蘇教版選修21 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 學(xué)案.doc

2.4.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程1掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(重點(diǎn))2拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與定義的應(yīng)用(難點(diǎn))3拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程、準(zhǔn)線、焦點(diǎn)的應(yīng)用(易錯(cuò)點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程閱讀教材p51例1以上的部分，完成下列問(wèn)題.圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y22px(p0)fxy22px(p0)fxx22py(p0)fyx22py(p0)fy1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)中的p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離()(2)拋物線的焦點(diǎn)位置由一次項(xiàng)及一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定()(3)拋物線的方程都是二次函數(shù)()(4)拋物線的開(kāi)口方向由一次項(xiàng)及一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定()【答案】(1)(2)(3)(4)2若拋物線的方程為x2ay2(a0)，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：09390039】【解析】把拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：y2x，故p.【答案】3已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，3)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_【解析】3，p6，x212y.【答案】x212y質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：解惑：疑問(wèn)2：解惑：疑問(wèn)3：解惑：小組合作型求拋物線的焦點(diǎn)及準(zhǔn)線(1)拋物線2y23x0的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_，準(zhǔn)線方程是_(2)若拋物線的方程為yax2(a0)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)，準(zhǔn)線方程為_(kāi)【自主解答】(1)拋物線2y23x0的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2x，2p，p，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x.(2)拋物線方程yax2(a0)化為標(biāo)準(zhǔn)形式：x2y，當(dāng)a0時(shí)，則2p，解得p，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是y.當(dāng)a0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程【解】拋物線ymx2(m0)的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2y.m0，2p，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是y.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)下列條件確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)且過(guò)點(diǎn)(1，3)；(2)過(guò)點(diǎn)(4，8)；(3)焦點(diǎn)在x2y40上【精彩點(diǎn)撥】(1)用待定系數(shù)法求解；(2)因焦點(diǎn)位置不確定，需分類(lèi)討論求解；(3)焦點(diǎn)是直線x2y40與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，應(yīng)先求交點(diǎn)再寫(xiě)方程【自主解答】(1)法一：設(shè)所求拋物線方程為x22py(p0)，將點(diǎn)(1，3)的坐標(biāo)代入方程，得(1)22p(3)，解得p，所以所求拋物線方程為x2y.法二：由已知，拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，因此設(shè)拋物線的方程為x2my(m0)又拋物線過(guò)點(diǎn)，所以1m(3)，即m，所以所求拋物線方程為x2y.(2)法一：設(shè)所求拋物線方程為y22px(p0)或x22py(p0)，將點(diǎn)(4，8) 的坐標(biāo)代入y22px，得p8；將點(diǎn)(4，8)的坐標(biāo)代入x22py，得p1.所以所求拋物線方程為y216x或x22y.法二：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為y2nx(n0)，又拋物線過(guò)點(diǎn)(4，8)，所以644n，即n16，拋物線的方程為y216x；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)拋物線的方程為x2my(m0)，又拋物線過(guò)點(diǎn)(4，8)，所以168m，即m2，拋物線的方程為x22y.綜上，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216x或x22y.(3)由得由得所以所求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)或(4,0)當(dāng)焦點(diǎn)為(0，2)時(shí)，由2，得p4，所以所求拋物線方程為x28y；當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)，由4，得p8，所以所求拋物線方程為y216x.綜上所述，所求拋物線方程為x28y或y216x.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線方程都是先定位，即根據(jù)題中條件確定拋物線的焦點(diǎn)位置；后定量，即求出方程中的p值，從而求出方程(1)定義法：先判定所求點(diǎn)的軌跡是否符合拋物線的定義，進(jìn)而求出方程(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出拋物線的方程，再根據(jù)題中條件，確定參數(shù)值對(duì)于對(duì)稱(chēng)軸確定，開(kāi)口方向也確定的拋物線，根據(jù)題設(shè)中的條件設(shè)出其標(biāo)準(zhǔn)方程：y22px(p0)，或y22px(p0)，或x22py(p0)，或x22py(p0)，進(jìn)行求解，關(guān)鍵是能夠依據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)首先確定出拋物線方程的形式，然后采用待定系數(shù)法求出其標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)于對(duì)稱(chēng)軸確定，而開(kāi)口方向不確定的拋物線：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可將拋物線方程設(shè)為y2ax(a0)；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可將拋物線方程設(shè)為x2ay(a0)，再根據(jù)條件求a.再練一題2以雙曲線16x29y2144的左頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線方程是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：09390040】【解析】雙曲線16x29y2144的標(biāo)準(zhǔn)方程是1，左頂點(diǎn)是(3,0)，由題意設(shè)拋物線的方程為y22px(p0)，3，p6，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y212x.【答案】y212x拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及定義的應(yīng)用(1)設(shè)p是曲線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)p到點(diǎn)b(1,1)的距離與點(diǎn)p到直線x1的距離之和的最小值(2)已知拋物線y22x的焦點(diǎn)是f，點(diǎn)p是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)a(3,2)，求papf的最小值，并求出取得最小值時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)【精彩點(diǎn)撥】(1)把點(diǎn)p到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)p到焦點(diǎn)f的距離，利用pbpfbf求解(2)把點(diǎn)p到焦點(diǎn)f的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)p到準(zhǔn)線的距離，利用垂線段時(shí)最短求解【自主解答】(1)拋物線的頂點(diǎn)為o(0,0)，p2，準(zhǔn)線方程為x1，焦點(diǎn)f坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)p到點(diǎn)b(1,1)的距離與點(diǎn)p到準(zhǔn)線x1的距離之和等于pbpf.如圖，pbpfbf，當(dāng)b，p，f三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，此時(shí)bf.(2)將x3代入拋物線方程y22x，得y.2，a在拋物線內(nèi)部設(shè)拋物線上點(diǎn)p到準(zhǔn)線l：x的距離為d，由定義知papfpad.由圖可知，當(dāng)apl時(shí)，pad最小，最小值為，即papf的最小值為，此時(shí)點(diǎn)p的縱坐標(biāo)為2，代入y22x，得x2，點(diǎn)p的坐標(biāo)為(2,2)拋物線定義在求最值中的應(yīng)用1解此類(lèi)最值、定值問(wèn)題時(shí)，首先要注意拋物線定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用，其次是注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，例如兩點(diǎn)之間線段最短，三角形中三邊間的不等關(guān)系，點(diǎn)與直線上點(diǎn)的連線垂線段最短等2數(shù)形結(jié)合思想是求解幾何最值的常用方法之一再練一題3已知定長(zhǎng)為3的線段ab的端點(diǎn)a，b在拋物線y2x上移動(dòng)，求ab的中點(diǎn)m到y(tǒng)軸距離的最小值【解】如圖，設(shè)點(diǎn)f是拋物線y2x的焦點(diǎn)，過(guò)a，b兩點(diǎn)分別作其準(zhǔn)線的垂線ac，bd，過(guò)ab的中點(diǎn)m作準(zhǔn)線的垂線mn，c，d，n為垂足，則mn(acbd)由拋物線的定義，知acaf，bdbf，mn(afbf)ab.設(shè)點(diǎn)m的橫坐標(biāo)為x，mnx，則x.當(dāng)線段ab過(guò)焦點(diǎn)f時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)點(diǎn)m到y(tǒng)軸的最短距離為.探究共研型拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程探究1四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程的異同點(diǎn)是什么？【提示】對(duì)四種位置不同的拋物線和它們的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行對(duì)比、分析，其共同點(diǎn)有：(1)過(guò)原點(diǎn)；(2)對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸；(3)準(zhǔn)線與對(duì)稱(chēng)軸垂直，垂足與焦點(diǎn)關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，它們與原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的，即(p0)；(4)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離均為p.不同點(diǎn)：(1)對(duì)稱(chēng)軸為x軸時(shí)，方程的右端為2px，左端為y2；對(duì)稱(chēng)軸為y軸時(shí)，方程的右端為2py，左端為x2；(2)開(kāi)口方向與x軸(或y軸)的正方向相同時(shí)，焦點(diǎn)在x軸(或y軸)的正半軸上，方程的右端取正號(hào)；開(kāi)口方向與x軸(或y軸)的正方向相反時(shí)，焦點(diǎn)在x軸(或y軸)的負(fù)半軸上，方程的右端取負(fù)號(hào)探究2通過(guò)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，如何判斷焦點(diǎn)位置及開(kāi)口方向？【提示】在拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，一次項(xiàng)起了關(guān)鍵作用(1)如果一次項(xiàng)含有x，則說(shuō)明拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在正半軸上，開(kāi)口向右；系數(shù)為負(fù)，則焦點(diǎn)在負(fù)半軸上，開(kāi)口向左；(2)如果一次項(xiàng)含有y，則說(shuō)明拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在正半軸上，開(kāi)口向上；系數(shù)為負(fù)，則焦點(diǎn)在負(fù)半軸上，開(kāi)口向下探究3我們知道，二次函數(shù)yax2的圖象是拋物線，如何確定它的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線？【提示】焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py，通常又可以寫(xiě)成yax2，這與以前所學(xué)習(xí)的二次函數(shù)的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程yax2來(lái)求其焦點(diǎn)和準(zhǔn)線時(shí)，必須先化成標(biāo)準(zhǔn)形式動(dòng)點(diǎn)m(x，y)到y(tǒng)軸的距離比它到定點(diǎn)(2,0)的距離小2，求動(dòng)點(diǎn)m(x，y)的軌跡方程【精彩點(diǎn)撥】設(shè)f(2,0)，由題意mf|x|2，或根據(jù)點(diǎn)m，f在y軸的同側(cè)或異側(cè)分類(lèi)討論【自主解答】法一：設(shè)f(2,0)，由題意mf|x|2，|x|2，化簡(jiǎn)得y24x4|x|動(dòng)點(diǎn)m的軌跡方程是y0(x0)或y28x(x0)法二：(1)當(dāng)x0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)m(x，y)到y(tǒng)軸的距離比它到定點(diǎn)(2,0)的距離小2，動(dòng)點(diǎn)m到定點(diǎn)(2,0)的距離與到定直線x2的距離相等，動(dòng)點(diǎn)m的軌跡是以(2,0)為焦點(diǎn)，x2為準(zhǔn)線的拋物線，且p4，拋物線的方程為y28x(x0)(2)當(dāng)x0時(shí)，由于x軸上原點(diǎn)左側(cè)的點(diǎn)到y(tǒng)軸距離比它到(2,0)的距離小于2，動(dòng)點(diǎn)m的軌跡方程y0(x0)綜上，動(dòng)點(diǎn)m的軌跡方程為y0(x0)的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是_【解析】由題意可求出線段oa的垂直平分線交x軸于點(diǎn)，此點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，故準(zhǔn)線方程為x.【答案】x二、解答題9已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，拋物線上的點(diǎn)m(3，m)到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和m的值【解】法一：由題意可設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，則焦點(diǎn)為f，因?yàn)辄c(diǎn)m在拋物線上，且mf5，所以有解得或故所求的拋物線方程為y28x，m的值為2.法二：由題可設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，則焦點(diǎn)為f，準(zhǔn)線方程為x，根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)m到焦點(diǎn)的距離等于5，也就是m到準(zhǔn)線的距離為5，則35，p4，拋物線方程為y28x.又點(diǎn)m(3，m)在拋物線上，m224，m2.10求焦點(diǎn)在x軸上，且焦點(diǎn)在雙曲線1上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【解】由題意可設(shè)拋物線方程為y22mx(m0)，則焦點(diǎn)為.焦點(diǎn)在雙曲線1上，1，求得m4，所求拋物線方程為y28x或y28x.能力提升1設(shè)m(x0，y0)為拋物線c：x28y上一點(diǎn)，f為拋物線c的焦點(diǎn)，以f為圓心，fm為半徑的圓和拋物線c的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：09390043】【解析】圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為p4，根據(jù)已知，只要fm4即可根據(jù)拋物線定義，fmy02，由y024，解得y02.故y0的取值范圍是(2，)【答案】(2，)2設(shè)斜率為2的直線l過(guò)拋物線y2ax(a0)的焦點(diǎn)f，且和y軸交于點(diǎn)a，若oaf(o為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線的方程為_(kāi)【解析】因?yàn)閽佄锞€y2ax(a0)的焦點(diǎn)f的坐標(biāo)為，所以直線l的方程為y2，它與y軸的交點(diǎn)為a，則oaf的面積為4，解得a8，故拋物線的方程為y28x或y28x.【答案】y28x或y28x3已知點(diǎn)p是拋物線y24x上的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)p到拋物線準(zhǔn)線的距離為d1，到圓(x3)2(y3)21上的一動(dòng)點(diǎn)q的距離為d2，則d1d2的最小值是_【解析】由拋物線的定義得p到拋物線準(zhǔn)線的距離為d1pf，d1d2的最小值即為拋物線的焦點(diǎn)f(1,0)到圓(x3)2(y3)21上的一動(dòng)點(diǎn)q的距離的最小值，最小值為f與圓心的距離減半徑，即為4，故填4.【答案】44如圖241所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由長(zhǎng)方形的三條邊和拋物線的一段構(gòu)成，為保證安全，要求行駛車(chē)輛頂部(設(shè)為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5米圖241(1)以