青榮輕軌的最優(yōu)票價分析方案（青島市數(shù)學建模三等獎）.doc

三、模型的選擇1、 用AHP模型來選擇制定輕軌票價的方法AHP層次結構模型AHP層次模型分析選擇定價模式如圖1所示。該模型分為3層, 最高層是目標層, 也就是選取一種合適的票價制定方法。最底層是方案層, 就是待選的票價制定方法,模型以邊際方法、拉姆塞方法和盈虧平衡方法為候選方案。中間層是準則層, 需要通過考慮眾多票價制定影響因素來制定準則?？紤]到影響因素眾多, 各因素之間有一定的相關性,還有一些因素可以通過其他措施減少其影響(如公交競爭的程度可以通過行政協(xié)調的手段使其加強合作, 減少競爭), 在對各因素進行綜合考慮的基礎上, 選取軌道社會效益、政府財政負擔、投資方利益、輕軌運營效率、乘客因素5個。故票價制定方法選擇的5個準則為: 社會效益（B1）、政府財政負擔（B2）、投資方利益（B3）、輕軌運營效率（B4）、乘客因素（B5）。根據(jù)參考收集資料以及權衡各個因素的權重得到對比矩陣（原始數(shù)據(jù)見附件一），以下為AHP導出的對比判斷矩陣： 表1 準則層相對于目標層的判斷矩陣青榮輕軌票價制定方法的選擇(A)社會效益(B1)政府財政負擔(B2)投資方利益(B3)輕軌運營效率(B4)乘客因素(B5)權重()社會效益(B1)1.00002.22551.49181.22141.00000.2586政府財政負擔(B2)0.44931.00000.67030.81870.67030.1363投資方利益(B3)0.67031.49181.00001.22140.81870.1954輕軌運營效率(B4)0.81871.22140.81871.00000.81870.1804乘客因素(B5)1.00001.49181.22141.22141.00000.2293表2 方案層相對于社會效益的判斷矩陣社會效益(B1)邊際成本(C1)拉姆塞定價(C2)盈虧平衡(C3)權重()邊際成本(C1)1.00001.00001.49180.3771拉姆塞定價(C2)1.00001.00001.22140.3528盈虧平衡(C3)0.67030.81871.00000.2702表3 方案層相對于政府財政負擔的判斷矩陣政府財政負擔(B2)邊際成本(C1)拉姆塞定價(C2)盈虧平衡(C3)權重()邊際成本(C1)1.00000.81870.67030.2702拉姆塞定價(C2)1.22141.00001.00000.3528盈虧平衡(C3)1.49181.00001.00000.3771表4 方案層相對于投資方利益的判斷矩陣投資方利益(B3)邊際成本(C1)拉姆塞定價(C2)盈虧平衡(C3)權重()邊際成本(C1)1.00000.81870.54880.2506拉姆塞定價(C2)1.22141.00001.00000.3498盈虧平衡(C3)1.82211.00001.00000.3996表5 方案層相對于輕軌運營效率的判斷矩陣輕軌運營效率(B4)邊際成本(C1)拉姆塞定價(C2)盈虧平衡(C3)權重()邊際成本(C1)1.00001.22140.81870.3328拉姆塞定價(C2)0.81871.00001.00000.3114盈虧平衡(C3)1.22141.00001.00000.3558表6 方案層相對于乘客因素的判斷矩陣乘客因素(B5)邊際成本(C1)拉姆塞定價(C2)盈虧平衡(C3)權重()邊際成本(C1)1.00000.67030.81870.2650拉姆塞定價(C2)1.49181.00001.82210.4517盈虧平衡(C3)1.22140.54881.00000.28332. 層次單排序及一致性檢驗準則層相對于目標層的判斷矩陣如表1 所示, 方案層相對于準則層的判斷矩陣如表2 表6所示。計算每個矩陣的權向量并對其進行一致性檢驗, 青榮輕軌票價制定方法的選擇A, 其判斷矩陣一致性比例為0.0054; 社會效益（B1）判斷矩陣一致性比例為0.0043, 對總目標的權重為0.2586; 政府財政負擔(B2)判斷矩陣一致性比例為0.0043, 對總目標的權重為0.1363; 投資方利益(B3)判斷矩陣一致性比例為0.0171, 對總目標的權重為0.1954; 輕軌運營效率(B4)判斷矩陣一致性比例為0.0171, 對總目標的權重為0.1804; 乘客因素(B5)判斷矩陣一致性比例為0.0171, 對總目標的權重為0.2293; 各判斷矩陣的一致性指標均小于0. 1, 則通過檢驗。3. 層次單排序及一致性檢驗計算組合權向量并作一致性檢驗, 得出層次總排序, 即邊際方法、拉姆塞方法和盈虧平衡方法3 種方法的層次總排序向量為(0.3041，0.3674，0.3285), 拉姆塞定價在本例中評價最高, 因此應選用拉姆塞定價方法制定票價。在以下的模型建立過程中只考慮用拉姆塞定價方法。四、模型的建立 參考文獻并結合其他城市輕軌以及鐵路票價的制定方法，根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析可以得出采取拉姆塞定價方法是最適合青榮輕軌的票價制定方法。拉姆塞模型的一般表達式為: （1）式中：P 價格，MC 邊際成本；價格需求彈性系數(shù)；拉姆塞指數(shù)從公式（1）可以看出，拉姆塞定價模型正是考慮在邊際成本基礎上的一個加價。當市場存在高峰和非高峰時段差別時,令、和（i=1，2） 分別代表高峰和非高峰時段的價格、邊際成本和價格需求彈性系數(shù),則將上式變形為： （2）上式便是拉姆塞模型的一個重要應用：高峰負荷定價法。通常消費者在高峰時段對于價格的敏感程度明顯小于非高峰時段，所以可以采取在高峰時段定高價，而在非高峰時段定低價的策略。假設企業(yè)在所有時段（不考慮高峰和非高峰時段的差別）制定單一的盈虧平衡點票價P ，與之相對應的邊際成本和價格需求彈性系數(shù)分別為MC 和 ，再根據(jù)非高峰時段時的邊際成本和價格需求彈性系數(shù) ，利用公式（2）便能夠求出非高峰時段的票價（P）。由于青榮輕軌最擁擠和繁忙的時期是在高峰時段，那么政府用非高峰時段的票價P代替盈虧平衡點票價P，便能夠最大限度的對青榮輕軌的客流，特別是高峰時段的客流進行疏導。同時對于青榮輕軌來講，它在所有時段的邊際成本變動很小，因此可將公式（2）改寫為： （3）下面將根據(jù)這個思路，運用拉姆齊定價模型分 4 步制定出青榮輕軌的票價方案。1、青榮輕軌彈性系數(shù)的確定查閱文獻可以得知，傳統(tǒng)的確定需求彈性的方法有 2 個：一是建立一個適合于自身交通系統(tǒng)特點的需求彈性模型，二是采用著名的 Simpson-Curtin 法則，假設需求彈性系數(shù)恒為-0.33，即票價每提高 10%，客流量會減少 3.3%。在這里我們采用方法二，即用=-0.33作為青榮輕軌彈性系數(shù)的所有時段的平均值。參考其他城市對輕軌彈性系數(shù)的估計，我們用作為青榮輕軌非高峰時段的需求彈性值。2、青榮輕軌的成本分析 由經(jīng)濟學原理可知，輕軌的運營成本與客流量存在以下函數(shù)關系： C(Q)=bQ （4）式中：b、e為待定系數(shù)，C為運營成本，Q為客流量。在固定成本不變的情況下，邊際成本實際上就是運營成本對客流量的導數(shù)，即： MC= （5）對（4）式兩邊同時取對數(shù)，得： LnC(Q)=Lnb+eLnQ (6)根據(jù)以上公式，還可以推出盈虧平衡點時相對應的平均票價水平P3、青榮輕軌的平均票價 把盈虧平衡點時平均票價P，所有時段需求彈性的平均值，非高峰時段的需求彈性值以及邊際成本 MC代入（3）式，即= 可得P即為青榮輕軌的平均票價。查閱資料可知，青榮城際鐵路全長約300公里，投資預估算總額為 356.8億元。根據(jù)預測，青榮輕軌全日客運總量2020年將達到19.9萬人，2030年達29.3萬人。由于青榮輕軌2013年才能完工，缺乏相關數(shù)據(jù)，因此可以參考同類項目的歷史數(shù)據(jù)。在這里，我們選取廣珠輕軌的運營數(shù)據(jù)作參考。廣珠輕軌全線總長約143公里，連接廣州、佛山、珠海等幾市，總投資約195.4億，日客流量超過20萬人，而且廣珠輕軌所經(jīng)過地區(qū)，經(jīng)濟發(fā)展水平與青榮輕軌所經(jīng)地區(qū)相差不大，人口總量、人均可支配收入也比較相近，因此青榮輕軌與廣珠輕軌的情況非常相似，具有很高的參考價值。查閱相關資料可知，廣珠輕軌的平均票價約為4元。本文中取P=3.5元為青榮輕軌的平均票價。4、青榮輕軌票價的制定 參考文獻可知，世界各國的軌道交通系統(tǒng)，幾乎 60%以上都采用的是計程票價制，因此青榮輕軌也采用分段計程票價制。具體步驟如下：4.1青榮輕軌的基本票價參照其他城市軌道交通系統(tǒng)計程票價方法，在充分考慮青、威、煙三市市民的承受能力的基礎上，采用基本票價為平均票價 30%的方案，即基本票價為： P=P=3.5元4.2青榮輕軌的運價率目前京津城際鐵路上開行的200公里時速動車組硬座平均運價為0.304元/（人公里），軟座運價為0.372元/（人公里）。廣珠輕軌全長143公里，全程總價約為44元，平均運價為0.308元/（人公里）。參考以上數(shù)據(jù)，我們取0.30元/（人公里）作為青榮輕軌的平均票價。4.3青榮輕軌的計程區(qū)間采用按實際乘距，逐漸增加優(yōu)惠的策略。青榮輕軌正線全長299.18公里。因為青榮輕軌速度快，其時速最終定位于200km/h至250km/h，對短途旅客吸引力相對較低，而對中長途旅客具有較大的吸引力，因此在制定計程票價方案時，應考慮盡可能多的吸引中長途乘客。參考其他交通方式，并結合山東半島人均消費水平，我們把青榮輕軌的起步價定為3元。由以上分析可得行駛路程與票價之間的關系為： P*=3+S （7）五、模型求解1、相鄰站點距離表7 青榮輕軌相鄰站點距離起點青島北城陽即墨北夏格莊萊西萊陽桃村北福山南煙臺牟平威海北區(qū)威海威海威海機場終點城陽即墨北夏格莊萊西萊陽桃村北福山南煙臺牟平威海北區(qū)威海榮成威海機場榮成距離（Km）24.814.2312.631.916444.14640.121.82、票價的制定根據(jù)：票價=起步價+乘車距離*平均運價，即 P*=3+S 已知：平均票價為3元，平均運價取0.3，則用MATLAB可以編以下程序：MATLAB源程序：A=24.8 14.2 31.0 23.2 20.2 48.9 12.6 31.9 16.0 44.0 4.1 46.0 ;s=0;q=0;p=zeros(13);for i=1:12 s=0; for j=i:12 s=s+A(j); q=3+s/3; p(i,j+1)=round(q); endendp程序結果（即票價）；0 10 15 24 31 37 52 55 65 70 83 84 98 0 0 7 17 24 30 44 48 58 62 76 77 91 0 0 0 12 19 25 40 44 53 58 71 73 860 0 0 0 10 16 31 34 44 49 62 63 770 0 0 0 0 9 24 28 37 42 55 56 70 0 0 0 0 0 0 18 21 31 36 49 50 640 0 0 0 0 0 0 7 16 21 34 36 49 0 0 0 0 0 0 0 0 13 17 31 32 46 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 21 22 36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 17 310 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0上述程序結果中的上三角矩陣為票價的矩陣，只包括了單向的（反向價格相同）。其中第一行表示從青島北到各站的票價，非0元素代表到以后各站的票價，到前站以及本站的價格顯示為0。第二行表示第二站到以后各站的票價，其他依次類推。第一站到第十三站分別指青島北、城陽、即墨北、夏格莊、萊西、萊陽、桃村北、福山南、煙臺、牟平、威海北區(qū)、威海、榮成。此結果并不包括“威海威海機場榮成”線路。威海到威海機場的票價為15元，威海機場到榮成的票價為10元。3、票價一覽表表8 青榮輕軌各站間的最優(yōu)票價：終點站車票費用價（元）起始站終點站 費用 （元）起始站青島北城陽即墨北夏格莊萊西萊陽桃村北福山南煙臺牟平威海北區(qū)威海榮成青島北0101524313752556570838498城陽10071724304448 5862767791即墨北15701219 2540 44 5358 717386夏格莊2417120101631344449626377萊西312419100924283742555670萊陽373025169018213136495064桃村北524420312418071621343649福山南554844342821701317 313246煙臺655853443731161308212236牟平706258494236211780161731威海北區(qū)837671625549343121160418威海847773635650363222174017榮成9891867770644946363118170六、結果分析及對比由于青榮輕軌站點較多，我們選取了幾個比較有代表性的站點之間的票價進行分析對比。根據(jù)所查資料以及我們建模所得數(shù)據(jù)可得下表： 表9 青榮輕軌與長途汽車票價對比票價 乘車區(qū)間（元）乘車方式青島-煙臺青島-威海煙臺-威海青榮輕軌658422長途汽車669324由以上對比可以得出青榮輕軌的平均票價水平較長途汽車的票價水平要稍低，更重要的是青榮輕軌可以大大節(jié)省旅客的出行時間，再加上舒適的乘車環(huán)境、較高的安全性，乘坐輕軌最終會成為人們的首要選擇。七、模型推廣本文通過層次分析法確定最優(yōu)模型，應用性比較強，適合各類交通工具票價的制定。該方法還可以推廣應用到不同省市軌道交通票價制定方法的選取, 在選取過程中,根據(jù)不同省市的實際情況, 選取合適的準則和票價制定方法, 形成準則層和方案層, 并結合實際對判斷矩陣評分, 通過求解AHP模型,選取合適的票價制定方法。拉姆塞定價法是經(jīng)過層次模型分析得到的最優(yōu)定價方法。再根據(jù)我國基本國情，交通運輸系統(tǒng)一般是屬于政府主管機關自然壟斷的行業(yè)，拉姆塞定價法比較符合交通運營的實際情況，可以解決大多數(shù)類似的定價問題。參考文獻:1、陸衛(wèi)、張寧、楊利強、黃衛(wèi) 基于層次分析法的軌道交通票價制定方法 2009年4月。2、陳義華、車天義、趙良杰、董玉成 重慶市輕軌票價理論及應用 2005年6月。3、蔡順利、蔣玉現(xiàn) 北京地鐵計程票價方案探討 2002年8月。4、青煙威輕軌走出“規(guī)劃圖” 2007年5月，網(wǎng)站鏈接：/blog/static/181986532007499554496/5、趙良杰 公共交通的最優(yōu)定價理論與模型研究 2006年5月6、百度地圖 鏈接：/附件（一）以下為根據(jù)參考收集資料以及權衡各個因素的權重得到的對比判斷矩陣表1 準則層相對于目標層的判斷矩陣青榮輕軌票價制定方法的選擇(A)社會效益(B1)政府財政負擔(B2)投資方利益(B3)輕軌運營效率(B4)乘客因素(B5)權重()社會效益(B1)153210.3430政府財政負擔(B2)1/511/31/21/30.0693投資方利益(B3)1/33121/20.1775輕軌運營效率(B4)1/221/211/20.1305乘客因素(B5)132210.2817表2 方案層相對于社會效益的判斷矩陣社會效益(B1)邊際成本(C1)拉姆塞定價(C2)盈虧平衡(C3)權重()邊際成本(C1)1230.5396拉姆塞定價(C2)1/2120.2969盈虧平衡(C3)1/31/210.1634表3 方案層相對于政府財政負擔的判斷矩陣政府財政負擔(B2)邊際成本(C1)拉姆塞定價(C2)盈虧平衡(C3)權重()邊際成本(C1)11/21/30.1692拉姆塞定價(C2)2110.3874盈虧平衡(C3)3110.4344表4 方案層相對于投資方利益的判斷矩陣投資方利益(B3)邊際成本(C1)拉姆塞定價(C2)盈虧平衡(C3)權重()邊際成本(C1)11/21/40.1428拉姆塞定價(C2)211/20.2857盈虧平衡(C3)4210.5715表5 方案層相對于輕軌運營效率的判斷矩陣輕軌運營效率(B4)邊際成本(C1)拉姆塞定價(C2)盈虧平衡(C3)權重()邊際成本(C1)121/202711拉姆塞定價(C2)1/211/30.2545盈虧平衡(C3)2310.4744表6 方案層相對于乘客因素的判斷矩陣乘客因素(B5)邊際成本(C1)拉姆塞定價(C2)盈虧平衡(C3)權重()邊際成本(C1)11/31/20.1634拉姆塞定價(C2)3120.5396盈虧平衡(C3)21/210.2969附件（二）給交通部門的報告-有關青榮輕軌票價的制定尊敬的領導：您好！建設青榮輕軌對促進半島地區(qū)交通系統(tǒng)事業(yè)的發(fā)展，加快基礎設施建設，改善投資環(huán)境，提高各城市載體功能起到了積極作用。但票價的制定是一個棘手的問題，往往具有雙面性：過高的票價會使眾多居民不堪負重；過低的票價一方面可能使建設和運營成本難以收回，也可能使得鐵路部門因售票情況不佳而損失慘重?？v觀國內其他城市，北京輕軌票價每公里0.122元，大連每公里0.129元，上海每公里0.291元，廣州每公里0.358元。青榮輕軌票價的制定，需要考慮到市民的承受能力，青榮輕軌投資成本、各種維護費用、資金回收期限，同時結合其他運輸方式的價格及現(xiàn)在的動車組票價等進行分析。我們根據(jù)搜集得到的資料，進行數(shù)學建模后分析得到的結果，建議如下：先試運行1-2年，經(jīng)過客流統(tǒng)計和成本核算后再定出具體的合適的具體定價。試運期間，青榮城際輕軌的平均運價可以制定為為0.30元/（人公里）。以下為我們推算的青榮輕軌各站間的最優(yōu)票價： 表7 青榮輕軌各站間的最優(yōu)票價終點站車票費用價（元）起始站終點站 費用 （元）起始站青島北城陽即墨北夏格莊萊西萊陽桃村北福山南煙臺牟平威海北區(qū)威海榮成青島北0101524313752556570838498城陽10071724304448 5862767791即墨北15701219 2540 44 5358 717386夏格莊24171201016313444496