數(shù)學(xué)建模期末作業(yè).doc

數(shù)學(xué)建模期末作業(yè) 一.問題的提出 某公共汽車站每隔30分鐘到達(dá)一輛汽車，但可能有0,3分鐘誤差，此誤差大小與前一輛汽車的運(yùn)行無關(guān)。汽車最多容納50名旅客，到達(dá)該汽車站時(shí)車內(nèi)旅客人數(shù)服從20,50的均勻分布，到站下車的旅客人數(shù)服從3,7的均勻分布，每名旅客下車的時(shí)間服從1,7秒的均勻分布。旅客按照每30分鐘到達(dá)12個(gè)人的泊松分布到達(dá)汽車站，單隊(duì)排列等車，先到先上，如果某位旅客未能上車，他不再等候。旅客上車時(shí)間服從4,12秒的均勻分布。上下車的規(guī)則是：先下后上，逐個(gè)上車，逐個(gè)下車。 假設(shè)每天共發(fā)車25輛，現(xiàn)在要求模擬30天汽車的運(yùn)行情況，了解平均一天中在站內(nèi)等候汽車的總?cè)藬?shù)、能上車及不能上車的人數(shù)、旅客排隊(duì)時(shí)間分布情況、不能上車人數(shù)的分布情況。2 問題的分析本問題涉及到兩種數(shù)據(jù)：一是汽車運(yùn)行狀況，包括汽車到站、旅客下車、上車及汽車離站；二是旅客活動(dòng)情況，包括到站、排隊(duì)、上車及未能上車而離站。這里我們用下次事件法推進(jìn)模擬時(shí)間，具體做法是:首先確定汽車到站時(shí)間，然后再按旅客到站的分布情況計(jì)算出上一輛汽車至現(xiàn)在所到的旅客數(shù)，根據(jù)上下車旅客數(shù)確定該汽車離站的時(shí)間。由于上下車時(shí)間以秒計(jì)算，因此，模擬過程中的時(shí)間均以秒為單位。另外，旅客到站的分布可以轉(zhuǎn)換成為間隔時(shí)間以150秒的指數(shù)分布。這里假定汽車到站后，在旅客上下車期間未有旅客到達(dá)，于是，要在該汽車離站后才開始統(tǒng)計(jì)等待下一輛汽車的旅客數(shù)。三問題的假設(shè)： 1） 候車隊(duì)伍有良好的秩序；即要保證乘客先來后到的原則；2） 忽略其他情況對(duì)公交車的影響，即不計(jì)公交車啟動(dòng)，加速，制動(dòng)時(shí)間的情況；3） 公交公司只對(duì)公交車進(jìn)行調(diào)度，但是在允許的范圍內(nèi)不限制乘客上車，即只要該車乘客數(shù)不大于50則允許乘客上車，直到達(dá)到50人為止。4）排隊(duì)方式為單一隊(duì)列的等待制，先到先服務(wù)。5）每天的乘客數(shù)量都一樣，不考慮高峰期等因素。四符號(hào)說明與概念引進(jìn)下面是建立模擬模型時(shí)所用的符號(hào)的說明； t-當(dāng)前模擬時(shí)間； tl-上一輛汽車離開車站的時(shí)間； Nq-當(dāng)天到達(dá)汽車站候車的乘客總?cè)藬?shù)； Nd-當(dāng)天在汽車站下車額乘客的總?cè)藬?shù)； Nu-當(dāng)天候車乘客中能上車的總?cè)藬?shù)； No-當(dāng)天候車乘客中不能上車的總?cè)藬?shù)； Qmax-當(dāng)天候車乘客隊(duì)列的最大長(zhǎng)度； nq-到站汽車到達(dá)時(shí)等候的乘客數(shù)； nb-到達(dá)汽車車內(nèi)的乘客數(shù)； nu-到站汽車下車的乘客數(shù)； nu-到站汽車能載走的候車乘客數(shù)； tq-到站汽車到達(dá)時(shí)，候車乘客的排隊(duì)時(shí)間； Qt-當(dāng)天候車乘客總的排隊(duì)時(shí)間； Ni-當(dāng)天候車時(shí)間在i*300 -i*300+300秒的乘客數(shù)； Ci-當(dāng)天有i個(gè)乘客不能上車的次數(shù)。5 模型的建立與求解初始化數(shù)據(jù)，即b=0，t=0 tl=Nq=Nd=Nu=No=qmax=Qt=0Ni=0(i=06),ci=0(i=020)程序框圖： b=b+1,產(chǎn)生第b輛汽車到站時(shí)間t s=tl,nq=0 s=s+ 旅客到站間隔時(shí)間Qmaxnqst 是 否 確定排隊(duì)時(shí)間，即tq=tq+(t-s) qmax=nq 否 是統(tǒng)計(jì)排隊(duì)人數(shù)及等待時(shí)間，即 nq=nq+1,Qt=Qt+tq確定車內(nèi)人數(shù)nb，下車人數(shù)nd計(jì)算下車后的空位數(shù)k 統(tǒng)計(jì)等候了指定時(shí)間的旅客數(shù)即取i為（t-s）/300的整數(shù)部分并設(shè)置Ni=Ni+1Nq=Nq+nq,，Nd=Nd+nd，Nu=Nu+nu，N0=N0+n0統(tǒng)計(jì)有n0個(gè)旅客未上車的次數(shù)，即Cn0=Cn0+1設(shè)置汽車離站時(shí)間tl=t+上下車時(shí)間計(jì)算未上車的人數(shù) no=nqk計(jì)算未上車的人數(shù) no=0計(jì)算上車人數(shù) nu=k計(jì)算上車人數(shù) nu=nqnqk 是 否 已到站汽車數(shù)b=25否 打印輸出是 經(jīng)過模擬運(yùn)行，得到下面描述的某一次運(yùn)行結(jié)果：（1） 系統(tǒng)總的特性： 到達(dá)旅客總數(shù)：307人； 下車旅客總數(shù)：126人； 能上車旅客數(shù)：271人； 未能上車旅客數(shù)：36人； 候車隊(duì)列最大長(zhǎng)度：17人； 旅客平均排隊(duì)時(shí)間：882.72秒.（2） 旅客排隊(duì)時(shí)間分布情況，見下表. 排隊(duì)時(shí)間（秒） 觀察次數(shù) 概 率 0300 54 0.1759 300600 52 0.1694 600900 48 0.1564 9001200 58 0.1889 12001500 52 0.1694 15001800 41 0.1336 18002100 2 0.0065（3） 旅客離去人數(shù)的分布情況，見下表： 離去的人數(shù) 觀察次數(shù) 概 率 0 17 0.680 2 1 0.040 3 3 0.120 4 1 0.040 5 1 0.040 7 1 0.040 9 1 0.0406、 模型的評(píng)價(jià) 為了準(zhǔn)確的評(píng)價(jià)該系統(tǒng)，應(yīng)該將此模型運(yùn)行若干次。為此，我們模擬運(yùn)行10次之后算出：在每隔30分鐘開出一輛公交汽車的情況下，約有9.34%的旅客不能上車，旅客平均候車時(shí)間也較長(zhǎng)。如果我們安排每隔25分鐘發(fā)一輛汽車，一天共發(fā)出30輛，相應(yīng)地修改程序并重新模擬運(yùn)行后可以得出約有5.28%的旅客不能上車，以這些多種方案模擬得出的數(shù)據(jù)位依據(jù)那個(gè)為管理部門提供合理化的建議。從建模的設(shè)想和實(shí)施過程，我們可以看到有如下的優(yōu)點(diǎn)和不足：優(yōu)點(diǎn)：（1） 由模擬所得到理論結(jié)果與計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果高度吻合；（2） 模型易推廣到一般的情形；（3） 充分利用計(jì)算機(jī)資源； 缺點(diǎn)：（1）盡管本模型求的的子優(yōu)解很靠近全局最優(yōu)解，但不能做出嚴(yán)密的證明；（2）本模型不能代表所有的情形，未考慮特殊情形的發(fā)生，不具備一般性。參考文獻(xiàn)：大學(xué)生數(shù)學(xué)建模案例精選 羅萬成 西南交通大學(xué)出版社實(shí)用數(shù)學(xué)建模教程 劉建洲 武漢理工大學(xué)出版社數(shù)