuán)僅有平移和變形運(yùn)動(dòng) 而沒(méi)有旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) 即在流動(dòng)空間中有 2 有旋 有渦 流動(dòng)在流場(chǎng)中 流體微團(tuán)存在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) 即 x y z三者中 至少有一個(gè)不為零 則稱為有旋流動(dòng) 一般來(lái)講 無(wú)旋流存在于無(wú)粘性的理想流體中 有旋流存在于有粘性的實(shí)際流體中 但實(shí)際流體運(yùn)動(dòng)在某些情況下也可以是無(wú)旋流 如實(shí)際流體的層狀滲流便是 流動(dòng)究竟是有旋還是無(wú)旋 要根據(jù)流體微團(tuán)本身是否繞自身軸旋轉(zhuǎn)來(lái)決定 而不是根據(jù)流體微團(tuán)的軌跡形狀來(lái)決定 判斷流體是否有旋與判斷剛體運(yùn)動(dòng)是否轉(zhuǎn)動(dòng)是完全不同的 剛體只要質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng) 那么處處有旋 如果作直線運(yùn)動(dòng) 那么就處處無(wú)旋 而且對(duì)于剛體 圓心一點(diǎn)有旋 則點(diǎn)點(diǎn)有旋 而流體則不同 圓心一點(diǎn)有旋 其它點(diǎn)不一定有旋 一點(diǎn)不能代表全體 必須逐點(diǎn)檢驗(yàn) 如圖所示的運(yùn)動(dòng)中微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線 但微團(tuán)本身卻發(fā)生了轉(zhuǎn)動(dòng) 這種運(yùn)動(dòng)是有旋流動(dòng) 如圖所示的流動(dòng)中 微團(tuán)的軌跡是一個(gè)圓 但微團(tuán)本身并沒(méi)有旋轉(zhuǎn) 因此這種流動(dòng)是無(wú)旋流動(dòng) 例 判別下列流動(dòng)是有旋流動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng) 1 已知速度場(chǎng)ux ay uy uz 0 其中a為常數(shù) 流線是平行于x軸的直線 2 已知速度場(chǎng)ur 0 u b r 其中b是常數(shù) 流線是以原點(diǎn)為中心的同心圓 是無(wú)旋流動(dòng) 解 1 本題為平面流動(dòng) 只需判別 z是否為零 是有旋流動(dòng) 2 取直線坐標(biāo) 任意點(diǎn)P x y 的速度分量 則稱 為渦量 與速度場(chǎng)u對(duì)應(yīng) 也構(gòu)成一個(gè)場(chǎng) 稱之為渦量場(chǎng) 上式中 為哈密爾頓 Hamilton 算子 其定義為 3 渦量定義設(shè)有速度場(chǎng)u 令 在直角坐標(biāo)系中 根據(jù)定義式可寫(xiě)出渦量分量式為 或 則此流場(chǎng)為無(wú)旋流動(dòng) 渦量是表明流體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)物理量 若流體流動(dòng)中 0 即 x y z三個(gè)分量中只要有一個(gè)不為零 則稱該流場(chǎng)中流體流動(dòng)為有旋流動(dòng) 又稱為旋渦運(yùn)動(dòng) 若流場(chǎng)中處處有 0 則該流場(chǎng)中流體流動(dòng)稱為無(wú)旋流動(dòng) 即流場(chǎng)滿足下列方程 3 4連續(xù)性方程三維流動(dòng)的連續(xù)性方程微小流束的連續(xù)性方程總流連續(xù)性方程 一 三維流動(dòng)的連續(xù)性方程 continuityequation 在流場(chǎng)中任取一點(diǎn)C x y z 為中心的微小六面體 其邊長(zhǎng)為dx dy dz 六面體中心點(diǎn)C的流速為u u ux uy uz 流體密度為 由于流體的連續(xù)性 在dt時(shí)間內(nèi) 六面體的質(zhì)量差值 流入量 流出量在x方向質(zhì)量差值用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)得 1 2面速度 密度 密度 3 4面速度 密度 流出3 4面的質(zhì)量為 在dt時(shí)間內(nèi) 流入1 2面的質(zhì)量為 六面體x方向流體質(zhì)量的差值為 同理 y方向 z方向 在dt時(shí)間內(nèi) 流體流入六面體與流出六面體質(zhì)量之差總值為 流體密度隨時(shí)間的變化也影響六面體中的質(zhì)量 設(shè)在t時(shí)刻流體密度為 在t dt時(shí)刻密度為 在dt時(shí)間內(nèi)由于密度變化而使六面體中增加的流體質(zhì)量為 根據(jù)質(zhì)量守恒定律 dt時(shí)間內(nèi)流入與流出六面體的流體質(zhì)量之差必等于六面體在該時(shí)間內(nèi)流體質(zhì)量的增量 即 則得 上式為可壓縮流體非恒定流的連續(xù)性方程 可壓縮流體恒定流 的連續(xù)性方程為 不可壓縮流體 常數(shù) 恒定流或非恒定流的連續(xù)性方程為 例1 已知空氣流動(dòng)速度場(chǎng)為ux 6 x y2 uy 2y z3 uz x y 4z試分析這種流動(dòng)狀況是否連續(xù) 解 根據(jù)連續(xù)性方程 所以 說(shuō)明空氣的流動(dòng)是不連續(xù)的 例2 下面的平面流場(chǎng) 流動(dòng)是否連續(xù) ux x3siny uy 3x2cosy解 因?yàn)?所以 這個(gè)流動(dòng)是連續(xù)的 二 微小流束的連續(xù)性方程在總流中 任取一流段1 2的微小流束 其過(guò)流斷面面積分別為dA1和dA2 相應(yīng)的流速為u1和u2 密度分別為 1和 2 經(jīng)過(guò)dt時(shí)間 從1 1斷面流入的流體質(zhì)量為 從2 2斷面流出的流體質(zhì)量為 流入和流出微小流束的質(zhì)量差值為 設(shè)在t時(shí)刻微小流束內(nèi)的流體密度為 t dt時(shí)刻 密度為 在dt時(shí)間由于密度變化而使微小流束增加的流體質(zhì)量為 根據(jù)質(zhì)量守恒定律 dt時(shí)