高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)II1.1任意角的概念與蝗制1.1.1角的概念的推廣課堂探究學(xué)案.docx

1.1.1 角的概念的推廣課堂探究探究一 有關(guān)角的概念問題1熟記一些角的概念，如第一象限角可表示為k36090k3602熟悉一些角與角的基本關(guān)系，如銳角是第一象限角，反之不成立；鈍角是第二象限角，反之也不成立【例1】 下列各種說法正確的是()A終邊相同的角一定相等 B第一象限的角就是銳角C銳角是第一象限的角 D小于90的角都是銳角解析：根據(jù)銳角和第一象限的角的定義來進(jìn)行判定因?yàn)殇J角的集合是|090，第一象限的角的集合是|k360k36090，kZ，所以當(dāng)k0時(shí)，角的范圍就與銳角的范圍相一致，故銳角是第一象限的角，C正確60角與300角是終邊相同的角，它們并不相等，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；390角是第一象限的角，但它不是銳角，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；30角是小于90的角，但它不是銳角，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤答案：C反思 (1)解決此類問題的關(guān)鍵在于正確理解象限角、銳角、小于90的角、090的角等概念(2)本題也可采用排除法，這時(shí)需掌握判斷說法是否正確的技巧判斷說法正確需要證明，而判斷說法錯(cuò)誤只需舉一反例即可探究二 終邊相同的角的問題求與已知角終邊相同的角，首先將這樣的角表示成k360(0360，kZ)的形式，然后采用賦值法或解不等式求解，確定k的值，求出適合條件的角【例2】 在角的集合|k9045，kZ中，(1)有幾種終邊不相同的角？(2)有幾個(gè)在360360范圍內(nèi)的角？分析：從代數(shù)角度看，取k，2，1,0,1,2，可以得為，135，45，45，135，225，；從圖形角度看，是以45角為基礎(chǔ)，依次加上(或減去)90的整數(shù)倍，即依次按逆時(shí)針(或順時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)90所得各角，如圖所示，結(jié)合圖形求解解：(1)在給定的角的集合中，終邊不相同的角共有4種，分別是與45，135，225，315角的終邊相同的角(2)令360k9045360，得k又因?yàn)閗Z，所以k4，3，2，1,0,1,2,3所以在360360范圍內(nèi)的角共有8個(gè)反思 把代數(shù)計(jì)算與對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)結(jié)合起來即數(shù)形結(jié)合，會(huì)使這類問題處理起來更容易些數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要方法之一，做題時(shí)要注意自覺地應(yīng)用探究三 已知角終邊所在象限，求(nN)終邊所在象限一般地，要確定 (nN)所在的象限，可以作出各個(gè)象限的從原點(diǎn)出發(fā)的n等分的射線，它們與坐標(biāo)軸把周角等分成4n個(gè)區(qū)域，從x軸的非負(fù)半軸起，按逆時(shí)針方向把這4n個(gè)區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上號(hào)碼1,2,3,4，則標(biāo)號(hào)是幾的區(qū)域，就是當(dāng)為第幾象限的角時(shí)，終邊落在的區(qū)域，所在的象限就可直觀地看出【例3】 已知是第一象限的角，求終邊所在位置解法一：因?yàn)槭堑谝幌笙薜慕?，所以k360k36090，kZ所以k120k12030，kZ所以當(dāng)k3n，nZ時(shí)，n360n36030；當(dāng)k3n1，nZ時(shí)，n360120n360150；當(dāng)k3n2，nZ時(shí)，n360240n360270所以的終邊在第一象限或第二象限或第三象限，如圖(1)所示 圖(1) 圖(2)解法二：如圖(2)所示，先將各象限分成三等份，再?gòu)膞軸正向上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上1,2,3,4，則標(biāo)有1的區(qū)域即為的終邊所落在的區(qū)域，故的終邊在第一象限或第二象限或第三象限點(diǎn)評(píng) 上述兩種解法各有優(yōu)缺點(diǎn)，解法一可以求出具體的，但運(yùn)算量大，解法二只能粗略判斷所在的象限，但操作簡(jiǎn)單探究四 終邊相同的角的集合之間的關(guān)系解決與角有關(guān)的集合問題的關(guān)鍵是弄清集合中含有哪些元素其方法有：一是將集合中表示角的式子化為同一種形式(這種方法要用到整數(shù)分類的有關(guān)知識(shí)，即分類討論)；二是用列舉法把集合具體化，對(duì)各集合中表示角的式子中的k賦值，并將角的終邊畫在坐標(biāo)系中，直至重復(fù)出現(xiàn)相同位置的終邊為止，根據(jù)各類集合中角的終邊的情況，判斷角的集合的關(guān)系【例4】 已知集合A|30k18090k180，kZ，集合B|45k36045k360，kZ，求AB解：因?yàn)?0k18090k180，kZ，所以當(dāng)k為偶數(shù)，即k2n(nZ)時(shí)，30n36090n360，nZ；當(dāng)k為奇數(shù)，即k2n1(nZ)時(shí)，210n360270n360，nZ，所以集合A中角的終邊在如圖陰影()區(qū)域內(nèi)，集合B中角的終邊在如圖陰影()區(qū)域內(nèi)所以集合AB中角的終邊在陰影()和()的公共部分內(nèi)所以AB|30k36045k360，kZ規(guī)律總結(jié) 區(qū)域角表示的步驟：借助圖形，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)找出角的范圍所對(duì)應(yīng)的區(qū)域；確定360360范圍內(nèi)的基本角，即區(qū)域起始及終止邊界所對(duì)應(yīng)的角；寫出終邊相同的角的集合解決終邊相同的角的集合問題，一般都是利用圖象數(shù)形結(jié)合解題探究五 易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：考慮不全面，忽視對(duì)稱軸可分為兩個(gè)半軸【例5】 已知，角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則與的關(guān)系為_錯(cuò)解：因?yàn)椋堑慕K邊關(guān)于y軸對(duì)稱，所以90k360(kZ)錯(cuò)因分析：上述解法僅是關(guān)于y軸非負(fù)半軸對(duì)稱的情況，而忽視了關(guān)于y軸非正半軸對(duì)稱的情況正