高等數(shù)學(xué)上(修訂版)黃立宏(復(fù)旦出版社) 習(xí)題三答案詳解.doc

高等數(shù)學(xué)上（修訂版）黃立宏（復(fù)旦出版社）習(xí)題三答案詳解1 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1) ；解：所給函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo)，且可得函數(shù)的兩個(gè)駐點(diǎn)：,在內(nèi)，分別取+，+號(hào)，故知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少.(2) ；解: 函數(shù)有一個(gè)間斷點(diǎn)在定義域外，在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)，且，則函數(shù)有駐點(diǎn)，在部分區(qū)間內(nèi)，；在內(nèi)0，故知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加，而在內(nèi)單調(diào)減少.(3) ；解: 函數(shù)定義域?yàn)椋?故函數(shù)在上單調(diào)增加.(4) ；解: 函數(shù)定義域?yàn)?，則函數(shù)有駐點(diǎn): ,在內(nèi)， ，函數(shù)單調(diào)減少；在內(nèi)， ，函數(shù)單調(diào)增加.(5) ；解: 函數(shù)定義域?yàn)?，函?shù)的駐點(diǎn)為,在上，函數(shù)單調(diào)增加；在上，函數(shù)單調(diào)減少.(6) ；解: 函數(shù)定義域?yàn)?1) 當(dāng)時(shí)， ，則；.2) 當(dāng)時(shí)， ，則.綜上所述，函數(shù)單調(diào)增加區(qū)間為，函數(shù)單調(diào)減少區(qū)間為.(7) .解: 函數(shù)定義域?yàn)?函數(shù)駐點(diǎn)為,在內(nèi)， ,函數(shù)單調(diào)增加，在上， ,函數(shù)單調(diào)減少，在上， ,函數(shù)單調(diào)增加，在內(nèi)， ,函數(shù)單調(diào)增加.故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為: ，.2. 證明下列不等式:(1) 當(dāng)時(shí)， 證明: 令則,當(dāng)時(shí)， 為嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)，故,即(2) 當(dāng)時(shí)， 證明: 令,則,則為嚴(yán)格單調(diào)減少的函數(shù),故,即為嚴(yán)格單調(diào)減少的函數(shù),從而,即3. 試證:方程只有一個(gè)實(shí)根.證明:設(shè)，則為嚴(yán)格單調(diào)減少的函數(shù)，因此至多只有一個(gè)實(shí)根.而，即為的一個(gè)實(shí)根，故只有一個(gè)實(shí)根，也就是只有一個(gè)實(shí)根.4. 求下列函數(shù)的極值:(1) ；解: ,令，得駐點(diǎn).又因，故為極小值點(diǎn)，且極小值為.(2) ；解: ,令，得駐點(diǎn),故極大值為，極小值為.(3) ；解: ,令，得駐點(diǎn).,故極大值為，極小值為.(4) ；解: ，令，得駐點(diǎn).,故為極大值.(5) ；解: ，令，得駐點(diǎn).故為極大值，為極小值.(6) ；解: ,令，得駐點(diǎn)且在定義域內(nèi)有一不可導(dǎo)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， ;當(dāng)時(shí)， ,故為極大值點(diǎn)，且極大值為.因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，故不是極值點(diǎn).(7) ；解: ,令，得駐點(diǎn).當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)，,故極大值為.(8) ；解: ,令，得駐點(diǎn).,故極大值為，極小值為.(9) ；解: ,令，得駐點(diǎn).，故為極大值點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的極大值為;為極小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的極小值為.(10) ；解: ,令，得駐點(diǎn).當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ,故極大值為.(11) ；解: ,令，得駐點(diǎn).,故極小值為.(12) ；解: ，無駐點(diǎn). y的定義域?yàn)?，且y在x=1處不可導(dǎo)，當(dāng)x1時(shí)，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)的最大值為，最小值為;當(dāng)a0，試證：的最大值為.證明： 當(dāng)x0時(shí)，;當(dāng)0xa時(shí)，,又，且.而的最大值只可能在駐點(diǎn)，分界點(diǎn)，及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處取得故 .11. 在半徑為r的球中內(nèi)接一正圓柱體，使其體積為最大，求此圓柱體的高.解：設(shè)圓柱體的高為h, 則圓柱體底圓半徑為，令, 得即圓柱體的高為時(shí)，其體積為最大.12. 某鐵路隧道的截面擬建成矩形加半圓形的形狀(如12題圖所示)，設(shè)截面積為am2，問底寬x為多少時(shí)，才能使所用建造材料最省?解：由題設(shè)知得 截面的周長(zhǎng)令得唯一駐點(diǎn)，即為最小值點(diǎn).即當(dāng)時(shí)，建造材料最省.13. 甲、乙兩用戶共用一臺(tái)變壓器(如13題圖所示)，問變壓器設(shè)在輸電干線AB的何處時(shí)，所需電線最短？解：所需電線為在0x2時(shí)，即曲線在內(nèi)是凹的；當(dāng)x2時(shí)，即曲線在內(nèi)是凸的.因此(2，2e2)為唯一的拐點(diǎn).；解：故函數(shù)的圖形在內(nèi)是凹的，沒有拐點(diǎn).(4) y=ln (x2+1)；解：令得x=1或x=1.當(dāng)1x1或x1時(shí)，即曲線在內(nèi)是凹的;當(dāng)0x0)則曲線是凹的，xy，有即 ，即 .18. 求下列曲線的拐點(diǎn)：解：令，得t=1或t=1則x=1，y=4或x=1，y=4當(dāng)t1或t1時(shí)，曲線是凹的，當(dāng)0t1或1t0，不失一般性，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)或時(shí)，即或時(shí)，,故當(dāng)參數(shù)或時(shí)，都是y的拐點(diǎn)，且拐點(diǎn)為及.19. 試證明：曲線有三個(gè)拐點(diǎn)位于同一直線上.證明：，令，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí),因此，曲線有三個(gè)拐點(diǎn)(1，1)，.因?yàn)?=0因此三個(gè)拐點(diǎn)在一條直線上.20. 問a，b為何值時(shí)，點(diǎn)(1，3)為曲線y=ax3+bx2的拐點(diǎn)？解：y=3ax2+2bx, y=6ax+2b依題意有解得 .21. 試決定曲線y=ax3+bx2+cx+d中的a，b，c，d，使得x=2處曲線有水平切線，(1，10)為拐點(diǎn)，且點(diǎn)(2，44)在曲線上.解：令f(x)= ax3+bx2+cx+d聯(lián)立f(2)=44，f (2)=0，f(1)=10，f (1)=0可解得a=1，b=3，c=24，d=16.22. 試決定中的k的值，使曲線的拐點(diǎn)處的法線通過原點(diǎn).解：令，解得x=1，代入原曲線方程得y=4k，只要k0，可驗(yàn)證(1，4k)，(1，4k)是曲線的拐點(diǎn).，那么拐點(diǎn)處的法線斜率等于，法線方程為.由于(1，4k)，(1，4k)在此法線上，因此, 得(舍去)故 .23. 設(shè)y=f(x)在x=x0的某鄰域內(nèi)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果，而，試問x=x0是否為極值點(diǎn)?為什么？又是否為拐點(diǎn)？為什么？答：因，且，則x=x0不是極值點(diǎn).又在中，故在左側(cè)與異號(hào)，在右側(cè)與同號(hào)，故在x=x0左、右兩側(cè)凹凸性不同，即是拐點(diǎn).24. 作出下列函數(shù)的圖形：；解：函數(shù)的定義域?yàn)?，+),且為奇函數(shù),令，可得，令，得x=0，,列表討論如下：x0(0，1)1(1，)(，+)y+0y00+y0極大拐點(diǎn)當(dāng)x時(shí)，y0，故y=0是一條水平漸近線.函數(shù)有極大值，極小值，有3個(gè)拐點(diǎn)，分別為(0，0)，作圖如上所示.(2) f(x)=x2arctanx解：函數(shù)定義域?yàn)?，+)，且為奇函數(shù),令y=0，可得x=1，令y=0，可得x=0.列表討論如下：x0(0，1)1(1，)y0+y0+y0極小又且 故是斜漸近線，由對(duì)稱性知亦是漸近線.函數(shù)有極小值，極大值.(0，0)為拐點(diǎn).作圖如上所示.；解：函數(shù)的定義域?yàn)?令得x=0，x=2當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少；當(dāng)時(shí)，單調(diào)減少；當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加,故函數(shù)有極大值f(2)=4，有極小值f(0)=0又，故x=1為無窮型間斷點(diǎn)且為鉛直漸近線.又因， 且，故曲線另有一斜漸近線y=x1.綜上所述，曲線圖形為：(4).解：函數(shù)定義域?yàn)?，+) .令，得x=1.令，得.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少；當(dāng)時(shí)，曲線是凹的；當(dāng)時(shí)，曲線是凸的,故函數(shù)有極大值f(1)=1，兩個(gè)拐點(diǎn)：，又，故曲線有水平漸近線y=0.圖形如下： 25. 邏輯斯諦(Logistic)曲線族建立了動(dòng)物的生長(zhǎng)模型.(1) 畫出B=1時(shí)的曲線的圖像，參數(shù)A的意義是什么(設(shè)x表示時(shí)間，y表示某種動(dòng)物數(shù)量)？解：，g(x)在(，+)內(nèi)單調(diào)增加，當(dāng)x0時(shí)，在(0，+)內(nèi)是凸的.當(dāng)x0時(shí)，在(，0)內(nèi)是凹的.當(dāng)x=0時(shí)，.且.故曲線有兩條漸近線y=0，y=A.且A為該種動(dòng)物數(shù)量(在特定環(huán)境中)最大值，即承載容量.如圖：(2) 計(jì)算g(x)+g(x)，并說明該和的意義；解：.(3) 證明：曲線是對(duì)g(x)的圖像所作的平移.證明：取，得即曲線是對(duì)g(x)的圖像沿水平方向作了個(gè)單位的平移.26. 球的半徑以速率v改變，球的體積與表面積以怎樣的速率改變？解： 27. 一點(diǎn)沿對(duì)數(shù)螺線運(yùn)動(dòng)，它的極徑以角速度旋轉(zhuǎn)，試求極徑變化率.解： 28. 一點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)，它的極徑以角速度旋轉(zhuǎn)，求這動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的變化率.解： 29. 橢圓上哪些點(diǎn)的縱坐標(biāo)減少的速率與它的橫坐標(biāo)增加的速率相同？解：方程兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo)，得由. 得 代入橢圓方程得：，即所求點(diǎn)為.30. 一個(gè)水槽長(zhǎng)12m，橫截面是等邊三角形，其邊長(zhǎng)為2m，水以3m3min1的速度注入水槽內(nèi)，當(dāng)水深0.5m時(shí)，水面高度上升多快？解：當(dāng)水深為h時(shí)，橫截面為體積為 當(dāng)h=0.5m時(shí)，.故有 ，得 (m3min1).31. 某人走過一橋的速度為4kmh1，同時(shí)一船在此人底下以8 kmh 1的速度劃過，此橋比船高200m，求3min后，人與船相離的速度.解：設(shè)t小時(shí)后，人與船相距s公里，則且 (kmh 1)32. 一動(dòng)點(diǎn)沿拋物線y=x2運(yùn)動(dòng)，它沿x軸方向的分速度為3 cms1，求動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)(2，4)時(shí)，沿y軸的分速度.解： 當(dāng)x=2時(shí)， (cms1).33. 設(shè)一路燈高4 m，一人高m，若人以56 mmin1的等速沿直線離開燈柱，證明：人影的長(zhǎng)度以常速增長(zhǎng).證明：如圖，設(shè)在t時(shí)刻，人影的長(zhǎng)度為y m.則 化簡(jiǎn)得 (mmin1).即人影的長(zhǎng)度的增長(zhǎng)率為常值.34. 計(jì)算拋物線y=4xx2在它的頂點(diǎn)處的曲率.解：y=(x2)2+4，故拋物線頂點(diǎn)為(2，4)當(dāng)x=2時(shí)， ，故 35. 計(jì)算曲線y=cosh x上點(diǎn)(0，1)處的曲率.解：當(dāng)x=0時(shí)，故 36. 計(jì)算正弦曲線y=sin x上點(diǎn)處的曲率.解：.當(dāng)時(shí)，故 37. 求曲線y=ln(sec x)在點(diǎn)(x，y)處的曲率及曲率半徑.解：故 .38. 求曲線x=acos3t，y= asin3t在t=t0處的曲率.解： ，故 且當(dāng)t=t0時(shí)， .39. 曲線弧y=sin x (0x)上哪一點(diǎn)處的曲率半徑最?。壳蟪鲈擖c(diǎn)的曲率半徑.解：.顯然R最小就是k最大， 令，得為唯一駐點(diǎn).在內(nèi)，在內(nèi)，.所以為k的極大值點(diǎn)，從而也是最大值點(diǎn)，此時(shí)最小曲率半徑為.40. 求曲線y=lnx在與x軸交點(diǎn)處的曲率圓方程.解：由解得交點(diǎn)為(1，0).故曲率中心 曲率半徑為.故曲率圓方程為：.41. 一飛機(jī)沿拋物線路徑( y軸鉛直向上，單位為m )做俯沖飛行，在坐標(biāo)原點(diǎn)O處飛機(jī)速度v=200 ms1，飛行員體重G=70kg，求飛機(jī)俯沖至最低點(diǎn)即原點(diǎn)O處時(shí)，座椅對(duì)飛行員的反力.解：，飛行員在飛機(jī)俯沖時(shí)受到的向心力 (牛頓)故座椅對(duì)飛行員的反力 (牛頓).42. 設(shè)總收入和總成本分別由以下兩式給出：其中q為產(chǎn)量，0q1000，求：(1)邊際成本；(2)獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量；(3)怎樣的生產(chǎn)量能使盈虧平衡？解：(1) 邊際成本為：(2) 利潤(rùn)函數(shù)為令,得即為獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量.(3) 盈虧平衡時(shí)： R(q)=C(q)即 3.9q0.003q2300=0q21300q+100000=0解得q=1218(舍去)，q=82.43. 設(shè)生產(chǎn)q件產(chǎn)品的總成本C(q)由下式給出：C(q)=0.01q30.6q2+13q.(1)設(shè)每件產(chǎn)品的價(jià)格為7元，企業(yè)的最大利潤(rùn)是多少？(2)當(dāng)固定生產(chǎn)水平為34件時(shí)，若每件價(jià)格每提高1元時(shí)少賣出2件，問是否應(yīng)該提高價(jià)格？如果是，價(jià)格應(yīng)該提高多少？解：(1) 利潤(rùn)函數(shù)為令，得 即 得(舍去) 此時(shí)， (元)(2)設(shè)價(jià)格提高x元，此時(shí)利潤(rùn)函數(shù)為令, 得故應(yīng)該提高價(jià)格，且應(yīng)提高5元.44. 求下列初等函數(shù)的邊際函數(shù)、彈性和增長(zhǎng)率：(1) y=ax+b；(其中a，bR，a0)解：y=a即為邊際函數(shù).彈性為： ,增長(zhǎng)率為： .(2) y=aebx；解：邊際函數(shù)為：y=abebx彈性為： ,增長(zhǎng)率為： .(3) y=xa解：