二、導數(shù)的應(yīng)用3.8函數(shù)的極值與最值.ppt

函數(shù)的極值與最值 1 進一步掌握求函數(shù)極值的方法和步驟 2 理解函數(shù)的極值和最值的區(qū)別和聯(lián)系 3 掌握求函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法 學習目標 復(fù)習回顧 1 當函數(shù)f x 在x0處連續(xù)時 判別f x0 是極大 小 值的方法是 如果在x0附近的左側(cè)右側(cè) 那么 f x0 是極大值 如果在x0附近的左側(cè)右側(cè) 那么 f x0 是極小值 2 導數(shù)為零的點是該點為極值點的必要條件 而不是充分條件 極值只能在函數(shù)不可導的點或?qū)?shù)為零的點取到 3 在某些問題中 往往關(guān)心的是函數(shù)在一個定義區(qū)間上 哪個值最大 哪個值最小 而不是極值 新課講授 觀察右邊一個定義在區(qū)間 a b 上的函數(shù)y f x 的圖象 發(fā)現(xiàn)圖中 是極小值 是極大值 在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是 最小值是 f x1 f x3 f x2 f b f x3 問題在于如果在沒有給出函數(shù)圖象的情況下 怎樣才能判斷出f x3 是最小值 而f b 是最大值呢 設(shè)函數(shù)f x 在 a b 上連續(xù) 在 a b 內(nèi)可導 則求f x 在 a b 上的最大值與最小值的步驟如下 求y f x 在 a b 內(nèi)的極值 極大值與極小值 將函數(shù)y f x 的各極值與f a f b 作比較 其中最大的一個為最大值 最小的一個為最小值 求函數(shù)的最值時 應(yīng)注意以下幾點 1 函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題 是一個局部概念 而函數(shù)的最值是對整個定義域而言 是在整體范圍內(nèi)討論問題 是一個整體性的概念 2 閉區(qū)間 a b 上的連續(xù)函數(shù)一定有最值 開區(qū)間 a b 內(nèi)的可導函數(shù)不一定有最值 但若有唯一的極值 則此極值必是函數(shù)的最值 3 函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個 而函數(shù)的極值則可能不止一個 也可能沒有極值 并且極大值 極小值 不一定就是最大值 最小值 但除端點外在區(qū)間內(nèi)部的最大值 或最小值 則一定是極大值 或極小值 4 如果函數(shù)不在閉區(qū)間 a b 上可導 則在確定函數(shù)的最值時 不僅比較該函數(shù)各導數(shù)為零的點與端點處的值 還要比較函數(shù)在定義域內(nèi)各不可導的點處的值 5 在解決實際應(yīng)用問題中 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點 這樣的函數(shù)稱為單峰函數(shù) 那么要根據(jù)實際意義判定是最大值還是最小值即可 不必再與端點的函數(shù)值進行比較 例1 求函數(shù)y x4 2x2 5在區(qū)間 2 2 上的最大值與最小值 解 令 解得x 1 0 1 當x變化時 的變化情況如下表 從上表可知 最大值是13 最小值是4 例2 函數(shù)y x 3x 9x在 4 4 上的最大值為 最小值為 解 由f x 3x 6x 9 0 又區(qū)間 4 4 端點處的函數(shù)值為f 4 20 f 4 76 得x1 3 x2 1 相應(yīng)的函數(shù)值為f 3 27 f 1 5 當x變化時 y y的變化情況如下表 可知函數(shù)在 4 4 上的最大值為f 4 76 最小值為f 1 5 例3 設(shè) 函數(shù)的最大值為1 最小值為 求常數(shù)a b 解 令 得x 0或a 當x變化時 f x 的變化情況如下表 由表知 當x 0時 f x 取得極大值b 而f 0 f a f 0 f 1 f 1 f 1 故需比較f 1 與f 0 的大小 又f 1 f a a 1 2 a 2 2 0 所以f x 的最小值為f 1 1 3a 2 b 3a 2 f 0 f 1 3a 2 1 0 故b 1 f x 的最大值為f 0 b 思考題 04浙江文21 本題滿分12分 已知a為實數(shù) 求導數(shù) 若 求在 2 2 上的最大值和最小值 若在 2 和 2 上都是遞增的 求a的取值范圍 2 a 2 課堂小結(jié) 1 求在 a b 上連續(xù) a b 上可導的函數(shù)f x 在 a b 上的最值的步驟 1 求f x 在 a b 內(nèi)的極值 2 將f x 的各極值與f a f b 比較 其中最大的一個是最大值 最小的一個是最小值 2 求函數(shù)的最值時 應(yīng)注意以下幾點 1 要正確區(qū)分極值與最值這兩個概念 2 在 a b 上連續(xù) a b 上可導的函數(shù)f x