傳染病感染數(shù)學模型論文.doc

5 傳染病感染問題研究一、 摘要：面對嚴重影響人類生活甚至生存的傳染病感染問題，越來越多的人意識到研究其傳染的嚴峻性和重要性。許多學者和專家都投入了巨大的精力花費了許多時間來研究各種傳染病的傳播規(guī)律和預防手段，目的就是爭取將其對人類的損害降到最低。利用數(shù)學模型，建立適當?shù)募僭O然后對傳染病感染問題進行適模擬然后進行研究，找出適當?shù)念A防手段是目前研究傳染病傳播比較流行的做法。誠然對于現(xiàn)實的復雜和不可預測性我們在建立模型時是無法進行完整的模擬，只能對現(xiàn)實進行適當合理的假設。因此本文就是就是在對傳染病感染進行簡單假設（孤島疾病問題）的基礎上對傳染病感染問題進行數(shù)學建模并根據(jù)給出數(shù)據(jù)驗證建模的準確性，分析模型的優(yōu)缺點并給出改進方案。二、 關鍵詞:傳染病 數(shù)學模型 微積分 三、 引言： 在人類生活中，一直受到各種傳染病的困擾，造成各種影響范圍巨大人數(shù)眾多的死亡事件，如十四世紀四十年代肆虐歐洲的“黑死病”，共造成了全世界大約7500萬人死亡，其中2500萬為歐洲人約占歐洲總人口的三分之一，期間讓整個歐洲出現(xiàn)了許多“空城”“死城”影響巨大。雖然隨著醫(yī)學的進步，諸如霍亂、天花等曾肆虐全球的疾病已經(jīng)得到了有效的控制，但是一些全新的，不斷變異升級的傳染病卻不間斷的向人類襲來，如二十世紀八十年代開始迅速傳播艾滋??；以及2003年席卷全球肆虐整個中國的“非典型肺炎（SARS）”和此后陸續(xù)出現(xiàn)的瘋牛病、禽流感和豬流感都給人們的生活和生命帶來極大的危害和困擾。長期以來，建立傳統(tǒng)的傳染病模型，模擬和描述傳染病的傳播過程，解釋傳播規(guī)律，分析受感染人群以及人數(shù)的變化規(guī)律，探索抑制和制止傳染病傳播和蔓延手段等，都是世界各國政府和專家學者們關注的課題之一。 研究傳染病模型不可能通過實驗獲得數(shù)據(jù)，而且從醫(yī)療部門和衛(wèi)生組織得到資料也是十分有限的，而且這些資料絕大多數(shù)是不完全和不充分的，同時由于不同的傳染病傳播的過程方式傳染源各有不同，所以，我們只能按照一般的機理建立簡單的模型。四、 問題重述與分析:考慮在一個人口數(shù)量為N的孤島上，一部分到島外旅游的居民回來使該島感染了一種高傳染性的疾病。在某時刻t將會被感染的人數(shù)為X(t)。1) 在合理的假設下建立模型2) 若初始被感染的人數(shù)，畫出X關于t的圖形；若初始被感染人數(shù)為，畫出X關于t的圖形。3) 把X作為t的函數(shù)，解出前面給出的模型。4) 由 3)，當t趨于無窮時求X的極限。5) 設島上的人口有5000人，在傳染期的不同時刻被感染人數(shù)如下表天數(shù)t2610被感染人數(shù)X188740874853ln(X/(N-X)-0.51.53.5問這些數(shù)據(jù)能否支持所6) 利用2)的結果估計模型中的常數(shù)，并預測t=12天時被感染的人數(shù)。分析上述模型的優(yōu)缺點，試給出改進方案。問題分析:根據(jù)題目意思,這是一種傳染病,感染人數(shù)是隨時間演變的過程,要求感染人數(shù)與時間的關系就應該建立動態(tài)模型,在此我選擇微分方程,題目并未給出感染人數(shù)與未感染人數(shù)之間的關系,因此我們可以假設兩者之間存在一個以常量作為感染強度的正比關系，并以此建立模型。五、 建立模型：1. 模型假設：1.假設傳染病期間總人數(shù)N不變，即不考慮生死和遷。2.假設健康尚未感染的人群不具免疫力，即為易感人群。 3.該傳染病說有傳播途徑是與病原接觸。 4.每個病人在單位時間內傳染人數(shù)與該時刻未被感染人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k,即傳染強度。2. 符號說明：X（t）：t時刻被感染的人數(shù) S（t）：t時刻未被感染的人數(shù) k:感染強度 N:孤島上的人口總數(shù) X0：孤島上最開始感染的人數(shù)3. 模型的建立與求解：由于已感染人數(shù)和未感染人數(shù)之間成正比故一定時間內被感染人數(shù)為kX(N-X)即為=kX(N-X)。聯(lián)立方程組求解得： 六、 模型求解:1. 模型為方程為：=kX(N-X) 2. 圖形為：附圖1。附圖2.3. 模型的解為：4. 在3情況下： 5. 由3推導： 經(jīng)計算隨著感染人數(shù)增多誤差明顯增大6. 從5中結果來看僅僅將單位時間內感染人數(shù)與該單位時刻為感染人數(shù)成正比這個比例是不夠精確的，還應考慮隨時間推移康復的人數(shù)。以下為改進方案：模型假設：健康人數(shù)減少率正比于 康復人數(shù)增加正比于S（t） 感染人數(shù)的增加量為健康人數(shù)減少量減去康復人數(shù)增加量 總人數(shù)為N 符號說明：X（t）感染人數(shù) S（t）健康人數(shù) Y（t）康復人數(shù) k感染強度 l免疫強度模型建立與求解：七、 模型的推廣與改進 我們建立傳染病模型的方法是微分方程模型,這種模型的思想和方法都有廣泛應用,可以應用于經(jīng)濟.人口.交通.戰(zhàn)爭.社會.醫(yī)藥.物理.化學等等方面.再綜合03年的非典以及06年的艾滋病給我們帶來的后果以及應對措施，本模型可以應用到現(xiàn)如今h1n1傳播的控制，再加上相關部門的合作來降低傳染性。附錄：第（2）題程序運行結果：時，取，則(源程序見SY_f_1.m)y=dsolve(Dy=0