“數(shù)學(xué)表示”及教學(xué)建議.pdf

數(shù)壇 在線 教育縱橫 2 0 1 4 年4 月 數(shù)學(xué)表示 及教學(xué)建議 江蘇省泰州市教研室石志群 提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù) 而在數(shù)學(xué)素養(yǎng)的諸多維度中 數(shù)學(xué)地表示 的意識(shí)與能 力應(yīng)該是一種極為重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng) 目前數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn) 狀是刨設(shè)情境是時(shí)髦 數(shù)學(xué)建構(gòu)被縮減 解題訓(xùn)練是主 體 這其中數(shù)學(xué)建構(gòu)與問(wèn)題解決過(guò)程中的 如何進(jìn)行數(shù) 學(xué)刻畫(huà)或數(shù)學(xué)表示 通常被大大地縮略了 其結(jié)果是學(xué) 生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示相關(guān)研究對(duì)象的意識(shí)不強(qiáng) 更不能針 對(duì)具體問(wèn)題合理地選擇數(shù)學(xué)的表示形式 靈活地進(jìn)行不 同的數(shù)學(xué)表示方式的轉(zhuǎn)換 本文就 數(shù)學(xué)表示 及其教學(xué) 談一點(diǎn)體會(huì) 一 數(shù)學(xué)表示的方式 表示對(duì)象的最原始的是 記號(hào) 如 數(shù) 的早期表示 就有 刻痕 結(jié)繩等 后來(lái) 在創(chuàng)立了文字后就直接用文 字表述了 但這些表述都少有數(shù)學(xué)味 即 抽象度 不夠 運(yùn)用起來(lái)不方便 隨著數(shù)學(xué)的逐步發(fā)展 符號(hào)作為數(shù)學(xué) 表示的重要形式使得數(shù)學(xué)的特點(diǎn)得到了最大限度的體 現(xiàn) 抽象性 簡(jiǎn)潔性及邏輯上嚴(yán)謹(jǐn)性 因此 數(shù)學(xué)表示的 方式通常有 文字或文詞表示法 圖形表示法 符號(hào)表示 法 文字與文詞表示法較通俗 可以較為容易地為不懂 數(shù)學(xué)的人所理解 為數(shù)學(xué)發(fā)展初期所常用 圖形表示法 形象 直觀 是數(shù)學(xué)研究過(guò)程中常用的有助于分析和解 決問(wèn)題的工具 而符號(hào)表示法因其含義高度概括 形式 高度濃縮而成為一種特殊的科學(xué)語(yǔ)言 它便于記錄和閱 讀 能加速思維進(jìn)程和高效傳播思維 著名數(shù)學(xué)家萊布 尼茲曾說(shuō) 符號(hào)的巧妙和符號(hào)的藝術(shù)是人們絕妙的助 手 因?yàn)樗鼈兪顾伎脊ぷ鞯玫焦?jié)約 在這里它以驚人 的形式節(jié)省了思維 從數(shù)學(xué)表示的三種方式也看到了 數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史進(jìn)程 二 數(shù)學(xué)表示的功能 如上文所述 數(shù)學(xué)表示是進(jìn)行數(shù)學(xué)理論建構(gòu) 研究 的基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言形態(tài) 不僅如此 數(shù)學(xué)表示 特別是數(shù) 學(xué)的符號(hào)表示和圖形表示有著更為重要的理論價(jià)值和 實(shí)用價(jià)值 十 7 敷 7 高中版 1 數(shù)學(xué)表示的動(dòng)力功能 劉云章教授在 數(shù)學(xué)符號(hào)學(xué)概論 中對(duì)此作了深刻 的研究 他認(rèn)為 數(shù)學(xué)在發(fā)展 數(shù)學(xué)符號(hào)也隨之創(chuàng)新 發(fā) 展 另一方面 數(shù)學(xué)符號(hào)的創(chuàng)新又推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展 劉教授從數(shù)學(xué)史的角度 通過(guò)具體實(shí)例說(shuō)明了符號(hào)對(duì)數(shù) 學(xué)發(fā)展的影響 速記符號(hào)引申出新的數(shù)學(xué)分支 如行列 式理論 符號(hào)化導(dǎo)致新學(xué)科的誕生 如代數(shù)學(xué) 解析幾 何 數(shù)理邏輯等 符號(hào)美的魅力推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展 數(shù)學(xué)美 的幾個(gè)主要標(biāo)志 簡(jiǎn)單性 統(tǒng)一性 對(duì)稱(chēng)性與奇異性 等在數(shù)學(xué)符號(hào)方面均有反映 數(shù)學(xué)符號(hào)美的魅力是科學(xué) 發(fā)展的推動(dòng)力 如運(yùn)算表示的簡(jiǎn)單化的審美追求導(dǎo)致新 的數(shù)學(xué)運(yùn)算的產(chǎn)生 加法到乘法 乘方到極限 微積分 群的理論 某些符號(hào)刺激了數(shù)學(xué)的發(fā)展 如1 T e 等對(duì)分 析學(xué)的發(fā)展 事實(shí)上 數(shù)學(xué)表示 在將現(xiàn)實(shí)的 其他學(xué)科的對(duì)象 表示為數(shù)學(xué)對(duì)象后 通常能夠賦于其新的 更為廣闊的 發(fā)展空間 因而能夠帶來(lái)更強(qiáng)的活力和生機(jī) 比如 源于 動(dòng)力學(xué)的向量 當(dāng)其從速度 加速度 位移等物理學(xué)中的 矢量抽象為數(shù)學(xué)中的向量后 隨著表示方法的演化 從 符號(hào)表示 圖形表示到基底表示和坐標(biāo)表示 其應(yīng)用空 間已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了物理學(xué)本身 在幾何 代數(shù)等數(shù)學(xué)領(lǐng)域 亦有廣闊的應(yīng)用 當(dāng)將坐標(biāo)表示下的向量拓展到n 維空 間后 一門(mén)新的數(shù)學(xué)分支 向量代數(shù)隨之誕生 總之 數(shù)學(xué)的符號(hào)表示是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要?jiǎng)恿?2 數(shù)學(xué)表示的思維功能 數(shù)學(xué)的符號(hào) 圖形甚至數(shù)學(xué)的語(yǔ)言 如數(shù)學(xué)概念 表 示方式都是數(shù)學(xué)抽象思維的產(chǎn)物 是數(shù)學(xué)思維的濃縮 物 因此 這些數(shù)學(xué)表示的方式本身就包含著思維價(jià)值 事實(shí)上 數(shù)學(xué)符號(hào)的動(dòng)力作用也正是由于其內(nèi)在的思維 功能所決定的 當(dāng)我們看到數(shù)學(xué)符號(hào) 石鏟時(shí)會(huì)聯(lián)想到什么 可 能會(huì)想到點(diǎn) 口 b 與原點(diǎn)之間的距離 可能會(huì)想到向量 n b 的模 可能會(huì)想到一元二次方程的兩個(gè)根的平方 和 可能會(huì)想到基本不等式或柯西不等式 可能會(huì)想到 三角函數(shù)的定義式甚至圓的參數(shù)方程等 萬(wàn)方數(shù)據(jù) 2 0 1 4 年4 月 教育縱橫 當(dāng)我們將一組數(shù)據(jù) 的散點(diǎn)圖畫(huà)出后出現(xiàn)了 如圖l 所示的情形 對(duì)兩 個(gè)變量之間的可能的函 數(shù)關(guān)系你會(huì)產(chǎn)生怎樣的 猜想 在歐拉解決著名的 哥尼斯堡七橋問(wèn)題之前 已有很多人對(duì)此進(jìn)行了 02468 圖1 研究 他們的研究方法是用窮舉法進(jìn)行不斷的嘗試 在 始終沒(méi)有找到符合條件的走法的情況下束手無(wú)策 而歐 拉運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的方法 將原來(lái)的問(wèn)題抽象為圖2 的圖 形 變換了問(wèn)題的表示方式 再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖3 的 一 筆畫(huà) 問(wèn)題 數(shù)學(xué)模型表示實(shí)際問(wèn)題 最后運(yùn)用一筆畫(huà) 圖的性質(zhì)加以研究 從而系統(tǒng)地解決了七橋問(wèn)題 并由 此產(chǎn)生了新的數(shù)學(xué)分支一圖論和拓?fù)鋵W(xué) D 圖2圖3 歐拉的數(shù)學(xué)表示具有以下特點(diǎn) 第一 排除了無(wú)關(guān) 因素的干擾 研究的對(duì)象和對(duì)象之間的關(guān)系以純粹的形 式呈現(xiàn)在我們面前 第二 打破了具體問(wèn)題情境的局限 開(kāi)拓了視野 為研究提供了更廣闊 更清晰的背景 第 三 數(shù)學(xué)語(yǔ)言使問(wèn)題表述得更加明確 清晰 從而易于抓 住其要害 第四 抽象后的數(shù)學(xué)問(wèn)題已自動(dòng)建立了與數(shù) 學(xué)體系的聯(lián)系 使我們能夠用數(shù)學(xué)的思想和方法 可以 是已有的 也可以重新開(kāi)創(chuàng) 加以處理 總體來(lái)說(shuō) 就是 為數(shù)學(xué)地思維提供了載體 一般地 數(shù)學(xué)的表示方式為思維活動(dòng)提供了物質(zhì)載 體 表示形式的結(jié)構(gòu)特征是聯(lián)想思維的觸發(fā)源 具有 暗 示 的信息源的功能 簡(jiǎn)約的表示形式可以將思維活動(dòng) 變成符號(hào)的操作 降低了思維的難度 如數(shù)理邏輯的應(yīng) 用 歐拉解決七橋問(wèn)題的思想 數(shù)學(xué)表示能夠促進(jìn)數(shù)學(xué) 思維的 機(jī)械化 使得數(shù)學(xué)思維成為自動(dòng)化的程序 有 助于運(yùn)用現(xiàn)代技術(shù)工具 三 數(shù)學(xué)表示 教學(xué)建議 數(shù)學(xué)表示 能力的培養(yǎng)和意識(shí)的增強(qiáng)是數(shù)學(xué)教學(xué) 的一項(xiàng)重要任務(wù) 數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高其重要標(biāo)志就是用數(shù) 學(xué)的意識(shí) 而能夠用數(shù)學(xué)的前提條件就是用數(shù)學(xué)表示出 研究的對(duì)象 如果我們將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程 數(shù)學(xué)研究的 壇 線 過(guò)程與上述要求相比對(duì)的話 就會(huì)發(fā)現(xiàn) 只要我們遵循 數(shù)學(xué)研究的基本規(guī)范 充分暴露數(shù)學(xué)理論的建構(gòu)過(guò)程和 數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程 學(xué)生的 數(shù)學(xué)表示 的意識(shí)就能夠 自然地得到加強(qiáng) 1 體驗(yàn)引入新數(shù)學(xué)表示方式的必要性與合理性 數(shù)學(xué)研究的過(guò)程是不斷地運(yùn)用數(shù)學(xué)表示和 創(chuàng)造 數(shù)學(xué)新表示方式的過(guò)程 因此 在數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程 中必須充分暴露提出問(wèn)題的過(guò)程 刻畫(huà)問(wèn)題的過(guò)程 解 決問(wèn)題的過(guò)程 構(gòu)造表示新數(shù)學(xué)對(duì)象的符號(hào)必須顯示必 要性和合理性 為什么要引入新的數(shù)學(xué)符號(hào) 比如對(duì)數(shù) 符號(hào) 1 0 9 我們可以通過(guò)對(duì)問(wèn)題的背景的分析加以揭 示 情境1 莊子 一尺之棰 日取其半 萬(wàn)世不竭 1 取5 次 還有多長(zhǎng) 2 取多少次 還有0 1 2 5 尺 請(qǐng)將上述 問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)表示 并加以解決 1 學(xué)生 1 I I5 0 0 3 1 2 5 LZf 1 2 I l 0 1 2 5 3 Z 師 o 5 o 2 5 情境2 假設(shè)1 9 9 5 年我國(guó)國(guó)民生產(chǎn)總值為0 f 乙元 如 果每年平均增長(zhǎng)8 那么經(jīng)過(guò)多少年國(guó)民生產(chǎn)總值是 1 9 9 5 年的2 倍 抽象出 1 0 8 x 2 師 與情境1 中 1 一樣 也是已知底數(shù)和冪的值 求 1 指數(shù) 你能看得出來(lái)嗎 再比如情境l 2 0 1 2 5 中 Z 的 是多少 這樣的 戈 和 是否存在 可以通過(guò)函數(shù)圖像分析 其存在性 存在又無(wú)法表示 怎么辦 只能引進(jìn)新 的數(shù)學(xué)符號(hào)了 2 體驗(yàn)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表示在問(wèn)題解決中的作用 上面介紹的歐拉解決哥尼斯堡七橋問(wèn)題的案例可 以讓我們充分地感受到數(shù)學(xué)表示的重要的應(yīng)用價(jià)值 不 過(guò)這是現(xiàn)行教材中沒(méi)有的內(nèi)容 這是非常可惜的事 由 此啟發(fā)我們 通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的思維過(guò)程的暴露 可 以讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)表示的實(shí)用價(jià)值 提高數(shù)學(xué)表示 的能力 增強(qiáng)數(shù)學(xué)表示的自覺(jué)意識(shí) 比如 應(yīng)用問(wèn)題 數(shù) 學(xué)建模都是經(jīng)歷數(shù)學(xué)表示過(guò)程 達(dá)到問(wèn)題解決的好的載 體 下面看一道高考題 例1 1 9 9 7 年全國(guó)卷第2 4 題 設(shè)二次函數(shù)兵石 o x 2 b x c a O 方程及石 噸 o 的兩個(gè)根石l 髫2 滿(mǎn)足 電l 屯2 土 高中版十 歆吁 一 萬(wàn)方數(shù)據(jù) 數(shù)壇 在線 教育縱橫 2 0 1 4 年4 月 1 當(dāng)戈 O 戈 時(shí) 證明 戈積戈 奴 2 設(shè)函數(shù)八菇 的圖像關(guān)于直線X X o X 寸稱(chēng) 求證 X o 戈1 2 當(dāng)年全江蘇省基本沒(méi)有考生能夠解決 究其原因 在于學(xué)生習(xí)慣的表示方式是將目標(biāo)式中的菇 戈 石 用系 數(shù)a b c 表示 閱卷參考答案即如此 但這樣表示后得 到的式子很繁 變形轉(zhuǎn)化較復(fù)雜 且要用到不等式放縮 技巧 難度很大 如果注意到目標(biāo)導(dǎo)向的作用 將 菇 用 根z z 力 以表示 則可得到非常簡(jiǎn)捷的思路 對(duì) 1 因?yàn)閺S 戈 x 0 的兩個(gè)根為扎釔 所以可設(shè) 八石 叫 口 戈嘣 菇叫 因而要證明的也就是O a x x X X 2 如l 叫 注意到戈 09 X 1 所以戈叫 0 于是只要證 O x 叫 即可 因?yàn)楦?X 2 均在f 0 一1l 內(nèi) 且x x 電2 故上 a a 式顯然成立 對(duì) 2 注意到戈薩一蘭 又由韋達(dá)定理知菇 協(xié)聲一竺蘭 Z aa 所以X o X I X 2 一去 所以只要證掣等一 1 詈 也就是要 ZZ o二2 aZ 證明并2 二 顯然成立 a 二次函數(shù)有多種表示方式 一般形式 頂點(diǎn)表示形 式 根的表示形式等 在思維受阻時(shí) 根據(jù)問(wèn)題的結(jié)構(gòu) 特點(diǎn) 從目標(biāo)形式特征想到調(diào)整數(shù)學(xué)對(duì)象 這里是函數(shù) f x 的表示方式 讓我們領(lǐng)略了 柳暗花明 的意境 3 體驗(yàn)表示方式轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)建構(gòu)功能 我們知道 一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象可以有多種表征或表示形 式 不同的表示形式可以體現(xiàn)其不同的內(nèi)在或外在特 性 而這種特性對(duì)研究者的思維是一種啟發(fā) 可以觸發(fā) 創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn) 隨著向量被引入中學(xué) 2 0 0 0 年人教版教材 起 作為 一種工具得到了充分重視 那時(shí)及以后的教材中都改變 了傳統(tǒng)的從幾何或坐標(biāo)角度推導(dǎo)正弦定理 余弦定理及 其他三角公式的做法 統(tǒng)一地運(yùn)用向量方法進(jìn)行研究 因?yàn)橄蛄康墓ぞ咦饔盟幂^少 教學(xué)過(guò)程中感到很難讓 學(xué)生自然地想到向量的思路 于是大多直接介紹相關(guān)思 路和方法 事實(shí)上 在引導(dǎo)學(xué)生欣賞向量的獨(dú)特而強(qiáng)大 的功能的同時(shí) 使學(xué)生感受到 數(shù)學(xué)表示 在思路探索過(guò) 程中的啟發(fā)性作用 應(yīng)是值得重視的一個(gè)方面 比如 對(duì) 正弦定理和余弦定理的教學(xué) 可以從現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題出發(fā) 也可以從直角三角形中的邊角關(guān)系出發(fā) 提出研究一般 三角形的邊角關(guān)系的課題 再對(duì)三角形的表示形式進(jìn)行 多視角的探索 圖形表示 符號(hào)表示 能否用向量表示 寸 7 鼗 7 高中版 呢 讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)i A B B C AC 十 A C C B A B 再根據(jù)目標(biāo) 要得到三角形的邊長(zhǎng)之間的關(guān)系 提 出問(wèn)題 怎樣將上面的向量之間的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化成邊長(zhǎng) 之間的數(shù)量關(guān)系呢 學(xué)生容易想到將向量等式數(shù)量化的 需求 最后 讓學(xué)生自己探求數(shù)量化的方法 教學(xué)過(guò)程中 可以讓學(xué)生多角度思考推導(dǎo)方法 坐 標(biāo)法 幾何法都可以 并讓學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)向量表示 對(duì)思維的啟發(fā)功能和思路的簡(jiǎn)化功能 事實(shí)上 由此可 以得出更多的關(guān)于三角形中邊角關(guān)系的等式 如射影定 理等 顯示出向量的價(jià)值之巨大 4 揭示數(shù)學(xué)表示作為思想方法的操作形式在某些 數(shù)學(xué)分支中重要作用 在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中 變換表示方式是一種有效的轉(zhuǎn) 化策略 不僅如此 有時(shí)其還可以作為一個(gè)數(shù)學(xué)分支的 基本思想方法的操作模式 比如 解析幾何的思想方法 從本質(zhì)上講就是將幾何問(wèn)題代數(shù)化 于是 處理解析幾 何問(wèn)題或運(yùn)用解析幾何作為工具解決數(shù)學(xué)問(wèn)題 就是要 將問(wèn)題中的幾何語(yǔ)言 表征方式 用代數(shù)語(yǔ)言表示出來(lái) 從而為用代數(shù)知識(shí)和方法進(jìn)行研究提供基礎(chǔ) 例2 已知圓0 X 2 儼 1 直線f m x n y l 點(diǎn)P m n 在橢圓 x y 1 上運(yùn)動(dòng) 求證 直線Z 與圓0 相