【系統(tǒng)集成】高中數(shù)學(xué)第十二章排列組合、二項(xiàng)式定理、概率(教師用書)理.doc

第十二章排列組合、二項(xiàng)式定理、概率高考導(dǎo)航考試要求重難點(diǎn)擊命題展望排列、組合1.理解并運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理解決一些簡單的實(shí)際問題；2.理解排列、組合的概念；能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，并能解決簡單的實(shí)際問題；3.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理； 會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題.本章重點(diǎn)：排列、組合的意義及其計(jì)算方法，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.本章難點(diǎn)：用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的問題.排列組合是學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)，其核心是兩個(gè)基本原理.高考中著重考查兩個(gè)基本原理，排列組合的概念及二項(xiàng)式定理.隨機(jī)事件的概率1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別；2.了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式；3.理解古典概型及其概率計(jì)算公式；會計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)及事件發(fā)生的概率；4.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率，了解幾何概型的意義.本章重點(diǎn)：1.隨機(jī)事件、互斥事件及概率的意義，并會計(jì)算互斥事件的概率；2.古典概型、幾何概型的概率計(jì)算.本章難點(diǎn)：1.互斥事件的判斷及互斥事件概率加法公式的應(yīng)用；2.可以轉(zhuǎn)化為幾何概型求概率的問題.本部分要求考生能從集合的思想觀點(diǎn)認(rèn)識事件、互斥事件與對立事件，進(jìn)而理解概率的性質(zhì)、公式，還要求考生了解幾何概型與隨機(jī)數(shù)的意義.在高考中注重考查基礎(chǔ)知識和基本方法的同時(shí)，還?？疾榉诸惻c整合，或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法，邏輯思維能力以及運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力.離散型隨機(jī)變量1.理解取有限值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性；2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用；3.了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡單的實(shí)際問題；4.理解取有限值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問題；5.利用實(shí)際問題的直方圖，認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.本章重點(diǎn)：1.離散型隨機(jī)變量及其分布列； 2.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布.本章難點(diǎn)：1.利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差解決一些實(shí)際問題；2.正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.求隨機(jī)變量的分布列與期望，以及在此基礎(chǔ)上進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析是近幾年來較穩(wěn)定的高考命題態(tài)勢.考生應(yīng)注重對特殊分布(如二項(xiàng)分布、超幾何分布)的理解和對事件的意義的理解.知識網(wǎng)絡(luò)12.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理典例精析題型一分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例1】 在1到20這20個(gè)整數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)相加，使其和大于20，共有種取法.【解析】當(dāng)一個(gè)加數(shù)是1時(shí)，另一個(gè)加數(shù)只能是20，有1種取法；當(dāng)一個(gè)加數(shù)是2時(shí)，另一個(gè)加數(shù)可以是19,20，有2種取法；當(dāng)一個(gè)加數(shù)是3時(shí)，另一個(gè)加數(shù)可以是18,19,20，有3種取法；當(dāng)一個(gè)加數(shù)是10時(shí)，另一個(gè)加數(shù)可以是11,12，19,20，有10種取法；當(dāng)一個(gè)加數(shù)是11時(shí)，另一個(gè)加數(shù)可以是12,13，19,20，有9種取法；當(dāng)一個(gè)加數(shù)是19時(shí)，另一個(gè)加數(shù)只能是20，有1種取法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有12310981100種取法.【點(diǎn)撥】采用列舉法分類，先確定一個(gè)加數(shù)，再利用“和大于20”確定另一個(gè)加數(shù).【變式訓(xùn)練1】(2010濟(jì)南市模擬)從集合1,2,3，10中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為()A.3B.4C.6D.8【解析】當(dāng)公比為2時(shí)，等比數(shù)列可為1,2,4或2,4,8；當(dāng)公比為3時(shí)，等比數(shù)列可為1,3,9；當(dāng)公比為時(shí)，等比數(shù)列可為4,6,9.同理，公比為、時(shí)，也有4個(gè).故選D.題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例2】 從6人中選4人分別到張家界、韶山、衡山、桃花源四個(gè)旅游景點(diǎn)游覽，要求每個(gè)旅游景點(diǎn)只有一人游覽，每人只游覽一個(gè)旅游景點(diǎn)，且6個(gè)人中甲、乙兩人不去張家界游覽，則不同的選擇方案共有種.【解析】能去張家界的有4人，依此能去韶山、衡山、桃花源的有5人、4人、3人.則由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的選擇方案有4543240種.【點(diǎn)撥】根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，才能完成這件事，各步之間既不能重復(fù)也不能遺漏.【變式訓(xùn)練2】(2010湘潭市調(diào)研)要安排一份5天的值班表，每天有一人值班，現(xiàn)有5人，每人可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不準(zhǔn)由同一人值班，問此值班表共有種不同的排法.【解析】依題意，值班表須一天一天分步完成.第一天有5人可選有5種方法，第二天不能用第一天的人有4種方法，同理第三天、第四天、第五天也都有4種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有544441 280種方法.題型三分類和分步計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用【例3】(2011長郡中學(xué))如圖，用4種不同的顏色對圖中5個(gè)區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)有.【解析】方法一：由題意知，有且僅有兩個(gè)區(qū)域涂相同的顏色，分為4類：1與5同；2與5同；3與5同；1與3同.對于每一類有A種涂法，共有4A96種方法.方法二：第一步：涂區(qū)域1，有4種方法；第二步：涂區(qū)域2，有3種方法；第三步：涂區(qū)域4，有2種方法(此前三步已經(jīng)用去三種顏色)；第四步：涂區(qū)域3，分兩類：第一類，3與1同色，則區(qū)域5涂第四種顏色；第二類，區(qū)域3與1不同色，則涂第四種顏色，此時(shí)區(qū)域5就可以涂區(qū)域1或區(qū)域2或區(qū)域3中的任意一種顏色，有3種方法.所以，不同的涂色種數(shù)有432(1113)96種.【點(diǎn)撥】染色問題是排列組合中的一類難題.本題能運(yùn)用兩個(gè)基本原理求解，要注意的是分類中有分步，分步后有分類.【變式訓(xùn)練3】(2009深圳市調(diào)研)用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號為1,2，9的9個(gè)小正方形，使得任意相鄰(有公共邊)小正方形所涂顏色都不相同，且1,5,9號小正方形涂相同顏色，則符合條件的所有涂法有多少種？【解析】第一步，從三種顏色中選一種顏色涂1,5,9號有C種涂法；第二步，涂2,3,6號，若2,6同色，有4種涂法，若2,6不同色，有2種涂法，故共有6種涂法；第三步，涂4,7,8號，同第二步，共有6種涂法.由分步乘法原理知共有366108種涂法.總結(jié)提高分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理回答的都是完成一件事有多少種不同方法或種數(shù)的問題，其區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理是完成一件事要分若干類，類與類之間要互斥，用任何一類中的任何一種方法都可以獨(dú)立完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理是完成一件事要分若干步，步驟之間相互獨(dú)立，各個(gè)步驟相互依存，缺少其中任何一步都不能完成這件事，只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成之后，才能完成該事件.因此，分清完成一件事的方法是分類還是分步，是正確使用這兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的基礎(chǔ).12.2排列與組合典例精析題型一排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算【例1】 計(jì)算：(1)；(2) CCC.【解析】(1)原式.(2)原式CCCCCCCCCCC330.【點(diǎn)撥】在使用排列數(shù)公式A進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意公式成立的條件：m，nN+，mn.另外，應(yīng)注意組合數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用.【變式訓(xùn)練1】解不等式6.【解析】原不等式即6，也就是，化簡得x221x1040， 解得x8或x13，又因?yàn)?x9，且xN*，所以原不等式的解集為2,3,4,5,6,7.題型二有限制條件的排列問題【例2】 3男3女共6個(gè)同學(xué)排成一行.(1)女生都排在一起，有多少種排法？(2)女生與男生相間，有多少種排法？(3)任何兩個(gè)男生都不相鄰，有多少種排法？(4)3名男生不排在一起，有多少種排法？(5)男生甲與男生乙中間必須排而且只能排2位女生，女生又不能排在隊(duì)伍的兩端，有幾種排法？【解析】(1)將3名女生看作一人，就是4個(gè)元素的全排列，有A種排法.又3名女生內(nèi)部可有A種排法，所以共有AA144種排法.(2)男生自己排，女生也自己排，然后相間插入(此時(shí)有2種插法)，所以女生與男生相間共有2AA72種排法.(3)女生先排，女生之間及首尾共有4個(gè)空隙，任取其中3個(gè)安插男生即可，因而任何兩個(gè)男生都不相鄰的排法共有AA144種.(4)直接分類較復(fù)雜，可用間接法.即從6個(gè)人的排列總數(shù)中，減去3名男生排在一起的排法種數(shù)，得3名男生不排在一起的排法種數(shù)為AAA576種.(5)先將2個(gè)女生排在男生甲、乙之間，有A種排法.又甲、乙之間還有A種排法.這樣就有AA種排法.然后把他們4人看成一個(gè)元素(相當(dāng)于一個(gè)男生)，這一元素及另1名男生排在首尾，有A種排法.最后將余下的女生排在其間，有1種排法.故總排法為AAA24種.【點(diǎn)撥】排列問題的本質(zhì)就是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制主要表現(xiàn)在：某些元素“排”或“不排”在哪個(gè)位子上，某些元素“相鄰”或“不相鄰”.對于這類問題，在分析時(shí)，主要按照“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先安排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，對于“相鄰”問題可用“捆綁法”，對于“不相鄰”問題可用“插空法”.對于直接考慮較困難的問題，可以采用間接法.【變式訓(xùn)練2】把1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按由小到大的順序排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列.(1)43 251是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？(2)這個(gè)數(shù)列的第97項(xiàng)是多少？【解析】(1)不大于43 251的五位數(shù)A(AAA)88個(gè)，即為此數(shù)列的第88項(xiàng).(2)此數(shù)列共有120項(xiàng)，而以5開頭的五位數(shù)恰好有A24個(gè)，所以以5開頭的五位數(shù)中最小的一個(gè)就是該數(shù)列的第97項(xiàng)，即51 234.題型三有限制條件的組合問題【例3】 要從12人中選出5人去參加一項(xiàng)活動(dòng).(1)A，B，C三人必須入選有多少種不同選法？(2)A，B，C三人都不能入選有多少種不同選法？(3)A，B，C三人只有一人入選有多少種不同選法？(4)A，B，C三人至少一人入選有多少種不同選法？(5)A，B，C三人至多二人入選有多少種不同選法？【解析】(1)只須從A，B，C之外的9人中選擇2人，C36種不同選法.(2)由A，B，C三人都不能入選只須從余下9人中選擇5人，即有CC126種選法.(3)可分兩步，先從A，B，C三人中選出1人，有C種選法，再從余下的9人中選4人，有C種選法，所以共有CC378種選法.(4)可考慮間接法，從12人中選5人共有C種，再減去A，B，C三人都不入選的情況C，共有CC666種選法.(5)可考慮間接法，從12人中選5人共有C種，再減去A，B，C三人都入選的情況C種，所以共有CC756種選法.【點(diǎn)撥】遇到至多、至少的有關(guān)計(jì)數(shù)問題，可以用間接法求解.對于有限制條件的問題，一般要根據(jù)特殊元素分類.【變式訓(xùn)練3】四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn).(1)在其中取4個(gè)共面的點(diǎn)，共有多少種不同的取法？(2)在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，共有多少種不同的取法？【解析】(1)四個(gè)點(diǎn)共面的取法可分三類.第一類：在同一個(gè)面上取，共有4C種；第二類：在一條棱上取三點(diǎn)，再在它所對的棱上取中點(diǎn)，共有6種；第三類：在六條棱的六個(gè)中點(diǎn)中取，取兩對對棱的4個(gè)中點(diǎn)，共有C3種.故有69種.(2)用間接法.共C69141種.總結(jié)提高解有條件限制的排列與組合問題的思路：(1)正確選擇原理，確定分類或分步計(jì)數(shù)；(2)特殊元素、特殊位置優(yōu)先考慮；(3)再考慮其余元素或其余位置.12.3 二項(xiàng)式定理典例精析題型一二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式及應(yīng)用【例1】 已知的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列.(1)求證：展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；(2)求展開式中所有的有理項(xiàng). 【解析】由題意得2C1C()2，即n29n80，所以n8，n1(舍去). 所以Tr1()()r(1)r(0r8，rZ).(1)若Tr1是常數(shù)項(xiàng)，則0，即163r0，因?yàn)閞Z，這不可能，所以展開式中沒有常數(shù)項(xiàng).(2)若Tr1是有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)為整數(shù)，又0r8，rZ，所以 r0,4,8，即展開式中有三項(xiàng)有理項(xiàng)，分別是T1x4，T5 x，T9 x-2.【點(diǎn)撥】(1)把握住二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，是掌握二項(xiàng)式定理的關(guān)鍵.除通項(xiàng)公式外，還應(yīng)熟練掌握二項(xiàng)式的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、展開式的系數(shù)間的關(guān)系、性質(zhì)；(2)應(yīng)用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)，如求某一項(xiàng)，含x某次冪的項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)，有理項(xiàng)，系數(shù)最大的項(xiàng)等，一般是應(yīng)用通項(xiàng)公式根據(jù)題意列方程，在求得n或r后，再求所需的項(xiàng)(要注意n和r的數(shù)值范圍及大小關(guān)系)；(3) 注意區(qū)分展開式“第r1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”與“第r1項(xiàng)的系數(shù)”.【變式訓(xùn)練1】若(x)n的展開式的前3項(xiàng)系數(shù)和為129，則這個(gè)展開式中是否含有常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)？如果有，求出該項(xiàng)，如果沒有，請說明理由.【解析】由題知CC2C22129，所以n8，所以通項(xiàng)為Tr1C(x)8-r ，故r6時(shí)，T726Cx1 792x，所以不存在常數(shù)項(xiàng)，而存在一次項(xiàng)，為1 792x.題型二運(yùn)用賦值法求值【例2】(1)已知(1x)(1x)2(1x)na0a1xa2x2anxn，且a1a2an129n，則n；(2)已知(1x)na0a1xa2x2anxn，若5a12a20，則a0a1a2a3(1)nan. 【解析】(1)易知an1，令x0得a0n，所以a0a1an30.又令x1，有2222na0a1an30，即2n1230，所以n4.(2)由二項(xiàng)式定理得，a1Cn，a2C，代入已知得5nn(n1)0，所以n6，令x1得(11)6a0a1a2a3a4a5a6，即a0a1a2a3a4a5a664.【點(diǎn)撥】運(yùn)用賦值法求值時(shí)應(yīng)充分抓住代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，通過一些特殊值代入構(gòu)造相應(yīng)的結(jié)構(gòu).【變式訓(xùn)練2】設(shè)(3x1)8a0a1xa2x2a7x7a8x8.求a0a2a4a6a8的值.【解析】令f(x)(3x1)8，因?yàn)閒(1)a0a1a2a828，f(1)a0a1a2a3a7a848，所以a0a2a4a6a827(128).題型三二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用【例3】求證：46n5n19能被20整除.【解析】46n5n194(6n1)5(5n1)4(51)n15(41)n120(5n1C5n2C)(4n1C4n2C)，是20的倍數(shù)，所以46n5n19能被20整除.【點(diǎn)撥】用二項(xiàng)式定理證明整除問題時(shí)，首先需注意(ab)n中，a，b中有一個(gè)是除數(shù)的倍數(shù)；其次展開式有什么規(guī)律，余項(xiàng)是什么，必須清楚.【變式訓(xùn)練3】求0.9986的近似值，使誤差小于0.001.【解析】0.9986(10.002)616(0.002)115(0.002)2(0.002)6.因?yàn)門3C(0.002)215(0.002)20.000 060.001， 且第3項(xiàng)以后的絕對值都小于0.001，所以從第3項(xiàng)起，以后的項(xiàng)都可以忽略不計(jì).所以0.9986(10.002)616(0.002)10.0120.988.總結(jié)提高1.利用通項(xiàng)公式可求展開式中某些特定項(xiàng)(如常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)等)，解決這些問題通常采用待定系數(shù)法，運(yùn)用通項(xiàng)公式寫出待定式，再根據(jù)待定項(xiàng)的要求寫出n、r滿足的條件，求出n和r，再確定所需的項(xiàng)；2.賦值法是解決二項(xiàng)展開式的系數(shù)和、差問題的一個(gè)重要手段；3.利用二項(xiàng)式定理解決整除問題時(shí)，關(guān)鍵是進(jìn)行合理的變形，使得二項(xiàng)展開式的每一項(xiàng)都成為除數(shù)的倍數(shù).對于余數(shù)問題，要注意余數(shù)的取值范圍.12.4隨機(jī)事件的概率與概率的基本性質(zhì)典例精析題型一頻率與概率【例1】某企業(yè)生產(chǎn)的乒乓球被08年北京奧委會指定為乒乓球比賽專用球.日前有關(guān)部門對某批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測，檢查結(jié)果如下表所示.抽取球數(shù)n501002005001 0002 000優(yōu)等品數(shù)m45921944709541 902優(yōu)等品頻率(1)計(jì)算表中乒乓球優(yōu)等品的頻率；(2)從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個(gè)，質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率是多少？(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后三位)【解析】(1)依據(jù)公式，計(jì)算出表中乒乓球優(yōu)等品的頻率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球數(shù)n不同，計(jì)算得到的頻率值不同，但隨著抽取的球數(shù)的增多，卻都在常數(shù)0.950的附近擺動(dòng)，所以質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率為0.950.【點(diǎn)撥】從表中所給的數(shù)據(jù)可以看出，當(dāng)所抽乒乓球較少時(shí)，優(yōu)等品的頻率波動(dòng)很大，但當(dāng)抽取的球數(shù)很大時(shí)，頻率基本穩(wěn)定在0.95，在其附近擺動(dòng)，利用概率的統(tǒng)計(jì)定義，可估計(jì)該批乒乓球的優(yōu)等率.【變式訓(xùn)練1】某籃球運(yùn)動(dòng)員在最近幾場比賽中罰球的結(jié)果如下.投籃次數(shù)n8101291016進(jìn)球次數(shù)m6897712進(jìn)球頻率(1)計(jì)算表中進(jìn)球的頻率；(2)這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次，進(jìn)球的概率是多少？【解析】(1)由公式計(jì)算出每場比賽該運(yùn)動(dòng)員罰球進(jìn)球的頻率依次為：(2)由(1)知，每場比賽進(jìn)球的頻率雖然不同，但頻率總在附近擺動(dòng)，可知該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)球的概率為.題型二隨機(jī)事件間的關(guān)系【例2】從一副橋牌(52張)中任取1張.判斷下列每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件.(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于10”.【解析】(1)是互斥事件但不是對立事件.因?yàn)椤俺槌黾t桃”與“抽出黑桃”在僅取一張時(shí)不可能同時(shí)發(fā)生，因而是互斥的.同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，因?yàn)檫€可能抽出“方塊”或“梅花”，因此兩者不對立.(2)是互斥事件又是對立事件.因?yàn)閮烧卟豢赏瑫r(shí)發(fā)生，但其中必有一個(gè)發(fā)生.(3)不是互斥事件，更不是對立事件.因?yàn)椤俺槌龅呐泣c(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于10”這兩個(gè)事件有可能同時(shí)發(fā)生，如抽得12.【點(diǎn)撥】要區(qū)分互斥事件和對立事件的定義.【變式訓(xùn)練2】抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A：至少有兩件次品，則A的對立事件為()A.至多兩件次品 B.至多一件次品C.至多兩件正品 D.至少兩件正品【解析】根據(jù)對立事件的定義得選項(xiàng)B.題型三概率概念的應(yīng)用【例3】 甲、乙兩個(gè)班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于或等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀，統(tǒng)計(jì)后，得到如下列聯(lián)表.優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲10乙30總計(jì)105已知從全部105人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為.(1)請完成上面列聯(lián)表； (2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”(參考數(shù)據(jù)P(K26.635)0.05)；(3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10人按2到11進(jìn)行編號，然后兩次擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取人的編號.試求抽到6號或10號的概率.【解析】(1)優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲104555乙203050總計(jì)3075105(2)計(jì)算K2的一個(gè)觀測值k6.109.因?yàn)?.1096.635，所以沒有95%的把握認(rèn)為成績與班級有關(guān).(3)記被抽取人的序號為，則P(6)，P(10)，所以P(6或10)P(6)P(10).【點(diǎn)撥】本題考查概率的概念在實(shí)際生活中的應(yīng)用.【變式訓(xùn)練3】袋內(nèi)有35個(gè)球，每個(gè)球上都記有從135中的一個(gè)號碼，設(shè)號碼為n的球的重量為5n20克，這些球以等可能性從袋里取出(不受重量、號碼的影響).(1)如果取出1球，試求其重量比號碼數(shù)大5的概率；(2)如果任意取出2球，試求它們重量相等的概率.【解析】(1)由不等式5n20n5，得n15或n3，由題意知n1,2或者n16,17，35，于是所求概率為.(2)設(shè)第n號和第m號的兩個(gè)球的重量相等，其中nm，則有5n205m20，所以(nm)(nm15)0.因?yàn)閚m，所以nm15，所以(n，m)(1,14)，(2,13)，(7,8).故所求概率為.總結(jié)提高1.對立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件.集合A的對立事件記作，從集合的角度來看，事件所含結(jié)果的集合正是全集U中由事件A所含結(jié)果組成集合的補(bǔ)集，即AU，A.對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件.事件A、B的和記作AB，表示事件A、B至少有一個(gè)發(fā)生.當(dāng)A、B為互斥事件時(shí)，事件AB是由“A發(fā)生而B不發(fā)生”以及“B發(fā)生而A不發(fā)生”構(gòu)成的.當(dāng)計(jì)算事件A的概率P(A)比較困難時(shí)，有時(shí)計(jì)算它的對立事件的概率則要容易些，為此有P(A)1P().2.若A與B互相獨(dú)立，則與，A與，與B都是相互獨(dú)立事件.判斷A與B是否獨(dú)立的方法是看P(AB)P(A)P(B)是否成立.12.5古典概型典例精析題型一古典概率模型的計(jì)算問題【例1】一汽車廠生產(chǎn)A、B、C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)，轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600現(xiàn)按分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類10輛.(1)求z的值；(2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本，將該樣本視為一個(gè)總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；(3)用隨機(jī)抽樣方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2把這8輛車的得分看成一個(gè)總體，從中任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率.【解析】(1)依題意知，從每層抽取的比率為，從而轎車的總數(shù)為50402 000輛，所以z2 000100150300450600400.(2)由(1)知C類轎車共1 000輛，又樣本容量為5，故抽取的比率為，即5輛轎車中有2輛舒適型、3輛標(biāo)準(zhǔn)型，任取2輛，一共有n10種不同取法，記事件A：至少有1輛舒適型轎車，則事件表示抽取到2輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，有m3種不同取法，從而事件A包含：基本事件數(shù)為m7種，所以P(A).(3)樣本平均數(shù)(9.48.69.29.68.79.39.08.2)9.0，記事件B：從樣本中任取一數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)的絕對值不超過0.5，則事件B包含的基本事件有6種，所以P(B).【點(diǎn)撥】利用古典概型求事件的概率時(shí)，主要弄清基本事件的總數(shù)，及所求事件所含的基本事件的個(gè)數(shù).【變式訓(xùn)練1】已知ABC的三邊是10以內(nèi)(不包含10)的三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，求任取一個(gè)ABC是銳角三角形的概率.【解析】依題意不妨設(shè)an1，bn，cn1(n1，nN)，從而有abc，即n2，所以ABC的最小邊為2，要使ABC是銳角三角形，只需ABC的最大角C是銳角，cos C0，所以n4，所以，要使ABC是銳角三角形，ABC的最小邊為4.另一方面，從2,3,4，9中，“任取三個(gè)連續(xù)正整數(shù)”共有6種基本情況，“ABC是銳角三角形”包含4種情況，故所求的概率為.題型二有放回抽樣與不放回抽樣【例2】 現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件，其中8件為正品，2件為次品.(1)如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)3次取出的都是正品的概率；(2)如果從中一次取3件，求3件都是正品的概率.【解析】(1)有放回地抽取3次，按抽取順序(x，y，z)記錄結(jié)果，則x，y，z都有10種可能，所以試驗(yàn)結(jié)果有101010103種；設(shè)事件A為“連續(xù)3次都取正品”，則包含的基本事件共有88883 種，因此，P(A)0.512.(2)方法一：可以看作不放回抽樣3次，順序不同，基本事件不同，按抽取順序記錄(x，y，z)，則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，所以試驗(yàn)的所有結(jié)果為1098720種.設(shè)事件B為“3件都是正品”，則事件B包含的基本事件總數(shù)為876336， 所以P(B)0.467.方法二：可以看作不放回3次無順序抽樣，先按抽取順序(x，y，z)記錄結(jié)果，則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，但(x，y，z)，(x，z，y)，(y，x，z)，(y，z，x)，(z，x，y)，(z，y，x)是相同的，所以試驗(yàn)的所有結(jié)果有10986120.按同樣的方法，事件B包含的基本事件個(gè)數(shù)為876656，因此P(B)0.467.【點(diǎn)撥】關(guān)于不放回抽樣，計(jì)算基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，既可以看作是有順序的，也可以看作是無順序的，其結(jié)果是一樣的，但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會導(dǎo)致錯(cuò)誤.【變式訓(xùn)練2】有5張卡片，上面分別寫有0,1,2,3,4中的1個(gè)數(shù).求：(1)從中任取兩張卡片，兩張卡片上的數(shù)字之和等于4的概率；(2)從中任取兩次卡片，每次取一張，第一次取出卡片，記下數(shù)字后放回，再取第二次，兩次取出的卡片上的數(shù)字之和恰好等于4的概率.【解析】(1)兩張卡片上的數(shù)字之和等于4的情形共有4種，任取兩張卡片共有10種，所以概率為P；(2)兩張卡片上的數(shù)字之和等于4的情形共有5種，任取兩張卡片共有25種，所以概率為P.題型三古典概型問題的綜合應(yīng)用【例3】 甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個(gè)紅球，2個(gè)白球；乙袋裝有2個(gè)紅球，n個(gè)白球.從甲、乙兩袋中各任取2個(gè)球.(1)若n3，求取到的4個(gè)球全是紅球的概率；(2)若取到的4個(gè)球中至少有2個(gè)紅球的概率為，求n.【解析】(1)記“取到的4個(gè)球全是紅球”為事件A，P(A).(2)記“取到的4個(gè)球至多有1個(gè)紅球”為事件B，“取到的4個(gè)球只有1個(gè)紅球”為事件B1，“取到的4個(gè)球全是白球”為事件B2.由題意，得P(B)1.P(B1)，P(B2). 所以P(B)P(B1)P(B2)，化簡得7n211n60，解得n2或n(舍去)，故n2.【變式訓(xùn)練3】甲、乙二人參加普法知識競賽，共有10道不同的題目，其中選擇題6道，判斷題4道，甲、乙二人一次各抽取一題.(1)甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是多少？(2)甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的概率是多少？【解析】(1)甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有C個(gè)，乙從判斷題中抽到一題的的可能結(jié)果是C，故甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的可能結(jié)果為CC24.又甲、乙二人一次各抽取一題的結(jié)果有CC90，所以概率為.(2)甲、乙二人一次各抽取一題基本事件的總數(shù)是10990.方法一：(分類計(jì)數(shù)原理)只有甲抽到了選擇題的事件數(shù)是：6424；只有乙抽到了選擇題的事件數(shù)是：6424；甲、乙同時(shí)抽到選擇題的事件數(shù)是：6530.故甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的概率是.方法二：(利用對立事件)事件“甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題”與事件“甲、乙兩人都未抽到選擇題”是對立事件.事件“甲、乙兩人都未抽到選擇題”的基本事件個(gè)數(shù)是4312.故甲、乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的概率是11.總結(jié)提高1.對古典概型首先必須使學(xué)生明確判斷兩點(diǎn)：對于每個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)來說，所有可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)n必須是有限個(gè)；出現(xiàn)的各個(gè)不同的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)m其可能性大小必須是相同的.只有在同時(shí)滿足、的條件下，運(yùn)用的古典概型計(jì)算公式P(A)得出的結(jié)果才是正確的.使用公式P(A)計(jì)算時(shí)，確定m、n的數(shù)值是關(guān)鍵所在.2.對于n個(gè)互斥事件A1，A2，An，其加法公式為P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).3.分類討論思想是解決互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的一個(gè)重要的指導(dǎo)思想.4.在應(yīng)用題背景條件下，能否把一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互相排斥或相互獨(dú)立、既不重復(fù)又不遺漏的簡單事件是解答這類應(yīng)用題的關(guān)鍵，也是考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力的重要環(huán)節(jié).12.6幾何概型典例精析題型一長度問題【例1】如圖，AOB60，OA2，OB5，在線段OB上任取一點(diǎn)C，試求：(1)AOC為鈍角三角形的概率；(2)AOC為銳角三角形的概率.【解析】如圖，由平面幾何知識知：當(dāng)ADOB時(shí)，OD1；當(dāng)OAAE時(shí)，OE4，BE1.(1)當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線段OD或BE上時(shí)，AOC為鈍角三角形.記“AOC為鈍角三角形”為事件M，則P(M)0.4，即AOC為鈍角三角形的概率為0.4.(2)當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C在線段DE上時(shí)，AOC為銳角三角形.記“AOC為銳角三角”為事件N，則P(N)0.6，即AOC為銳角三角形的概率為0.6.【點(diǎn)撥】我們把每一個(gè)事件理解為從某個(gè)特定的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會都一樣，而一個(gè)事件發(fā)生則理解為恰好在上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，這樣的概率模型就可以用幾何概型求解.【變式訓(xùn)練1】點(diǎn)A為周長等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧AB的長度小于1的概率為.【解析】如圖可設(shè)1，則根據(jù)幾何概率可知其整體事件是其周長3，則其概率是.題型二面積問題【例2】 兩個(gè)CB對講機(jī)(CB即CitizenBand民用波段的英文縮寫)持有者，莉莉和霍伊都為卡爾貨運(yùn)公司工作，他們的對講機(jī)的接收范圍為25公里，在下午3：00時(shí)莉莉正在基地正東距基地30公里以內(nèi)的某處向基地行駛，而霍伊在下午3：00時(shí)正在基地正北距基地40公里以內(nèi)的某地向基地行駛，試問在下午3：00時(shí)他們能夠通過對講機(jī)交談的概率有多大？【解析】設(shè)x和y分別代表莉莉和霍伊距基地的距離，于是0x30,0y40.他們所有可能的距離的數(shù)據(jù)構(gòu)成有序點(diǎn)對(x，y)，這里x，y都在它們各自的限制范圍內(nèi)，則所有這樣的有序數(shù)對構(gòu)成的集合即為基本事件組對應(yīng)的幾何區(qū)域，每一個(gè)幾何區(qū)域中的點(diǎn)都代表莉莉和霍伊的一個(gè)特定的位置， 他們可以通過對講機(jī)交談的事件僅當(dāng)他們之間的距離不超過25公里時(shí)發(fā)生(如下圖)，因此構(gòu)成該事件的點(diǎn)由滿足不等式25的數(shù)對組成，此不等式等價(jià)于x2y2625，右圖中的方形區(qū)域代表基本事件組，陰影部分代表所求事件，方形區(qū)域的面積為1 200平方公里，而事件的面積為()(25)2，于是有P0.41.【點(diǎn)撥】解決此類問題，應(yīng)先根據(jù)題意確定該實(shí)驗(yàn)為幾何概型，然后求出事件A和基本事件的幾何度量，借助幾何概型的概率公式求出.【變式訓(xùn)練2】如圖，以正方形ABCD的邊長為直徑作半圓，重疊部分為花瓣.現(xiàn)在向該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地投擲一飛鏢，求飛鏢落在花瓣內(nèi)的概率.【解析】飛鏢落在正方形區(qū)域內(nèi)的機(jī)會是均等的，符合幾何概型條件.記飛鏢落在花瓣內(nèi)為事件A，設(shè)正方形邊長為2r，則P(A).所以，飛鏢落在花瓣內(nèi)的概率為.題型三體積問題【例3】 在線段0,1上任意投三個(gè)點(diǎn)，設(shè)O至三點(diǎn)的三線段長為x、y、z，研究方法表明：x，y，z能構(gòu)成三角形只要點(diǎn)(x，y，z)落在棱長為1的正方體T的內(nèi)部由ADC，ADB，BDC，AOC，AOB，BOC所圍成的區(qū)域G中(如圖)，則x，y，z能構(gòu)成三角形與不能構(gòu)成三角形這兩個(gè)事件中哪一個(gè)事件的概率大？【解析】V(T)1，V(G)13313，所以P.由此得，能與不能構(gòu)成三角形兩事件的概率一樣大.【點(diǎn)撥】因?yàn)槿我馔兜娜c(diǎn)x，y，z是隨機(jī)的，所以使得能構(gòu)成三角形只與能構(gòu)成三角形的區(qū)域及基本事件的區(qū)域有關(guān).【變式訓(xùn)練3】已知正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球O，則在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)任取點(diǎn)M，點(diǎn)M在球O內(nèi)的概率是()A.B.C.D.【解析】設(shè)正方體的棱長為a，則點(diǎn)M在球O內(nèi)的概率P，選C.總結(jié)提高1.幾何概型是一種概率模型，它與古典概型的區(qū)別是試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè).其特點(diǎn)是在一個(gè)區(qū)域內(nèi)均勻分布，概率大小與隨機(jī)事件所在區(qū)域的形狀和位置無關(guān)，只與該區(qū)域的大小有關(guān).如果隨機(jī)事件所在區(qū)域是一個(gè)單點(diǎn)，其測度為0，則它出現(xiàn)的概率為0，但它不是不可能事件. 如果隨機(jī)事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個(gè)單點(diǎn)， 其測度為1，則它出現(xiàn)的概率為1，但它不是必然事件.2.若試驗(yàn)的全部結(jié)果是一個(gè)包含無限個(gè)點(diǎn)的區(qū)域(長度，面積，體積)，一個(gè)基本事件是區(qū)域中的一個(gè)點(diǎn).此時(shí)用點(diǎn)數(shù)度量事件A包含的基本事件的多少就毫無意義.“等可能性”可以理解成“對任意兩個(gè)區(qū)域，當(dāng)它們的測度(長度，面積，體積，)相等時(shí)，事件A對應(yīng)點(diǎn)落在這兩區(qū)域上的概率相等，而與形狀和位置都無關(guān)”.3.幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點(diǎn)的試驗(yàn)，如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有無限多個(gè)等可能的基本結(jié)果，每個(gè)基本結(jié)果可以用平面(或直線、空間)中的一點(diǎn)來表示，而所有基本結(jié)果對應(yīng)于一個(gè)區(qū)域，這時(shí)，與試驗(yàn)有關(guān)的問題即可利用幾何概型來解決.12.7條件概率與事件的獨(dú)立性典例精析題型一條件概率的求法 【例1】一張儲蓄卡的密碼共6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從09中任選一個(gè).某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：(1)任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對的概率；(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率.【解析】設(shè)第i次按對密碼為事件Ai(i1,2)，則AA1(A2)表示不超過2次就按對密碼.(1)因?yàn)槭录嗀1與事件A2互斥，由概率的加法公式得P(A)P(A1)P(A2).(2)用B表示最后一位是偶數(shù)的事件，則P(A|B)P(A1|B)P(A2|B).【點(diǎn)撥】此類問題解題時(shí)應(yīng)注意著重分析事件間的關(guān)系，辨析所求概率是哪一事件的概率，再運(yùn)用相應(yīng)的公式求解.【變式訓(xùn)練1】設(shè)某種動(dòng)物從出生算起活到20歲以上的概率為0.8，活到25歲以上的概率為0.4.現(xiàn)有一只20歲的這種動(dòng)物，問它能活到25歲以上的概率是.【解析】設(shè)此種動(dòng)物活到20歲為事件A，活到25歲為事件B，所求概率為P(B|A)， 由于BA，則P(AB)P(B)，所以P(B|A).題型二相互獨(dú)立事件的概率【例2】三人獨(dú)立破譯同一份密碼，已知三人各自破譯出密碼的概率分別為，且他們是否破譯出密碼互不影響.(1)求恰有二人破譯出密碼的概率；(2)“密碼被破譯”與“密碼未被破譯”的概率哪個(gè)大？說明理由.【解析】(1)記三人各自破譯出密碼分別為事件A，B，C，依題意知A，B，C相互獨(dú)立，記事件D：恰有二人破譯密碼，則P(D)P(AB)P(AC)P(BC)(1)(1)(1).(2)記事件E：密碼被破譯，：密碼未被破譯，則P()P()(1)(1)(1)，所以P(E)1P()，所以P(E)P().故密碼被破譯的概率大.【點(diǎn)撥】解決事件的概率問題的一般步驟：記取事件；揭示事件的關(guān)系；計(jì)算事件的概率.【變式訓(xùn)練2】甲、乙、丙三個(gè)口袋內(nèi)都分別裝有6個(gè)只有顏色不相同的球，并且每個(gè)口袋內(nèi)的6個(gè)球均有1個(gè)紅球，2個(gè)黑球，3個(gè)無色透明的球，現(xiàn)從甲、乙、丙三個(gè)口袋中依次隨機(jī)各摸出1個(gè)球，求恰好摸出紅球、黑球和無色球各1個(gè)的概率.【解析】由于各個(gè)袋中球的情況一樣，而且從每一個(gè)袋中摸出紅球、黑球、無色球的概率均分別為，可得PA.題型三綜合問題【例3】某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案.方案一：三門課程中至少有兩門及格為考試通過；方案二：在三門課程中隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格為考試通過.假設(shè)某應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是a，b，c，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.(1)分別求該應(yīng)聘者在方案一和方案二下考試通過的概率；(2)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小，并說明理由.【解析】記該應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的事件分別為A，B，C，則P(A)a，P(B)b，P(C)c.(1)應(yīng)聘者在方案一下考試通過的概率P1P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)ab(1c)bc(1a)ac(1b)abcabbcca2abc.應(yīng)聘者在方案二下考試通過的概率P2P(AB)P(BC)P(AC)(abbcca).(2)由a，b，c0,1，則P1P2(abbcca)2abcab(1c)bc(1a)ca(1b)0，故P1P2，即采用第一種方案，該應(yīng)聘者考試通過的概率較大.【點(diǎn)撥】本題首先以相互獨(dú)立事件為背景，考查兩種方案的概率，然后比較概率的大小，要求運(yùn)用a，b，c0,1這一隱含條件.【變式訓(xùn)練3】甲，乙，丙三人分別獨(dú)立地進(jìn)行某項(xiàng)體能測試，已知甲能通過測試的概率是，甲，乙，丙三人都能通過測試的概率是，甲，乙，丙三人都不能通過測試的概率是，且乙通過的概率比丙大.(1)求乙，丙兩人各自通過測試的概率分別是多少？(2)測試結(jié)束后，最容易出現(xiàn)幾人通過的情況？【解析】(1)設(shè)乙、丙兩人各自通過的概率分別為x，y，依題意得即或 (舍去)，所以乙、丙兩人各自通過的概率分別為，.(2)因?yàn)槿硕疾荒芡ㄟ^測試的概率為P0，三人都能通過測試的概率為P3，三人中恰有一人通過測試的概率：P1(1)(1)(1)(1)(1)(1)，三人恰有兩人通過測試的概率：P21(P0P1P3)，所以測試結(jié)束后，最容易出現(xiàn)兩人通過的情況.總結(jié)提高1.互斥事件、對立事件、相互獨(dú)立事件的區(qū)別：對于事件A、B，在一次試驗(yàn)中，A、B如果不能同時(shí)發(fā)生，則稱A、B互斥.一次試驗(yàn)中，如果A、B互斥且A、B中必有一個(gè)發(fā)生，則稱A、B對立.顯然，A為必然事件，A、B互斥則不能同時(shí)發(fā)生，但可能同時(shí)不發(fā)生.兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對另一事件的發(fā)生的概率沒有影響.事實(shí)上：A、B互斥，則P(AB)0；A、B對立，則P(AB)0且P(A)P(B)1；A、B相互獨(dú)立，則P(AB)P(A)P(B).它們是不相同的.2.由于當(dāng)事件A、B相互獨(dú)立時(shí)，P(AB)P(A)P(B)，因此式子1P(A)P(B)表示相互獨(dú)立事件A、B中至少有一個(gè)不發(fā)生的概率.對于n個(gè)隨機(jī)事件A1，A2，An，有P(A1A2An)1P()，此稱為概率的和與積的互補(bǔ)公式.12.8離散型隨機(jī)變量及其分布列典例精析題型一離散型隨機(jī)變量的分布列【例1】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.30.3求：(1)2X1的分布列；(2)|X1|的分布列.【解析】首先列表如下：X012342X113579|X1|10123從而由上表得兩個(gè)分布列如下：2X1的分布列：2X113579P0.20.10.10.30.3|X1|的分布列：|X1|0123P0.10.30.30.3【點(diǎn)撥】由于X的不同的值，Yf(X)會取到相同的值，這時(shí)要考慮所有使f(X)Y成立的X1，X2，Xi的值，則P(Y)P(f(X)P(X1)P(X2)P(Xi)，在第(2)小題中充分體現(xiàn)了這一點(diǎn).【變式訓(xùn)練1】 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到過渡區(qū)，B肯定是受A感染的，對于C，因?yàn)殡y以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是，同樣也假定D受A、B、C感染的概率都為，在這種假定之下，B、C、D中受A感染的人數(shù)X就是一個(gè)隨機(jī)變量，寫出X分布列，并求均值.【解析】依題知X可取1、2、3，P(X1)1(1)(1)，P(X2)1(1)1(1)，P(X3)1，所以X的分布列為X123P均值E(X)123.題型二兩點(diǎn)分布【例2】在擲一枚圖釘?shù)碾S機(jī)試驗(yàn)中，令如果針尖向上的概率為p，試寫出隨機(jī)變量的分布列.【解析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，針尖向下的概率是1p.于是，隨機(jī)變量的分布列是01P1pp【點(diǎn)撥】本題將兩點(diǎn)分布與概率分布列的性質(zhì)相結(jié)合，加深了兩點(diǎn)分布的概念的理解.【變式訓(xùn)練2】