北師大版選修44 1.3柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系 學(xué)案.doc

3柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系1.柱坐標(biāo)系(1)定義：在平面極坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，通過(guò)極點(diǎn)o，再增加一條與極坐標(biāo)系所在平面垂直的z軸，這樣就建立了柱坐標(biāo)系.設(shè)m(x，y，z)為空間一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)m在xoy平面上的投影點(diǎn)p的極坐標(biāo)為(r，)，則這樣的三個(gè)數(shù)r，z構(gòu)成的有序數(shù)組(r，z)就叫作點(diǎn)m的柱坐標(biāo)，這里規(guī)定r，z的變化范圍為0r，02，z.特別地，r常數(shù)，表示的是以z軸為軸的圓柱面；常數(shù)，表示的是過(guò)z軸的半平面；z常數(shù)，表示的是與xoy平面平行的平面.(2)空間點(diǎn)m的直角坐標(biāo)(x，y，z)與柱坐標(biāo)(，z)之間的變換公式為2.球坐標(biāo)系(1)定義：設(shè)m(x，y，z)為空間一點(diǎn)，點(diǎn)m可用這樣三個(gè)有次序的數(shù)r，來(lái)確定，其中r為原點(diǎn)o到點(diǎn)m間的距離，為有向線段與z軸正方向所夾的角，為從z軸正半軸看，x軸正半軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到有向線段的角，這里p為點(diǎn)m在xoy平面上的投影.這樣的三個(gè)數(shù)r，構(gòu)成的有序數(shù)組(r，)叫作點(diǎn)m的球坐標(biāo)，這里r，的變化范圍為0r，0，02.特別地，r常數(shù)，表示的是以原點(diǎn)為球心的球面；常數(shù)，表示的是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，z軸為軸的圓錐面；常數(shù)，表示的是過(guò)z軸的半平面.(2)空間點(diǎn)p的直角坐標(biāo)(x，y，z)與球坐標(biāo)(r，)之間的變換關(guān)系為【思維導(dǎo)圖】【知能要點(diǎn)】1.柱坐標(biāo)系.2.球坐標(biāo)系.3.空間點(diǎn)的坐標(biāo)的確定.題型一柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系又稱(chēng)半極坐標(biāo)系，它是由平面極坐標(biāo)系及空間直角坐標(biāo)系中的一部分建立起來(lái)的.空間任一點(diǎn)p的位置可以用有序數(shù)組(，z)表示，(，)是點(diǎn)p在oxy平面上的射影q的極坐標(biāo)，z是p在空間直角坐標(biāo)系中的豎坐標(biāo).【例1】 柱坐標(biāo)滿(mǎn)足方程2的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是什么？解在平面極坐標(biāo)系中，2表示以極點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓.因此，在柱坐標(biāo)系中，設(shè)oz軸所在的直線為l，則方程2表示以l為軸，且垂直于軸的截面是半徑為2的圓柱面.【反思感悟】 柱坐標(biāo)滿(mǎn)足2的點(diǎn)可以和平面直角坐標(biāo)系中滿(mǎn)足x1的點(diǎn)構(gòu)成一條直線，空間直角坐標(biāo)系中滿(mǎn)足y2的點(diǎn)構(gòu)成的圖形是一個(gè)平面結(jié)合考慮.1.將下列各點(diǎn)的柱坐標(biāo)化為直角坐標(biāo).p，q解直接代入互化公式，可得p的直角坐標(biāo)為(，1，1)，q點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2，2，3).題型二球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系又稱(chēng)空間極坐標(biāo)系，用空間任意一點(diǎn)p到o的距離r以及兩個(gè)角，來(lái)刻畫(huà)點(diǎn)p的位置.【例2】 經(jīng)過(guò)若干個(gè)固定和流動(dòng)的地面遙感觀測(cè)站監(jiān)測(cè)，并通過(guò)數(shù)據(jù)匯總，計(jì)算出一個(gè)航天器在某一時(shí)刻離地面2 384千米的位置，地球半徑為6 371千米，此時(shí)經(jīng)度為80，緯度為75.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，確定出此時(shí)航天器點(diǎn)p的坐標(biāo).解在赤道平面上，我們選取地球球心為極點(diǎn)，以o為端點(diǎn)且與零子午線相交的射線ox為極軸，建立平面極坐標(biāo)系，在此基礎(chǔ)上，取以o為端點(diǎn)且經(jīng)過(guò)北極的射線oz(垂直于赤道平面)為另一條極軸，如圖所示建立一個(gè)球坐標(biāo)系.由已知航天器位于經(jīng)度為80，可知80，由航天器位于緯度75，可知，907515，由航天器離地面2 384千米，地球半徑為6 371千米，可知r2 3846 3718 755千米.所以點(diǎn)p的球坐標(biāo)為(8 755，15，80).【反思感悟】 寫(xiě)空間任一點(diǎn)的球半徑，就是求該點(diǎn)到點(diǎn)o的距離和方位角、高低角.兩個(gè)角可以和地球的經(jīng)緯度相結(jié)合，要搞清它們的聯(lián)系和區(qū)別.2.在赤道平面上，我們選取地球球心o為極點(diǎn)，以o為端點(diǎn)且與零子午線相交的射線ox為極軸，建立坐標(biāo)系.有a，b兩個(gè)城市，它們的球坐標(biāo)分別為a，b，飛機(jī)應(yīng)該走怎樣的航線最快，所走的路程有多遠(yuǎn)？解由題意可知面aoo1，面boo1都垂直于兩圓平面，ao1b是兩平面aoo1和boo1的夾角，又a，b，ao1b，aoo1boo1，ao1obo1o，小圓o1的半徑rr，abr，aob，則經(jīng)過(guò)a、b兩地的球面距離為r.故飛機(jī)經(jīng)過(guò)a、b兩地的大圓，航線最短，其路程為r.題型三空間點(diǎn)的坐標(biāo)1.空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)是由橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)三度來(lái)確定的，即(x，y，z).2.空間點(diǎn)的柱坐標(biāo)是由平面極坐標(biāo)系及空間直角坐標(biāo)系中的豎坐標(biāo)組成的，即(，z).3.(1)空間點(diǎn)的球坐標(biāo)是點(diǎn)和原點(diǎn)的連線與x軸正方向所成的角，與z軸的正方向所成的角，以及點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r組成的，即(r，).(2)注意球坐標(biāo)的順序?yàn)椋旱皆c(diǎn)的距離r；與z軸正方向所成的角；與x軸正方向所成的角.【例3】 已知長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1的邊長(zhǎng)為ab14，ad6，aa110，以這個(gè)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)a為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線ab、ad、aa1分別為ox、oy、oz軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求長(zhǎng)方體頂點(diǎn)c1的空間直角坐標(biāo)，球坐標(biāo)，柱坐標(biāo).分析如圖所示，此題是考查空間直角坐標(biāo)，球坐標(biāo)，柱坐標(biāo)的概念，我們要能借此區(qū)分三個(gè)坐標(biāo)，找到它們的相同和不同來(lái).c1點(diǎn)的(x，y，z)，分別對(duì)應(yīng)著cd、bc、cc1，c1點(diǎn)的(，z)分別對(duì)應(yīng)著ca、dca、cc1，c1點(diǎn)的(r，)分別對(duì)應(yīng)著ac1、a1ac1、bac.解c1點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)為(14，6，10)，c1點(diǎn)的柱坐標(biāo)為(2，arctan ，10)，c1點(diǎn)的球坐標(biāo)為.【反思感悟】 注意空間任一點(diǎn)的直角坐標(biāo)、球坐標(biāo)和柱坐標(biāo)的聯(lián)系和區(qū)別，它們都能刻畫(huà)點(diǎn)的位置，可以進(jìn)行互化.3.結(jié)晶體的基本單位稱(chēng)為晶胞，圖(1)是食鹽晶胞的示意圖(可看成是八個(gè)棱長(zhǎng)為的小正方體堆積成的正方體)，圖形中的點(diǎn)代表鈉原子，其他點(diǎn)代表氯原子，如圖(2)所示，建立空間直角坐標(biāo)系oxyz后，試寫(xiě)出全部鈉原子所在位置的球坐標(biāo)，柱坐標(biāo).解把圖中的鈉原子分成下、中、上三層來(lái)寫(xiě)它們所在位置的坐標(biāo).下層的原子全部在xoy平面上，它們所在位置的豎坐標(biāo)全是0，所以這五個(gè)鈉原子所在位置的球坐標(biāo)分別為(0，0，0)，它們的柱坐標(biāo)分別為(0，0，0)，(1，0，0)，；上層的鈉原子所在的平面平行于xoy平面，與z軸交點(diǎn)的豎坐標(biāo)為1，所以，這五個(gè)鈉原子所在位置的球坐標(biāo)分別為(1，0，0)，它們的柱坐標(biāo)分別為(0，0，1)，(1，0，1)，.中層的原子所在的平面平行于xoy平面，與z軸交點(diǎn)的豎坐標(biāo)為，所以，這四個(gè)鈉原子所在位置的球坐標(biāo)分別為，它們的柱坐標(biāo)分別為，1.一個(gè)圓形體育館，自正東方向起，按逆時(shí)針?lè)较虻确譃槭鶄€(gè)扇形區(qū)域，順次記為一區(qū)，二區(qū)，十六區(qū)，我們?cè)O(shè)圓形體育場(chǎng)第一排與體育中心o的距離為500 m，每相鄰兩排的間距為1 m，每層看臺(tái)的高度為0.7 m，現(xiàn)在需要確定第九區(qū)第四排正中的位置a，請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出點(diǎn)a的坐標(biāo).解以圓形體育場(chǎng)中心o為極點(diǎn)，選取以o為端點(diǎn)且過(guò)正東入口的射線ox為極軸，在地平面上建立極坐標(biāo)系.則點(diǎn)a與體育場(chǎng)中軸線oz的距離為503 m，極軸ox按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，就是oa在地平面上的射影，a距地面的高度為2.8 m，因此我們可以用柱坐標(biāo)來(lái)表示點(diǎn)a的準(zhǔn)確位置.所以點(diǎn)a的柱坐標(biāo)為.2.一只螞蟻在一個(gè)母線與軸線夾角為的圓錐面上從頂點(diǎn)出發(fā)盤(pán)旋著向上爬行，已知它上升的速度為v0，盤(pán)旋的角速度為0，求t時(shí)刻螞蟻所在的位置的球坐標(biāo).解取圓錐的頂點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立球坐標(biāo)系，設(shè)t時(shí)刻螞蟻在點(diǎn)m(r，)處，由題意得t，zvt，由于cos cos ，于是r2z2vt，所以t時(shí)刻螞蟻在球坐標(biāo)系中的位置為m，t0，).3.攤開(kāi)世界地圖，問(wèn)初次降臨地球的外星人：臺(tái)灣在哪里？阿根廷的formosa(福爾摩沙)省又位于何處(如圖所示)？外星人必然一頭霧水，如果你再給他一組數(shù)據(jù)：經(jīng)度緯度臺(tái)灣東經(jīng)121北緯25formosa西經(jīng)59南緯25我們相信，外星人可以找到這兩個(gè)可愛(ài)的地方臺(tái)灣與福爾摩沙.想一想，它們的位置有什么關(guān)聯(lián)？解兩地經(jīng)度差180，緯度相反.故它們位于地球同一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)上.1.空間點(diǎn)的坐標(biāo)的確定(1)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)是由橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)三度來(lái)確定的，即(x，y，z).(2)空間點(diǎn)的柱坐標(biāo)是由平面極坐標(biāo)系及空間直角坐標(biāo)系中的豎坐標(biāo)組成的，即(，z).(3)空間點(diǎn)的球坐標(biāo)是點(diǎn)在oxy平面上的射影和原點(diǎn)的連線與x軸正方向所成的角，點(diǎn)和原點(diǎn)的連線與z軸的正方向所成的角，以及點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r組成的，即(r，).注意球坐標(biāo)的順序?yàn)椋旱皆c(diǎn)的距離r；與z軸正方向所成的角；與x軸正方向所成的角.2.球坐標(biāo)的應(yīng)用在球坐標(biāo)系中，它的三度實(shí)際上也是我們所熟悉的，它與前面所學(xué)的球的一些基本知識(shí)是有著密切聯(lián)系的.我們得熟悉這部分內(nèi)容.(1)經(jīng)線與經(jīng)度：地球球面上從北極到南極的半個(gè)大圓叫做經(jīng)線，規(guī)定以經(jīng)過(guò)英國(guó)格林尼治天文臺(tái)原址的經(jīng)線為0經(jīng)線.一個(gè)地方的經(jīng)度是指經(jīng)過(guò)當(dāng)?shù)亟?jīng)線的所在半平面和0經(jīng)線所在半平面之間的夾角的度數(shù)，以0經(jīng)線為基準(zhǔn)，向東度量的為東經(jīng)，向西度量的為西經(jīng).如東經(jīng)30，西經(jīng)60等.(2)緯線與緯度：與地軸(通過(guò)北極和南極的直線)垂直的平面截地球球面所得的圓叫做緯線(緯線圈)，其中的大圓叫做赤道.一個(gè)地方的緯度是指當(dāng)?shù)嘏c球心的連線和地球赤道平面之間所成的角的度數(shù)，赤道為0緯線；以赤道為基準(zhǔn)，向北度量為北緯，向南度量為南緯.如北緯25，南緯23.5.與球坐標(biāo)比較，點(diǎn)p(r，)中的r是到球心的距離，與緯度是互余的；與經(jīng)度是相關(guān)的，若建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，就是經(jīng)度.【規(guī)律方法總結(jié)】1.根據(jù)圖形的特征，可以選擇不同的坐標(biāo)系來(lái)確定點(diǎn)的位置.2.點(diǎn)的直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)可以相互轉(zhuǎn)化.3.利用柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系解決空間點(diǎn)的位置時(shí)，對(duì)于含角度的比較方便.一、選擇題1.已知點(diǎn)p的柱坐標(biāo)為，點(diǎn)b的球坐標(biāo)為，則這兩個(gè)點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)為()a.p點(diǎn)(5，1，1)，b點(diǎn)b.p點(diǎn)(1，1，5)，b點(diǎn)c.p點(diǎn)，b點(diǎn)(1，1，5)d.p點(diǎn)(1，1，5)，b點(diǎn)解析設(shè)p點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，xcos 1，ysin 1，z5.設(shè)b點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，xsin cos ，ysin sin ，zcos .所以，點(diǎn)p的直角坐標(biāo)為(1，1，5)，點(diǎn)b的直角坐標(biāo)為.答案b2.設(shè)點(diǎn)m的直角坐標(biāo)為(1，3)，則它的柱坐標(biāo)是()a. b. c. d.解析 2，z3.m的柱坐標(biāo)為.答案c3.設(shè)點(diǎn)m的直角坐標(biāo)為(1，1，)，則它的球坐標(biāo)為()a. b.c. d.解析由變換公式r2，cos ，.tan 1，.m的球坐標(biāo)為.答案b4.點(diǎn)m的球坐標(biāo)為則它的直角坐標(biāo)為()a.(6，2，4) b.(6，2，4)c.(6，2，4) d.(6，2，4)解析由x8sin cos 6，y8sin sin 2，z8cos 4，得點(diǎn)m的直角坐標(biāo)為(6，2，4).答案a5.點(diǎn)p的柱坐標(biāo)為，則點(diǎn)p到原點(diǎn)的距離為()a. b.2c.4 d.8解析x8cos4，y8sin4，柱坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為(4，4，2)，|op|2.答案b二、填空題6.在球坐標(biāo)系中a和b的距離為_(kāi).解析把a(bǔ)、b兩點(diǎn)的球坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為a，b.|ab|2.答案27.在空間的柱坐標(biāo)系中，方程2表示_.解析在極坐標(biāo)系中，2表示圓心在極點(diǎn)半徑為2的圓.在柱坐標(biāo)系中方程2表示以z軸為中軸線的，半徑為2的圓柱面.答案以z軸為中軸線的，半徑為2的圓柱面8.已知點(diǎn)m的球坐標(biāo)為，點(diǎn)n的球坐標(biāo)為，則m、n兩點(diǎn)間的距離為_(kāi).解析x4sincos42，y4sinsin42，z4cos42，點(diǎn)m的直角坐標(biāo)為(2，2，2).同理點(diǎn)n的直角坐標(biāo)為(2，2，2)，|mn|4.答案49.在球坐標(biāo)系中，方程r1表示_，方程表示空間的_.解析r1表示球心在原點(diǎn)半徑為1的球面，表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，母線與z軸夾角為的圓錐面.答案球心在原點(diǎn)，半徑為1的球面頂點(diǎn)在原點(diǎn)，軸截面夾角為的圓錐面三、解答題10.如圖所示，在長(zhǎng)方體oabcdabc中，|oa|3，|oc|5，|od|3，ac與bd相交于點(diǎn)p，分別寫(xiě)出點(diǎn)c、b、p的柱坐標(biāo).解c點(diǎn)的、分別為|oc|及coa.b點(diǎn)的為|ob|；boa，而tanboa，所以boaarctan .p點(diǎn)的、分別為oe、aoe，|oe|ob|，aoeaob.各點(diǎn)的柱坐標(biāo)為c，b，p.11.用兩平行面去截球，如圖，在兩個(gè)截面圓上有兩個(gè)點(diǎn)，它們的球坐標(biāo)分別為a、b，求出這兩個(gè)截面間的距離.解在oo1a中，由球坐標(biāo)知aoo1，|oa|8，|oo1|8cos aoo184，同理在oo2b中，|ob|8，o2ob，oo24，o1o28