第5課時 二項式定理.doc

10.5 二項式定理一、內(nèi)容歸納1 知識精講：（1）二項式定理：（）其通項是 （r=0,1,2,n），知4求1，如：亦可寫成：（）特別地：（）其中，二項式系數(shù)。而系數(shù)是字母前的常數(shù)。（2）二項展開式系數(shù)的性質(zhì)：對稱性,在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即增減性與最大值：在二項式展開式中，二項式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值。如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大，即偶數(shù)：；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)相等并且最大，即。所有二項式系數(shù)的和用賦值法可以證明等于即；奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等，即（3）二項式定理的應(yīng)用：近似計算和估計、證不等式，如證明：取的展開式中的四項即可。2重點難點: 二項式定理，和二項展開式的性質(zhì)。3思維方式:一般與特殊的轉(zhuǎn)化，賦值法的應(yīng)用。4特別注意:二項式的展開式共有n+1項，是第r+1項。通項是 （r=0,1,2,n）中含有五個元素，只要知道其中四個即可求第五個元素。注意二項式系數(shù)與某一項系數(shù)的異同。當(dāng)n不是很大，|比較小時可以用展開式的前幾項求的近似值。二、問題討論例1（1）等于 （ ）A B。 C。 D.（2）若為奇數(shù)，則被9除得的余數(shù)是 （ ）A0 B。2 C。7 D.8解：（1）設(shè)，于是：=故選D（2）=因為為奇數(shù)，所以原式=所以，其余數(shù) 為7，選C例2（1）(優(yōu)化設(shè)計P179例1)如果在 的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項。（2）(優(yōu)化設(shè)計P179例2)求的展開式的常數(shù)項。（3）在的展開式中，求的系數(shù)（即含的項的系數(shù)）解：（1）展開式中前三項的系數(shù)分別為1， ， 由題意得：2=1+得=8。設(shè)第r+1項為有理項，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8。有理項為?！舅季S點撥】 求展開式中某一特定的項的問題時，常用通項公式，用待定系數(shù)法確定r。（2）法一：，其展開式的通項為，令得所以，常數(shù)項為法二：解析：=得到常數(shù)的情況有：三個括號中全取-2，得（-2）3 一個括號取，一個括號取，一個括號取-2，得=-12，因此常數(shù)項為-20。（3）=含的項為 ,即含的項的系數(shù)為240 【思維點撥】 密切注意通項公式的使用。練習(xí)：(優(yōu)化設(shè)計P180思考討論)（1）在的展開式中，求的系數(shù)。（2）求的展開式中的常數(shù)項。（3）求的展開式中的系數(shù)。解:（1）原式=,展開式中的系數(shù)為（2）=，展開式中的常數(shù)項為（3）方法一：原式= 的系數(shù)為。方法二：展開式中的系數(shù)為：例3(優(yōu)化設(shè)計P180例3)、設(shè)an1qq2qn1(nN*，q1)，AnCa1Ca2Can.(1) 用q 和n 表示An(2) 當(dāng)時,求解：q1，an.AnCa1Ca2Can CCC(CCCC)(CqCq2CqnC)(2) 因為且q1，所以所以=【思維點撥】：本題逆用了二項式定理及CCC2n，這些重要的數(shù)學(xué)模型常常運(yùn)用于解題過程中.例4、若=，求（1）的值。（2）的值?！窘馕觥浚海?）在使用賦值法前，應(yīng)先將變形為：=才能發(fā)現(xiàn)應(yīng)取什么特殊值：令= 1，則=令=1則=因此：=1（2）因為=，而所以，=16 【思維點撥】 用賦值法時要注意展開式的形式。思考題：設(shè)則 解: 所以, =0備用題：例5已知。（1） 若展開式中第5項、第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)。（2） 若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項。【解】（1）=7或=14。當(dāng)=7時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是T4和T5T4的系數(shù)=；T5的系數(shù)=當(dāng)=14時展開式中二項式系數(shù)最大是項是T8，T8的系數(shù)=。（2） 由=79，可得=12，設(shè)頂?shù)南禂?shù)最大。，9.41，求證證明: 從而【思維點撥】這類是二項式定理的應(yīng)用問題，它的取舍根據(jù)題目而