蘇教版必修4 3.2 二倍角的三角函數(shù) 學(xué)案.doc

問題1：在兩角和的正弦、余弦、正切公式中，若，則公式可變形為何種形式？提示：sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2，tan 2.問題2：能否只用cos 或sin來表示cos 2？其公式又為何種形式？提示：cos 22cos2112sin2.倍角公式(1)sin 22sin_cos_.(2)cos 2cos2_sin2_2cos2_112sin2_.(3)tan 2.1倍角公式與和角公式的關(guān)系倍角公式是和角公式的特例，只要在和角公式中令就可得到相應(yīng)的倍角公式2倍角公式的適用范圍公式s2，c2中，角可以為任意角；但公式t2只有當(dāng)k及(kz)時(shí)才成立，否則不成立(因?yàn)楫?dāng)k，kz時(shí)，tan 的值不存在；當(dāng)，kz時(shí)，tan 2的值不存在)3倍角的相對(duì)性角的二倍關(guān)系是相對(duì)的，如2是的二倍角，4是2的二倍角，是的二倍角，2是的二倍角，等等在解決問題時(shí)，應(yīng)確定所給角之間是否具備這種“二倍”關(guān)系，做到廣義上的理解和運(yùn)用 例1求下列各式的值：(1)2 sincos；(2)12sin2750；(3)；(4)coscos.思路點(diǎn)撥逆用二倍角公式化簡求值精解詳析(1)原式sinsin.(2)原式cos(2750)cos 1 500cos(604360)cos 60.(3)原式tan(2150)tan 300tan(36060)tan 60.(4)原式coscoscossinsin.一點(diǎn)通解決此類非特殊角的求值問題，其關(guān)鍵是利用公式轉(zhuǎn)化為特殊角求值，要充分觀察角與角之間的聯(lián)系，看角是否有倍數(shù)關(guān)系，能否用二倍角公式求值，是否是互余關(guān)系，能否進(jìn)行正弦與余弦的互化；要充分根據(jù)已知式的結(jié)構(gòu)形式，選擇公式進(jìn)行變形并求值1(四川高考)設(shè)sin 2sin ，則tan 2的值是_解析：sin 2sin ，所以cos ，又，所以，所以tan 2tantan.答案：2cos 105cos 15_.解析：cos 105cos 15cos(9015)cos 15sin 15cos 15sin 30.答案：3求值：(1)；(2)tan；(3)coscoscoscos.解：(1)原式cos2sin2cos.(2)原式222.(3)原式. 例2(1)已知cos ，求sin 2，cos 2和tan 2的值(2)已知sin，0x，求的值思路點(diǎn)撥(1)要求的sin 22sin cos 中缺少sin ，可結(jié)合條件首先求出來，進(jìn)而求出tan ，為求tan 2作好準(zhǔn)備(2)先由已知求得cos，再由誘導(dǎo)公式化簡分子，cos 2xsin2sincos.由x與x的互余關(guān)系求分母，最后得解精解詳析(1)cos ，sin .sin 22sin cos 2，cos 212sin2122，tan .(2)x，x.又sin，cos.又cos 2xsin2sincos2.cossinsin，原式.一點(diǎn)通當(dāng)遇到x這樣的角時(shí)可利用角的互余關(guān)系和誘導(dǎo)公式，將條件與結(jié)論溝通cos 2xsin2sincos.類似這樣的變換還有：(1)cos2xsin2sincos；(2)sin2xcos2cos21；(3)sin 2xcos12cos2等4已知tan 3，則_.解析：2.答案：25若，則tan 2_.解析：，等式左邊分子、分母同除cos 得，解得tan 3，則tan 2.答案：6已知為第二象限角，cos sin，求：(1)sincos；(2)sin 2cos 2的值解：(1)cossin，1sin ，即sin .又為第二象限角，cos .cos2sin2，即cossin，即sincos.(2)sin 2cos 22sin cos 12sin2212()2. 例3求證：.思路點(diǎn)撥將角統(tǒng)一成2，先由二倍角的正切公式，將單角化成2，將求證式化成整式，再由二倍角的正弦、余弦公式化4為2.最后可從一邊證到另一邊精解詳析原式可變形為1sin 4cos 4tan 2(1sin 4cos 4)，式右邊(12cos2212sin 2cos 2)(2cos222sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2)2sin 2cos 22sin22sin 41cos 4左邊式成立，即原式得證一點(diǎn)通利用倍角公式證明三角恒等式，關(guān)鍵是找到左、右兩邊式子中角間的倍半關(guān)系，先用倍角公式統(tǒng)一角，再用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式等完成證明7求證：tan4 a.證明：左邊22(tan2 a)2tan4 a右邊tan4 a.8求證：8sin4 cos 44cos 23.證明：法一：左邊2(2sin2 )22(1cos 2)22(12cos 2cos22)24cos 21cos 4cos 44cos 23右邊命題得證法二：右邊2cos2214cos 232cos224cos 222(cos 21)28sin4 左邊命題得證1倍角公式的變形與應(yīng)用(1)由cos2cos2sin2 (2)由(sin cos )2sin2 cos2 2sin cos 1sin 2(3)由(sin cos )21sin 2根據(jù)這些變形式，可對(duì)三角函數(shù)式迅速化簡或求值2證明三角恒等式的常用方法(1)從復(fù)雜的一邊入手，逐步化簡，證得與另一邊相等；在證明的過程中，時(shí)刻“盯”住目標(biāo)，分析其特征，時(shí)刻向著目標(biāo)“奔”；(2)從兩邊入手，證得等式兩邊都等于同一個(gè)式子；(3)把要證的等式進(jìn)行等價(jià)變形；(4)兩邊作差，證明其差為0.課下能力提升(二十六)一、填空題1若sin，則cos _.解析：因?yàn)閟in，所以cos 12sin2122.答案：2已知是第一象限角，且cos ，則的值為_解析：為第一象限角，且cos ，sin .原式.答案：3.的值是_解析：4.答案：44(上海高考)若cos xcos ysin xsin y，則cos(2x2y)_.解析：因?yàn)閏os xcos ysin xsin ycos(xy)，所以cos2(xy)2cos2(xy)1.答案：5化簡cos2sin2_.解析：原式cos x.答案：cos x二、解答題6化簡：.解：1tan 10.原式 .7已知cos 2，(1)求tan (2)求.解：(1)由cos 2，得12sin2，sin2，sin ，cos ，ta