北師大版選修21 2.6.1 點到直線的距離、點到平面的距離 作業(yè).docx

6距離的計算第1課時點到直線的距離、點到平面的距離1.正方體abcd-a1b1c1d1的棱長為4,點e是cc1的中點,則點e到直線a1b的距離為()a.433b.26c.25d.32答案:d2.已知三棱錐o-abc,oaob,oboc,ocoa,且oa=1,ob=2,oc=2,則點a到直線bc的距離為()a.2b.3c.5d.3解析:如圖所示,以o為坐標原點,直線oa,ob,oc分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,由題設可知a(1,0,0),b(0,2,0),c(0,0,2),ab=(-1,2,0),bc=(0,-2,2),|ab|=1+4+0=5,|abbc|bc|=2.點a到直線bc的距離d=5-2=3.答案:b3.已知在長方體abcd-a1b1c1d1中,底面是邊長為2的正方形,高為4,則點a1到截面ab1d1的距離是()a.83b.38c.43d.34解析:如圖所示,以d為坐標原點,直線da,dc,dd1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則a1(2,0,4),a(2,0,0),b1(2,2,4),d1(0,0,4).設平面ab1d1的法向量為n=(x,y,z),則nad1=0,nab1=0,解得x=2z,且y=-2z.不妨設n=(2,-2,1),設點a1到平面ab1d1的距離為h,則h=aan|n|=43.答案:c4.設平面與平面的夾角是60,直線a是兩平面的交線,p是兩平面夾角內(nèi)的一點,點p到,的距離分別為1 cm,2 cm,則點p到棱a的距離是()a.2213 cmb.213 cmc.23 cmd.4213 cm答案:a5.已知直線l過定點a(2,3,1),且方向向量為n=(0,1,1),則點p(4,3,2)到l的距離為()a.322b.22c.102d.2解析:pa=(-2,0,-1),|pa|=5,pan|n|=-12,故點p到直線l的距離d=|pa|2-pan|n|2=5-12=322.答案:a6.正方體abcd-a1b1c1d1的棱長為a,點m在ac1上且am=12mc1,n為b1b的中點,則|mn|為.解析:以d為原點建立如圖所示的空間直角坐標系d-xyz,則a(a,0,0),c1(0,a,a),na,a,a2.設m(x,y,z),點m在ac1上且am=12mc1,(x-a,y,z)=12(-x,a-y,a-z),x=23a,y=a3,z=a3,得m2a3,a3,a3,|mn|=a-23a2+a-a32+a2-a32=216a.答案:216a7.設a(2,3,1),b(4,1,2),c(6,3,7),d(-5,-4,8),則點d到平面abc的距離為.解析:設平面abc的法向量n=(x,y,z).nab=0,nac=0,(x,y,z)(2,-2,1)=0,(x,y,z)(4,0,6)=0,即2x-2y+z=0,4x+6z=0,x=-32z,y=-z.令z=-2,則n=(3,2,-2).又ad=(-7,-7,7),點d到平面abc的距離為d=|adn|n|=|3(-7)+2(-7)-27|32+22+(-2)2=4917=491717.答案:4917178.在長方體abcd-a1b1c1d1中,aa1=ab=2,ad=1,點f,g分別是ab,cc1的中點,則點d1到直線gf的距離為.解析:如圖所示,以d為坐標原點,直線da,dc,dd1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則d1(0,0,2),f(1,1,0),g(0,2,1),gf=(1,-1,-1),gd1=(0,-2,1),gd1gf|gf|=2-13=13,|gd1|=5,點d1到直線gf的距離d=|gd1|2-gd1gf|gf|2=5-13=423.答案:4239.如圖所示,p為矩形abcd所在平面外一點,pa平面abcd.若已知ab=3,ad=4,pa=1,求點p到直線bd的距離.解(方法一)如圖所示,作ahbd,垂足為h,連接ph.pa平面abcd,pabd,bd平面pah,得phbd,ph即為點p到直線bd的距離.在rtabd中,得ah=125.在rtpah中,由勾股定理,得ph=pa2+ah2=135,點p到直線bd的距離為135.(方法二)分別以ab,ad,ap所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則p(0,0,1),b(3,0,0),d(0,4,0),pb=(3,0,-1),bd=(-3,4,0),pbbd|bd|=-95,點p到直線bd的距離d=|pb|2-pbbd|bd|2=10-952=135,點p到直線bd的距離為135.10.已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直,ab=2,af=1,m是線段ef的中點,n為ac與bd的交點,求點b到平面cmn的距離.解建立如圖所示的空間直角坐標系c-xyz,則由題意知c(0,0,0),m22,22,1,n22,22,0,b(0,2,0),則cm=22,22,1,cn=22,22,0.設n=(x,y,z)為平面cmn的一個法向量,則cmn=22x+22y+z=0,cnn=22x+22y=0.取x=1,得n=(1,-1,0).又cb=(0,2,0),故點b到平面cmn的距離d=|cbn|n|=|0-2+0|1+1+0=1.11.在長方體abcd-a1b1c1d1中,ab=4,ad=6,aa1=4,m是a1c1的中點,p在線段bc上,且|cp|=2,q是dd1的中點.求:(1)異面直線am與pq所成角的余弦值;(2)m到直線pq的距離;(3)m到平面ab1p的距離.解(1)如圖所示,建立空間直角坐標系b-xyz,則a(4,0,0),m(2,3,4),p(0,4,0),q(4,6,2),am=(-2,3,4),pq=(4,2,2),|am|=(-2)2+32+42=29,|pq|=42+22+22=24,ampq=(-2)4+32+42=6,cos=ampq|am|pq|=17458.故異面直線am與pq所成角的余弦值為17458.(2)qm=(-2,-3,2),qp=(-4,-2,-2),qm在qp上的投影長=|qmqp|qp|=(-2)(-4)+(-3)(-2)+2(-2)(-4)2+(-2)2+(-2)2=566,故m到pq的距離為|qm|2-5662=17-256=4626.(3)設n=(x,y,z)是平面ab1p的一個法向量,則nab1,na