人教B版選修45 不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法 章末分層突破 學(xué)案.doc

章末分層突破自我校對(duì)含絕對(duì)值的不等式比較法綜合法和分析法反證法和放縮法 基本不等式的應(yīng)用利用基本不等式求最值問題一般有兩種類型：(1)和為定值時(shí)，積有最大值；(2)積為定值時(shí)，和有最小值.在具體應(yīng)用基本不等式解題時(shí)，一定要注意適用的范圍和條件：“一正、二定、三相等”.(1)求函數(shù)yx2(15x)的最大值；(2)已知a，b，c(0，)，abc1，求y的最小值.【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)條件，發(fā)現(xiàn)定值，利用基本不等式求最值.【規(guī)范解答】(1)yx2xx.0x，2x0，y.當(dāng)且僅當(dāng)xx2x，即x時(shí)，上式取等號(hào).因此ymax.(2)y(abc)3，而6，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取到等號(hào)，則y9，即y的最小值為9.再練一題1.(湖南高考)設(shè)a0，b0，且ab.證明：(1)ab2；(2)a2a2與b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假設(shè)a2a2與b2b2同時(shí)成立，則由a2a0，得0a1；同理，0b1，從而ab1，這與ab1矛盾.故a2a2與b2bg(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)；|f(x)|g(x)g(x)f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2.3.零點(diǎn)分段法含有兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可先求出使每個(gè)含絕對(duì)值符號(hào)的代數(shù)式值等于零的未知數(shù)的值，將這些值依次在數(shù)軸上標(biāo)注出 ，它們把數(shù)軸分成若干個(gè)區(qū)間，討論每一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式在每一個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式去解.解下列關(guān)于x的不等式：(1)|xx22|x23x4；(2)|x2|2x5|2x.【精彩點(diǎn)撥】去掉絕對(duì)值號(hào)，轉(zhuǎn)化為沒有絕對(duì)值的不等式求解.(1)xx22x2x20；(2)通過分類討論去掉絕對(duì)值.【規(guī)范解答】法一：原不等式等價(jià)于xx22x23x4或xx22(x23x4)，解得1x3，原不等式的解集為x|x3.法二：|xx22|x2x2|x2x2，原不等式等價(jià)于x2x2x23x4x3.原不等式的解集為x|x3.(2)分段討論：當(dāng)x2x，解得x2x，解得x2時(shí)，原不等式變形為x22x52x，解得x2a22b20.從而(3a22b2)(ab)0，故3a32b33a2b2ab2成立.再練一題3.設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足等式bc64a3a2，cb44aa2，試確定a，b，c的大小關(guān)系.【解】由cb(a2)20，知cb.又，得ba21，baa2a10，ba，故cba.2.綜合法、分析法證明不等式分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，而綜合法是“由因?qū)す敝鸩酵茖?dǎo)出不等式成立的必要條件，兩者是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法，一般 說，對(duì)于較復(fù)雜的不等式，直接用綜合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法可結(jié)合使用.已知a，b，c均為正數(shù)，且互不相等，又abc1.求證：.【精彩點(diǎn)撥】本題考查用綜合法證明不等式，解答本題可從左到右證明，也可從右到左證明.由左端到右端，應(yīng)注意左、右兩端的差異，這種差異正是我們思考的方向，左端含有根號(hào)，脫去根號(hào)可通過實(shí)現(xiàn)；也可以由右到左證明，按上述思路逆向證明即可.【規(guī)范解答】法一：a，b，c是不等正數(shù)，且abc1，.法二：a，b，c是不等正數(shù)，且abc1，bccaab.再練一題4.已知a0，a22abc20且bca2，試證明：bc.【證明】a22abc20，a2c22ab.又a2c22ac，且a0，2ab2ac，bc.若bc，由a22abc20，得a22abb20，ab.從而abc，這與bca2矛盾.從而bc.設(shè)a，b，c均為大于1的正數(shù)，且ab10.求證：logaclogbc4lg c.【精彩點(diǎn)撥】本題采用綜合法比較困難，可采用分析式法轉(zhuǎn)化為同底的對(duì)數(shù)尋找方法.【規(guī)范解答】由于a1，b1，故要證明logaclogbc4lg c，只要證明4lg c.又c1，故lg c0，所以只要證4，即4，因ab10，故lg alg b1，只要證明4.(*)由a1，b1，故lg a0，lg b0，所以0lg alg b，即(*)式成立.所以，原不等式logaclogbc4lg c得證.再練一題5.已知a0，b0，且ab1，求證：2.【證明】要證2，只要證4，即證ab124.只要證1，也就是要證ab(ab)1，即證ab.a0，b0，ab1.1ab2，ab，即上式成立.故2.3.反證法和放縮法證明不等式證明不等式除了三種基本方法，還可運(yùn)用反證法，放縮法等，若直接證明難以入手時(shí)，“正難則反”，可利用反證法加以證明，若不等式較復(fù)雜，可將需要證明的不等式的值適當(dāng)?shù)胤糯?或縮小)，使不等式由繁化簡(jiǎn)，達(dá)到證明目的.若a，b，c，x，y，z均為實(shí)數(shù)，且ax22y，by22z，cz22x，求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于0.【精彩點(diǎn)撥】在題目中含有“至少”“至多”“最多”以及否定性的結(jié)論時(shí)，用直接法證明比較困難，往往采取反證法.【規(guī)范解答】假設(shè)a，b，c都不大于0，則a0，b0，c0，abc0，由題設(shè)知，abc(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23，abc0，這與abc0矛盾，故a，b，c中至少有一個(gè)大于0.再練一題6.已知f(x)ax(a1)，證明：方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根.【證明】假設(shè)x0是f(x)0的負(fù)數(shù)根，則x00且x01且ax0，由0ax0101，解得x02，這與x00矛盾，所以假設(shè)不成立.故方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根.求證：13.【精彩點(diǎn)撥】不等式比較復(fù)雜，亦采用放縮法，由(n是大于2的自然數(shù))，然后把各項(xiàng)求和.【規(guī)范解答】由(n是大于2的自然數(shù))，得111133.再練一題7.設(shè)x0，y0，z0，求證：xyz.【證明】x，z，由得，xyz.轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想等價(jià)轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法.通過不斷地轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式簡(jiǎn)單的問題.在本章，我們討論恒成立問題，向最值轉(zhuǎn)換，通過不等式性質(zhì)、基本不等式、絕對(duì)值不等式求最值等問題都用到了轉(zhuǎn)化的思想.若不等式|x3|x7|a23a的解集為r，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【精彩點(diǎn)撥】由不等式的解集為r，可知對(duì)xr，都有|x3|x7|a23a成立，(|x3|x7|)mina23a，從而得出a的不等式求解.【規(guī)范解答】原不等式的解集為r，xr，都有|x3|x7|a23a，(|x3|x7|)mina23a.|x3|x7|(x3)(x7)|10，a23a10，解得2a5.實(shí)數(shù)a的取值范圍是2,5.再練一題8.已知f(x)|ax1|(ar)，不等式f(x)3的解集為x|2x1.(1)求a的值；(2)若k恒成立，求k的取值范圍.【解】(1)由|ax1|3，得4ax2.又f(x)3的解集為x|2x1，所以當(dāng)a0時(shí)，不合題意.當(dāng)a0時(shí)，x，得a2.(2)法一：記h(x)f(x)2f，則h(x)所以|h(x)|1，因此k的取值范圍是k1.法二：|2x1|2|x1|21，由k恒成立，可知k1.所以k的取值范圍是k1.1.不等式|x1|x5|2的解集是()a.(，4)b.(，1)c.(1,4)d.(1,5)【解析】當(dāng)x1時(shí)，原不等式可化為1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1.當(dāng)1x5時(shí)，原不等式可化為x1(5x)2，x4，1x4.當(dāng)x5時(shí)，原不等式可化為x1(x5)1時(shí)，f(x)作出f(x)的大致圖象如圖所示，由函數(shù)f(x)的圖象可知f(a)5，即a15，a4.同理，當(dāng)a1時(shí)，a15，a6.【答案】6或43.設(shè)a0，|x1|，|y2|，求證：|2xy4|a.【證明】因?yàn)閨x1|，|y2|，所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|1的解集.圖11【解】(1)由題意得f(x)故yf(x)的圖象如圖所示.(2)由f(x)的函數(shù)表達(dá)式及圖象可知，當(dāng)f(x)1時(shí)，可得x1或x3；當(dāng)f(x)1時(shí)，可得x或x5.故f(x)1的解集為x|1x3，f(x)1的解集為.所以|f(x)|1的解集為.5.已知函數(shù)f(x)|2xa|a.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)6的解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)|2x1|.當(dāng)xr時(shí)，f(x)g(x)3，求a的取值范圍.【解】(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x