人教B版選修41 1.1.1　相似三角形判定定理 學(xué)案.doc

_1.1相似三角形11.1相似三角形判定定理讀教材填要點(diǎn)1相似三角形的定義及相關(guān)概念如果在兩個(gè)三角形中，對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例，則這兩個(gè)三角形叫做相似三角形設(shè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值為k，則k叫做相似比(或相似系數(shù))2相似三角形判定定理(1)判定定理1：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似(2)判定定理2：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似(3)判定定理3：兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等的兩個(gè)三角形相似小問題大思維1兩個(gè)三角形“相似”與兩個(gè)三角形“全等”之間有什么關(guān)系？提示：兩個(gè)三角形全等是兩個(gè)三角形相似的一種特殊情況相似三角形的本質(zhì)特征是“具有相同形狀”，它們的大小不一定相等，當(dāng)兩個(gè)相似三角形的相似比為1時(shí)，兩個(gè)三角形全等2如果兩個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且有一角相等，那么這兩個(gè)三角形相似嗎？提示：不一定只有當(dāng)這個(gè)角是對(duì)應(yīng)成比例的兩邊的夾角時(shí)，這兩個(gè)三角形才相似相似三角形的判定例1如圖，若o是abc內(nèi)任一點(diǎn)，d，e，f分別是oa，ob，oc的靠近o的三等分點(diǎn)求證：defabc.思路點(diǎn)撥本題考查相似三角形判定定理2的應(yīng)用解答此題需要根據(jù)已知條件，尋找三角形相似的條件利用三等分點(diǎn)找出對(duì)應(yīng)邊成比例即可精解詳析d，e，f分別是oa，ob，oc靠近點(diǎn)o的三等分點(diǎn)，deab，efbc，fdca.由三角形相似的判定定理得defabc.在相似三角形的判定中，應(yīng)用最多的是判定定理1，因?yàn)樗臈l件最容易尋求，實(shí)際證明當(dāng)中，要特別注意兩個(gè)三角形的公共角判定定理2、3則常見于連續(xù)兩次證明相似時(shí)，在第二次使用的情況較多1已知abc中，bfac于點(diǎn)f，ceab于點(diǎn)e，bf和ce相交于點(diǎn)p，求證：(1)bpecpf；(2)efpbcp.證明：(1)bfac于點(diǎn)f，ceab于點(diǎn)e，bfcceb.又cpfbpe，cpfbpe.(2)由(1)得cpfbpe，.又epfbpc，efpbcp.例2如圖所示，abccdb90，aca，bcb，求當(dāng)bd與a，b之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，abc與cdb相似？思路點(diǎn)撥由于abc與cdb相似且都是直角三角形，因此，只要對(duì)應(yīng)邊成比例即可而斜邊肯定是三角形的最大邊，所以ac一定與bc對(duì)應(yīng)，這里要注意分類討論的運(yùn)用精解詳析abccdb90，斜邊ac與bc為對(duì)應(yīng)邊，以下分兩種情況討論當(dāng)時(shí)，abccdb，即.bd時(shí)，abccdb.當(dāng)時(shí)，abcbdc，即.當(dāng)bd時(shí)，abcbdc.故當(dāng)bd或bd時(shí)，abc與cdb相似(1)在證明直角三角形相似時(shí)，要特別注意直角這一隱含條件的應(yīng)用(2)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似2如圖，bd、ce是abc的高求證：adeabc.證明：bd、ce是abc的高，aecadb90.又aa，aecadb.又aa，adeabc.相似三角形的應(yīng)用例3如圖，已知在abc中，abac，ad是bc邊上的中線，cfba，bf交ad于點(diǎn)p，交ac于點(diǎn)e.求證：bp2pepf.思路點(diǎn)撥本題考查相似三角形的判定及其應(yīng)用，解答本題需要注意ad是等腰abc底邊上的高，所以pbpc，從而將所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化為pc2pepf.進(jìn)而可以證明pcepfc來解決問題精解詳析連接pc，在abc中，因?yàn)閍bac，d為bc中點(diǎn)，所以ad垂直平分bc.所以pbpc，12.因?yàn)閍bac，所以abcacb，所以abc1acb2，即34.因?yàn)閏fab，所以3f，所以4f.又因?yàn)閑pccpf，所以pcepfc，所以，所以pc2pepf.因?yàn)閜cpb，所以pb2pepf.(1)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似，這是判斷兩個(gè)三角形相似最常用的方法，并且根據(jù)相等的角的位置，可以確定哪些邊是對(duì)應(yīng)邊(2)要說明線段的乘積式abcd，或平方式a2bc，一般都是證明比例式或，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)推出乘積式或平方式3如圖所示，正方形abcd的邊長(zhǎng)為1，p是cd邊的中點(diǎn)，點(diǎn)q在線段bc上，當(dāng)adp與qcp相似時(shí)，求bq的值解：由題知dc90，當(dāng)adppcq時(shí)，cq，bq1.當(dāng)adpqcp時(shí)，cq1，bq0.綜上可知，當(dāng)adp與qcp相似時(shí)，bq0或.一、選擇題1如圖，銳角三角形abc的高cd和be相交于點(diǎn)o，圖中與odb相似的三角形的個(gè)數(shù)是()a1b2c3 d4解析：beac，cdab，odb，abe，adc，oce都是直角三角形又dboeba，aa，dobeoc，odbaebadc，odboec.與odb相似的三角形有3個(gè)答案：c2rtabc中，cd是斜邊ab上的高，圖形中共有x個(gè)三角形與abc相似，則x的值為()a1 b2c3 d4解析：由題意知，acd與cbd與abc相似，故x2.答案：b3三角形的一條高分這個(gè)三角形為兩個(gè)相似三角形，則這個(gè)三角形是()a直角三角形 b等腰三角形c等腰直角三角形 d等腰三角形或直角三角形解析：等腰三角形底邊上的高或直角三角形斜邊上的高分得的兩個(gè)三角形分別相似答案：d4如圖所示，aod90，oaobbccd，則下列結(jié)論正確的是()adabocaboabodacbacbdadoacabd解析：設(shè)oaobbccda，則aba，bd2a.，.，且abcdba.bacbda.答案：c二、填空題5如圖，已知abc，def均為正三角形，d，e分別在ab，bc上，與dbe相似的三角形的個(gè)數(shù)為_解析：在dbe與ech中，bc60，bdebed120，bedceh120，bdeceh.dbeech.同理可證adg和fhg也都和bed相似答案：36如圖所示，在abc中，點(diǎn)d在線段bc上，bacadc，ac8，bc16，那么cd_.解析：先根據(jù)已知條件和隱含條件證明abcdac.再根據(jù)相似建立比例式，根據(jù)給出的線段易求出未知線段答案：47如圖，bd，aebc，acd90，且ab6，ac4，ad12，則ae_.解析：acdaeb90，bd，abeadc，.又ac4，ad12，ab6，ae2.答案：28如圖，在abc中，debc，efcd，若bc3，de2，df1，則ab的長(zhǎng)為_解析：debc，efcd，fdedbc，dfebdc.fdedbc，即bd.由，得2.af2，ab.答案：三、解答題9如圖，已知：d是abc內(nèi)的一點(diǎn)，在abc外取一點(diǎn)e，使cbeabd，bcebad.求證：abcdbe.證明：cbeabd，bcebad，abdcbe，abcdbe.，即，abcdbe.10如圖，已知abcd中，g是dc延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ag分別交bd和bc于e，f兩點(diǎn)證明：afadagbf.證明：因?yàn)樗倪呅蝍bcd為平行四邊形，所以abdc，adbc.所以abfgcf，gcfgda.所以abfgda.從而有，即afadagbf.11如圖，m為線段ab的中點(diǎn)，ae與bd交于點(diǎn)c，dmeab.且dm交ac于f，me交bc于g，(1)寫出圖中三對(duì)相似三角形，并證明其中的一對(duì)；(2)連接fg，如果45，ab