勾股定理第一課時(shí) (3).docx

勾股定理的教學(xué)設(shè)計(jì)（第一課時(shí)）一、教案背景（一）教材分析這節(jié)課是九年制義務(wù)教育初級(jí)中學(xué)教材華師大版八年級(jí)上冊(cè)第十四章第一節(jié)勾股定理第一課時(shí)：直角三角形三邊的關(guān)系。勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，它是直角三角形的一條重要性質(zhì)，揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系。它把三角形有一個(gè)直角的“形”的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為三邊之間的“數(shù)”的關(guān)系，它是數(shù)形結(jié)合的典范。它可以解決許多直角三角形中的計(jì)算問(wèn)題，勾股定理有著悠久的歷史，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起過(guò)重要的作用，在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的作用。是初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)之一。學(xué)生通過(guò)對(duì)勾股定理的學(xué)習(xí)，可以在原有的基礎(chǔ)上對(duì)直角三角形有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和理解。也可了解我國(guó)古代在勾股定理研究方面的成就，激發(fā)熱愛(ài)祖國(guó)，熱愛(ài)祖國(guó)悠久文化的思想感情。（二）學(xué)情分析1通過(guò)初一一年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，初二學(xué)生能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有較強(qiáng)的好奇心和求知欲，他們能探索具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，也能較清楚地表達(dá)解決問(wèn)題的過(guò)程及所獲得的解題經(jīng)驗(yàn)，他們?cè)敢鈱?duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行討論，并敢于對(duì)不懂的地方和不同的觀點(diǎn)提出自己的疑問(wèn)。2.考慮到三角尺學(xué)生天天在用，較為熟悉，但真正仔細(xì)研究過(guò)三角尺的同學(xué)并不多，通過(guò)這樣的情景設(shè)計(jì)，能非常簡(jiǎn)單地將學(xué)生的注意力引向本節(jié)課的本質(zhì)。3.以與勾股定理有關(guān)的人文歷史知識(shí)為背景展開(kāi)對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí)，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。（三）教學(xué)設(shè)想1課型：新授課2設(shè)計(jì)理念：本教案以學(xué)生手中舞動(dòng)的三角尺為知識(shí)背景展開(kāi)，以勾股定理在古今中外的發(fā)展史為主線貫穿課堂始終，讓學(xué)生對(duì)勾股定理的發(fā)展過(guò)程有所了解，讓他們感受勾股定理的豐富文化內(nèi)涵，體驗(yàn)勾股定理的探索和運(yùn)用過(guò)程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，特別是通過(guò)向?qū)W生介紹我國(guó)古代在勾股定理研究和運(yùn)用方面的成就，激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)祖國(guó)，熱愛(ài)祖國(guó)悠久文化的思想感情，培養(yǎng)他們的民族自豪感和探究創(chuàng)新的精神。3教學(xué)思路：探索結(jié)論-得出結(jié)論-歷史介紹-初步應(yīng)用結(jié)論-應(yīng)用結(jié)論解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。二、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)目標(biāo)1理解回顧直角三角形中三角之間的關(guān)系，掌握新知即三邊之間關(guān)系。2理解勾股定理的內(nèi)涵，并能用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算3通過(guò)畫圖實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷探索勾股定理的過(guò)程，發(fā)展合情推理的能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。（二）能力目標(biāo)1.掌握勾股定理的內(nèi)容，初步會(huì)用它進(jìn)行有關(guān)計(jì)算，即已知兩邊，運(yùn)用勾股定理列式求第三邊。2.應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題（探索性問(wèn)題和應(yīng)用性問(wèn)題）。3.經(jīng)歷探索勾股定理內(nèi)容的過(guò)程，學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單的合情推理與數(shù)學(xué)說(shuō)理。4通過(guò)勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，能用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界和有條理思考與表達(dá)的能力，感受勾股定理的價(jià)值，也能寫出簡(jiǎn)單的推理格式，以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。三情感與價(jià)值觀培養(yǎng)學(xué)生參與的積極性，及合作交流的意識(shí)。學(xué)生通過(guò)適當(dāng)訓(xùn)練，養(yǎng)成數(shù)學(xué)說(shuō)理的習(xí)慣，逐步體驗(yàn)數(shù)學(xué)說(shuō)理的重要性。在探索勾股定理的過(guò)程中，體驗(yàn)獲得成功的快樂(lè)，鍛煉學(xué)生克服困難的勇氣。引導(dǎo)學(xué)生積極探索，注意觀察生活，體驗(yàn)生活中的數(shù)學(xué)。通過(guò)了解我國(guó)古代在勾股定理研究方面的成就，激發(fā)熱愛(ài)祖國(guó)，熱愛(ài)祖國(guó)悠久文化的思想感情。三、重點(diǎn)難點(diǎn)剖析（一）重點(diǎn)1體驗(yàn)勾股定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，勾股定理的內(nèi)涵。2勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，即在直角三角形中，知道兩邊，可以求第三邊。（二）難點(diǎn)1勾股定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。2應(yīng)用勾股定理時(shí)斜邊或直角的確定，推理格式的正確書寫。3靈活運(yùn)用勾股定理。（三）難點(diǎn)成因在勾股定理的探索和驗(yàn)證過(guò)程中，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，而學(xué)生已有的知識(shí)能力水平很難從代數(shù)表示聯(lián)想到有關(guān)的幾何圖形，由幾何圖形聯(lián)想到有關(guān)的代數(shù)表示，這對(duì)學(xué)生具有一定的挑戰(zhàn)性。（四）難點(diǎn)突破為了突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，在探索勾股定理的過(guò)程中，按特殊到一般的思想，引導(dǎo)學(xué)生先由特殊的直角三角形開(kāi)始研究，然后從正方形的面積聯(lián)想a2、b2、c2；得出結(jié)論后，不把重點(diǎn)放在勾股定理的驗(yàn)證過(guò)程中，而只是簡(jiǎn)單介紹勾股歷史，簡(jiǎn)單提到古今中外對(duì)勾股定理有很多證明方法，而對(duì)于怎樣證明則作為課后閱讀留給學(xué)生自己探索。然后直接進(jìn)入勾股定理的應(yīng)用。在教學(xué)中，給學(xué)生提供充分實(shí)踐、探索和交流的時(shí)間，鼓勵(lì)他們積極思考解決問(wèn)題的辦法，并與他人進(jìn)行合作與交流。另外對(duì)練習(xí)的精選，也選擇學(xué)生易錯(cuò)的題型，讓他們養(yǎng)成先確定斜邊或直角再利用定理的習(xí)慣。四、教學(xué)策略及教法設(shè)計(jì)（一）教學(xué)策略課堂組織策略：創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活、生動(dòng)有趣的問(wèn)題情境，以熟悉的學(xué)習(xí)工具三角板為導(dǎo)入，開(kāi)展有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，組織學(xué)生主動(dòng)參與、勤于動(dòng)手、積極思考，使他們?cè)谧灾魈骄颗c合作交流的過(guò)程中，從整體上把握勾股定理探索的方法。學(xué)生學(xué)習(xí)策略：明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，了解所需掌握的知識(shí)，在教師的組織、引導(dǎo)、點(diǎn)撥下主動(dòng)地從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而真正有效地理解和掌握勾股定理。輔助策略：借助多媒體課件，使學(xué)生直觀形象地觀察、動(dòng)手操作。（二）教法設(shè)計(jì)探索法：讓學(xué)生在探索直角三角形三邊關(guān)系的活動(dòng)中，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。討論法：在學(xué)生進(jìn)行了自主探索之后，讓他們進(jìn)行合作交流，使他們互相促進(jìn)、共同學(xué)習(xí)。練習(xí)法：教學(xué)中通過(guò)對(duì)形的計(jì)算，使學(xué)生了解數(shù)對(duì)形的意義，使數(shù)形結(jié)合在勾股定理教學(xué)中得到充分的展示。并精心設(shè)計(jì)隨堂變式練習(xí)，鞏固和提高學(xué)生的認(rèn)知水平。五、教學(xué)過(guò)程師生雙邊教學(xué)活動(dòng)教學(xué)手記教學(xué)過(guò)程學(xué)生活動(dòng)新知介紹這是新課，要掌握的哦。1、情景創(chuàng)設(shè)由身邊熟悉的工具-三角板開(kāi)始新課根據(jù)三角板拓展思維回答相關(guān)問(wèn)題（1）情景導(dǎo)入同學(xué)們，當(dāng)你每天手握三角尺繪制自己的宏偉藍(lán)圖時(shí)，你是否仔細(xì)研究過(guò)三角尺，它作為工具在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中作用非凡，同時(shí)，它又可以作為直角三角形家族的典型代表。那么，從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，你對(duì)這兩位老朋友了解多少呢？角:(1)有一個(gè)角是直角C= (2)兩個(gè)銳角互余；A+B=邊:(1)三角形兩邊的和大于第三邊；a+bc(2)在直角三角形中，斜邊大于任意一條直角邊；ca, c b(3)對(duì)于比較特殊的直角三角形，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半這不是本課重點(diǎn)，學(xué)生回答時(shí)教師也簡(jiǎn)略而過(guò)，不必板書和過(guò)多延伸。（2）設(shè)置問(wèn)題一般的直角三角形，三邊之間究竟具有怎樣的等量關(guān)系呢？今天我們就來(lái)探索這一小秘密。（板書課題：直角三角形三邊關(guān)系）學(xué)生渴求直角三角形的新知，積極期待。2、合作探究探索 討論 交流（1）嘗試作圖畫直角ABC，使兩直角邊的長(zhǎng)分別是3cm、4cm，用直尺量出斜邊的長(zhǎng)度同學(xué)們幸喜地發(fā)現(xiàn)正好斜邊正好是5（2）發(fā)現(xiàn)猜想找出這三條邊有什么等量關(guān)系？學(xué)生基于這個(gè)特殊的直角三角形，發(fā)現(xiàn)了很多特殊的關(guān)系。如（3+5）2=43+42=5不能否定，因此再要求畫一個(gè)直角三角形（如果再畫一個(gè)直角三角形，使兩直角邊的長(zhǎng)分別是5cm、12cm，用直尺量出斜邊的長(zhǎng)度。再找出這三條邊有什么等量關(guān)系。）兩個(gè)直角三角形比較，同學(xué)自然明白上面的式子僅符合第一個(gè)直角三角形，而它們共有的規(guī)律就是“兩直角邊的平方和，等于斜邊的平方。”在學(xué)生畫圖的前提下，再展示幾何畫板課件，動(dòng)畫演示直角三角形三邊關(guān)系。鞏固（3）提示幫助如圖，以這個(gè)直角三角形三條邊的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，作三個(gè)正方形，計(jì)算這三個(gè)正方形的面積，并觀察這三個(gè)正方形的面積有何等量關(guān)系。3、師生互動(dòng)（1）總結(jié)特殊規(guī)律我們可以得到下面的結(jié)論：（1）以這個(gè)直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正方形的面積之和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積。S1+S2=S3（2）這個(gè)直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如32+42=52學(xué)生總結(jié)出來(lái)，教師板書（2）提出一般規(guī)律是不是所有直角三角形都有這個(gè)性質(zhì)呢？世界上許多數(shù)學(xué)家，先后用不同方法證明了這個(gè)結(jié)論.我國(guó)把它稱為“勾股定理”4、定理展示勾股定理（gou-gu theorem)：文字語(yǔ)言：在一個(gè)直角三角形中：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。也就是說(shuō)：如果直角三角形的兩直角邊為,斜邊為那么幾何語(yǔ)言：ABC是直角三角形 （已知）（勾股定理）板書“勾股定理”ABC是直角三角形 （已知）（勾股定理）5、勾股史話人們對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了從特殊到一般的過(guò)程，這在世界許多地區(qū)的數(shù)學(xué)原始文獻(xiàn)中都有反映（1）三邊古稱同學(xué)們知道勾股定理這個(gè)名稱的由來(lái)嗎？這是源于直角三角形的三邊古稱在古漢語(yǔ)里，人們將手臂彎曲成直角，上半部分稱為勾，下半部分稱為股我國(guó)古代學(xué)者又把直角三角形看作一把弓箭，所以，在直角三角形中，我們一般把較短的直角邊叫做勾，較長(zhǎng)的直角邊叫做股，斜邊叫做弦弦股勾（2）商高定理早在幾千年前西周時(shí)期，商高就發(fā)現(xiàn)了這個(gè)結(jié)論，商高定理即為勾股定理勾股定理在我國(guó)古代數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，千百年來(lái)逐漸形成了一門以勾股定理及其應(yīng)用為核心的中國(guó)式的幾何學(xué)當(dāng)時(shí)學(xué)生很激動(dòng)，為祖國(guó)的歷史感到驕傲（3）百牛定理勾股定理在國(guó)外，尤其在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理或百牛定理他發(fā)現(xiàn)勾股定理后高興異常，命令他的學(xué)生宰了一百頭牛來(lái)慶祝這個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)，因此勾股定理又叫做百牛定理1955年希臘發(fā)行了一張郵票，圖案是由三個(gè)棋盤排列而成這張郵票也是為了紀(jì)念勾股定理這個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)可畢達(dá)哥拉斯要比商高晚500多年，就因?yàn)槲覈?guó)那時(shí)沒(méi)能流傳出去，所以國(guó)外只承認(rèn)畢達(dá)哥拉斯定理學(xué)生很專心的聽(tīng)著老師的講解學(xué)生聽(tīng)完這個(gè)介紹后，嘆聲一片，紛紛為祖國(guó)道不平，我順勢(shì)做起了思想工作，“現(xiàn)在科學(xué)如此發(fā)達(dá)，我們的學(xué)習(xí)條件又如此的好，我們更應(yīng)努力學(xué)習(xí)，繼續(xù)去完成前人未完成的事業(yè)，把祖國(guó)的貢獻(xiàn)發(fā)揚(yáng)光大，為祖國(guó)爭(zhēng)光！”學(xué)生都會(huì)意地笑了。6、達(dá)標(biāo)反饋（1）新知應(yīng)用例1、在RtABC中，ABc,BCa，ACb,B=90.(1)已知a=6,b=10,求c；(2)已知a=24,c=25,求b。尋找已知條件列式求解強(qiáng)調(diào)先確定直角或斜邊的重要性練習(xí)1、(1)在RtABC中，ABc,BCa，ACb,B=90已知a=3,b=4,求c(2)在RtABC中，ABc,BCa，ACb,C=90已知a=3,b=4,求c(3)如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是3厘米和4厘米，那么這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是多少厘米？在前兩個(gè)練習(xí)的鋪墊下，學(xué)生很容易理解練習(xí)3的用意。（2）拓展引申例2、將長(zhǎng)為5.41米的梯子AC斜靠在墻上，BC長(zhǎng)為2.16米，求梯子上端A到墻的底端B的距離AB.（精確到0.01米）勾股定理簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活、用于生活的意義。強(qiáng)調(diào)要畫圖，以轉(zhuǎn)化到直角三角形中解題。練習(xí)2、將長(zhǎng)為5米的梯子AC斜靠在墻上，梯腳與墻的距離BC長(zhǎng)為2米，若將梯腳與墻的距離拉到3米，求梯子的垂直高度下降多少米？（精確到0.01米）是例2的變式練習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。（3）鞏固練習(xí)（1）直角三角形一條直角邊與斜邊分別長(zhǎng)為3cm、5cm，則第三邊長(zhǎng)為_(kāi)cm（2）在ABC中,CRt.若a2、b3，則c_；若a5、c13，則b_；若c61、b11，則a_.（3）如果等邊三角形的周長(zhǎng)為12cm，則它的面積為_(kāi)cm（4）如圖,隔湖有兩點(diǎn)A、B，從與BA方向成直角的BC方向上的點(diǎn)C,測(cè)得CA=50m,CB=40m.求AB.可根據(jù)時(shí)間隨機(jī)而定。課外延伸這個(gè)部分供學(xué)生課后探索，感受數(shù)學(xué)情趣7、定理證明世界上很多數(shù)學(xué)家用多種方法證明了勾股定理，據(jù)說(shuō)至今已經(jīng)找到的證明方法有五百多種，且每年還會(huì)有所增加。下面我們就借助拼圖的方法，探究證明的思路（1）趙爽弦圖上圖稱為“弦圖”，或“勾股圓方圖”，最早是由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為周髀算經(jīng)作注時(shí)給出的.下圖是在北京召開(kāi)的2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（TCM2002）的會(huì)標(biāo)，其圖案正是“弦圖”，它標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就.設(shè)問(wèn):你能用不同方法表示大正方形的面積嗎?用四個(gè)準(zhǔn)備好的完全相同的直角三角形，如圖所示的圖形.大正方形的面積可以表示為_(kāi)又可以表示為_(kāi)對(duì)比兩種表示方法，看看能不能得到勾股定理的結(jié)論.（2）辛卜松圖用四個(gè)準(zhǔn)備好的完全相同的直角三角形，如圖所示的圖形.設(shè)問(wèn):你能用不同方法表示大正方形的面積嗎?大正方形的面積可以表示為_(kāi),又可以表示為_(kāi)對(duì)比兩種表示方法，看看能不能得到勾股定理的結(jié)論.（3）總統(tǒng)證法勾股定理是數(shù)學(xué)史上的一顆璀璨明珠，它的證明在數(shù)學(xué)史上屢創(chuàng)奇跡，從畢達(dá)哥拉斯到現(xiàn)在，吸引著世界上無(wú)數(shù)的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)愛(ài)好者對(duì)它的探究，甚至政界要人美國(guó)第20任總統(tǒng)加菲爾德，也加入到對(duì)它的探索證明中，如圖是他當(dāng)年設(shè)計(jì)的證明方法。設(shè)問(wèn):你能用不同方法表示大正方形的面積嗎?大梯形的面積可以表示為_(kāi)又可以表示為_(kāi).對(duì)比兩種表示方法，看看能不能得到勾股定理的結(jié)論.8、勾股之樹(shù)這個(gè)不起眼的圖形有什么作用呢？不要小看它哦！古希臘的數(shù)學(xué)家 畢達(dá)哥拉斯就是利用這個(gè)圖形也證明了勾股定理你能利用勾股定理的圖形設(shè)計(jì)出一棵勾股樹(shù)嗎？用這美麗的數(shù)學(xué)圖形來(lái)裝飾我們的教室吧！讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美。9、勾股名題九章算術(shù)中的勾股問(wèn)題，是具有歷史意義的世界著名算題勾股問(wèn)題即直角三角形問(wèn)題九章算術(shù)專設(shè)勾股章來(lái)研究勾股問(wèn)題，共24個(gè)問(wèn)題現(xiàn)摘選兩個(gè)。（1）引葭赴岸“今有池方一丈，葭生其中央出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何”讓我們一起來(lái)熟悉一下圖形吧在RtABC中，b為池深，c為葭長(zhǎng)，且葭出水一尺，即cb+1尺，由題意a為5尺不用問(wèn)下面該勾股定理大顯身手了，剩下的問(wèn)題你能解決了吧？解：根據(jù)勾股定理，在RtABC中（2）風(fēng)動(dòng)紅蓮波平如鏡一湖面，半尺高處出紅蓮，鮮艷多姿湖中立，猛遭狂風(fēng)吹一邊；紅蓮斜臥水淹面，距根生處兩尺遠(yuǎn)；漁翁發(fā)現(xiàn)忙思考，湖水深淺有多少？解：設(shè)湖深為尺，紅蓮高出水面尺