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此文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除天馬行空官方博客：/tmxk_docin ；QQ:1318241189；QQ群：175569632致 遠(yuǎn) 管 理 學(xué) 院 工 業(yè) 管 理 學(xué) 系課 程：實(shí) 驗(yàn) 設(shè) 計(jì)天馬行空官方博客：/tmxk_docin ；QQ:1318241189；QQ群：175569632參 考 資 料1. Douglas C. Montgomery, Design and Analysis of Experiments, 5th Edition, John Wiley & Sons, Inc.2. 黎正中 譯，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析，高立圖書有限公司。3. 白賜清 編著，工業(yè)實(shí)驗(yàn)計(jì)劃法，中華民國品質(zhì)學(xué)會(huì)發(fā)行。4. 吳玉印 著，新版實(shí)驗(yàn)計(jì)劃法，中興管理顧問發(fā)行。5. 陳耀茂 譯，田口實(shí)驗(yàn)計(jì)劃法，滄海書局。6. 吳柏林 著，現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)，五南圖書出版公司。7. 陳順宇、鄭碧娥 著，統(tǒng)計(jì)學(xué)，華泰書局。8. 王文中 著，Excel於資料分析與統(tǒng)計(jì)學(xué)上的應(yīng)用，博碩文化股份有限公司。授 課 目 錄第1章 簡 介第2章 簡單比較性的實(shí)驗(yàn)第3章 一因子實(shí)驗(yàn)：變異數(shù)分析第4章 隨機(jī)化集區(qū)，拉丁方陣，與相關(guān)設(shè)計(jì)第5章 因子設(shè)計(jì)簡介第6章 2k因子設(shè)計(jì)第7章 2k因子設(shè)計(jì)的集區(qū)劃分與交絡(luò)第8章 2水準(zhǔn)部份因子設(shè)計(jì)第9章 3水準(zhǔn)與混合水準(zhǔn)因子和部份因子設(shè)計(jì)第10章 配適迴歸模式第11章 反應(yīng)曲線法與其他製程最佳化法第12章 有隨機(jī)因子之因子實(shí)驗(yàn)第13章 套層及分裂圖設(shè)計(jì)第14章 其他設(shè)計(jì)與分析題目第7章 2k因子設(shè)計(jì)的集區(qū)劃分與交絡(luò)Chap 7. Blocking and Confounding in the 2k Factorial Design7-1 簡介 (Introduction)有多種情況實(shí)驗(yàn)者無法在均一的條件下進(jìn)行2k因子實(shí)驗(yàn)的所有試驗(yàn)，如原料不足、或故意改變實(shí)驗(yàn)條件，以確保處理於實(shí)際上可能遇到的狀況能一樣地有效(i.e., 即穩(wěn)健的)。此種情況用到的設(shè)計(jì)技巧是集區(qū)劃分(Blocking)，本章集中於2k因子設(shè)計(jì)的一些特殊的集區(qū)劃分技巧。7-2 集區(qū)劃分一個(gè)反覆的2k因子設(shè)計(jì)(Blocking a Replicated 2k Factorial Design)假設(shè)2k因子設(shè)計(jì)反覆n次，此情況與第5章討論的完全相同，每一種不同的條件就是一個(gè)集區(qū)，而每個(gè)反覆就在集區(qū)內(nèi)，在各個(gè)集區(qū)(或反覆)的試驗(yàn)以隨機(jī)順序進(jìn)行。*範(fàn)例 7-115% (低)a = 10036+32+32B因子A因子1 lb(低)25% (高)2 lb(高)ab = 9031+30+29b = 6018+19+23(1) = 8028+25+27考慮在6-2節(jié)所描述一反應(yīng)濃度(Reaction Concentration)和觸媒量(Catalyst)對(duì)化學(xué)反應(yīng)過(製)程合格率效果的研究。假設(shè)單一批原料只容納4次試驗(yàn)，所以，需要3批原料來進(jìn)行3次反覆，其中每一原料批對(duì)應(yīng)到一個(gè)集區(qū)， 集區(qū)1集區(qū)2(1)=28a=36b=18ab=31集區(qū)3(1)=27a=32b=23ab=29(1)=25a=32b=19ab=30B1=113B2=106B3=111SSblock= Bi2/4 - y2/12 = 6.50由ANOVA分析，集區(qū)效果不顯著。*7-3 2k因子設(shè)計(jì)的交絡(luò)(Confounding in the 2k Factorial Design)許多情況是在一個(gè)集區(qū)裡進(jìn)行一次完整的2k因子設(shè)計(jì)是不可能的。交絡(luò)(Confounding)是一個(gè)設(shè)計(jì)技巧，可安排一個(gè)完整的因子實(shí)驗(yàn)到數(shù)個(gè)集區(qū)，其中集區(qū)的大小是小於一次反覆中處理組合的個(gè)數(shù)，此技巧造成某些處理效果(通常指高階交互作用)的資訊成為無法區(qū)分於(In-distinguishable from)或交絡(luò)於(Confounded with)集區(qū)效果。本章集中於2k因子設(shè)計(jì)的交絡(luò)系統(tǒng)。7-4 2k因子設(shè)計(jì)交絡(luò)於2個(gè)集區(qū)(Confounding the 2k Factorial Design in Two Blocks)假設(shè)進(jìn)行一個(gè)未反覆的2k因子設(shè)計(jì)，22= 4種處理組合均需要一些原料，而每一批原料只夠試驗(yàn)2個(gè)處理組合，因此共需2批原料，倘將原料批視成集區(qū)，則須指訂4種處理組合中的2種到每一個(gè)集區(qū)裡。=集區(qū)1試驗(yàn)A+B-+-=集區(qū)2試驗(yàn)集區(qū)1集區(qū)2(1)abab(a) 幾何上視之(b) 置於2集區(qū)裡的4個(gè)試驗(yàn)圖7-1 2集區(qū)之2k因子設(shè)計(jì)上圖(a)顯示相對(duì)對(duì)角的處理組合被安置到不同的集區(qū)，圖(b)視出集區(qū)1包含處理組合(1)與ab、集區(qū)2包含處理組合a與b，當(dāng)然，在集區(qū)裡處理組合的試驗(yàn)順序是隨機(jī)決定的，且隨機(jī)決定集區(qū)順序。則A與B的主效果(與似無發(fā)生集區(qū)般)為，A = ab+a-b-(1)/2B = ab+b-a-(1)/2A與B均無受到集區(qū)劃分的影響，因?yàn)樯鲜街懈饔衼碜悦總€(gè)集區(qū)的一個(gè)正的與一個(gè)負(fù)的處理組合，亦即，集區(qū)1與集區(qū)2之間的任何差異均被抵消矣。續(xù)考慮AB交互作用效果AB = ab+(1)-a-b/2因2個(gè)正號(hào)的處理組合ab與(1)在集區(qū)1裡、而2個(gè)負(fù)號(hào)的處理組合a與b在集區(qū)2裡，集區(qū)效果與AB交互作用效果是完全相等的，亦即，AB是交絡(luò)於集區(qū)。此理由可從2k設(shè)計(jì)的正負(fù)符號(hào)表明顯視出，處理組合因子效果IABAB(1)+-+a+-b+-+-ab+這作法可用來交絡(luò)任何效果(A，B或AB)於集區(qū)。如(1)與b指訂到集區(qū)1及a與ab指訂到集區(qū)2，則A的主效果將被交絡(luò)於集區(qū)。一般是將最高階交互作用效果交絡(luò)於集區(qū)。上述作法可用來交絡(luò)任何2k設(shè)計(jì)於2個(gè)集區(qū)。建構(gòu)集區(qū)的其他方法(Other Methods for Constructing the Blocks)此為利用線性組合，L = a1x1+ a2x2 + + akxk(7-1)其中xi是出現(xiàn)在處理組合中第i個(gè)因子的水準(zhǔn)，與ai是要被交絡(luò)的效果中第i個(gè)因子的冪次(Exponent)。對(duì)2k系統(tǒng)，ai = 0或1，及xi= 0 (低水準(zhǔn))或xi= 1 (高水準(zhǔn))。式(7-1)稱之為定義對(duì)比(Defining Contrast)，會(huì)產(chǎn)生相同L(Mod 2)的可能值只有0與1，如此指訂2k個(gè)處理組合正好到2個(gè)集區(qū)裡。茲考慮23設(shè)計(jì)而且交絡(luò)ABC於集區(qū)，在此x1對(duì)應(yīng)A、x2對(duì)應(yīng)B、x3對(duì)應(yīng)C，與a1 = a2 = a3 =1，因此，對(duì)應(yīng)於ABC的定義對(duì)比為，L = x1+ x2 + x3 因此處理組合(1)在(0,1)的符號(hào)表示下為000；所以，L = 1(0)+1(0)+1(0)= 0 = 0 (Mod 2)同理，處理組合a為100；所以，L = 1(1)+1(0)+1(0)= 1 = 1 (Mod 2)故(1)與a將分屬不同的集區(qū)。對(duì)於其他的處理組合，b:L = 1(0)+1(1)+1(0)= 1= 1 (Mod 2)ab:L = 1(1)+1(1)+1(0)= 2 = 0 (Mod 2)c: L = 1(0)+1(0)+1(1)= 1= 1 (Mod 2)ac: L = 1(1)+1(0)+1(1)= 2 = 0 (Mod 2)bc: L = 1(0)+1(1)+1(1)= 2 = 0 (Mod 2)abc: L = 1(1)+1(1)+1(1)= 3 = 1 (Mod 2)所以，(1), ab, ac, bc屬於集區(qū)1；a, b, c, abc屬於集區(qū)2，這與用正負(fù)符號(hào)表所產(chǎn)生的設(shè)計(jì)完全相同。另一種建構(gòu)這些設(shè)計(jì)的方法，包含處理組合(1)的集區(qū)稱之為主集區(qū)(Principal Block)，在此集區(qū)裡的處理組合有一個(gè)很有用的群理論性質(zhì)(Group-Theoretic Property)，即它們以乘法Mod 2的運(yùn)算而形成之一”群”(Group)，此意謂著主集區(qū)內(nèi)的任何元素除(1)外可由主集區(qū)內(nèi)任2個(gè)元素(處理組合)相乘法的Mod 2得到，如ABC交絡(luò)之23設(shè)計(jì)在2個(gè)集區(qū)的主集區(qū)，ab ac = a2bc = bc；ab bc = ab2c = ac； ac bc = abc2 = ab因此主集區(qū)的元素為(1), ab, ac, bc。而另一集區(qū)，可由一個(gè)非主集區(qū)的元素(處理組合)乘以主集區(qū)的每一個(gè)元素Mod 2產(chǎn)生。其中，b是在另一集區(qū)裡，故另一集區(qū)的元素為，b (1) = b；b ab = ab2 = a；b ac = abc；b bc = b2 c = c其結(jié)果與先前得到的一致。誤差的估計(jì)(Estimation of Error)當(dāng)因子數(shù)目很小時(shí)(2k，LevelFactor)，如k = 2或3，通常有必要反覆實(shí)驗(yàn)以獲得一個(gè)誤差估計(jì)值。如23因子實(shí)驗(yàn)必須以2個(gè)集區(qū)來進(jìn)行且ABC被交絡(luò)，實(shí)驗(yàn)者決定反覆設(shè)計(jì)4次，如下圖，集區(qū)1集區(qū)2(1)acabbcabcabc反覆1集區(qū)1集區(qū)2(1)acabbcabcabc反覆2集區(qū)1集區(qū)2(1)acabbcabcabc反覆3集區(qū)1集區(qū)2(1)acabbcabcabc反覆4圖7-3 反覆4次ABC被交絡(luò)之23設(shè)計(jì)此設(shè)計(jì)總共32個(gè)觀測值和31個(gè)自由度，有8個(gè)集區(qū)即7個(gè)自由度，此7個(gè)自由度分解為FA= FB= FC= FAB= FBC= FAC= FABC= 1，而誤差平方為反覆與因子效果(A, B, C, AB, AC, BC)之二者交互作用?？紤]視交互作用為零且將其均方作為誤差估計(jì)值的作法是成立的，此均方誤差可以檢定主效果與2-因子交互作用效果。ANOVA-反覆4次且交絡(luò)ABC之23設(shè)計(jì) 變?cè)醋杂啥确锤?集區(qū)(ABC)1ABC的誤差(反覆集區(qū))3A, B, C, AB, AC, BC各1誤差(反覆效果)18總和31倘實(shí)驗(yàn)資源允許反覆的交絡(luò)設(shè)計(jì)，較佳方式是稍微以不同方式來設(shè)計(jì)各個(gè)反覆的集區(qū)，此方式包括在每個(gè)反覆中交絡(luò)不同的效果，使得所有的效果都能有一些資訊，此法稱之為部分交絡(luò)(Partial Confounding)。倘k 不算太小，即k 4，且只一次反覆時(shí)，實(shí)驗(yàn)者常假設(shè)高階交互作用效果是可忽略的，並將其平和合併為誤差。範(fàn)例7-2回顧再續(xù)範(fàn)例6-2，一個(gè)化學(xué)產(chǎn)品於一壓力槽內(nèi)生產(chǎn)，在實(shí)驗(yàn)工廠進(jìn)行因子實(shí)驗(yàn)來研究產(chǎn)品的過濾比率(Filtration Rate)，4個(gè)因子為溫度(A)、壓力(B)、甲醛濃度(C)、與攪拌速度(D)，各因子均有2水準(zhǔn)，單次反覆。有興趣於極大化過濾比率。用此實(shí)驗(yàn)來說明一個(gè)未反覆設(shè)計(jì)集區(qū)劃分與交絡(luò)的概念，假設(shè)24 = 16種處理組合無法利用一批原料進(jìn)行所有的試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)者由一批原料可以試驗(yàn)8個(gè)處理組合，所以一個(gè)24 交絡(luò)於2個(gè)集區(qū)的設(shè)計(jì)是適當(dāng)?shù)?，且交絡(luò)最高階交互作用效果(ABCD)於集區(qū)。-+DABC集區(qū)1集區(qū)2(1)=25ab=45ac=40bc=60ad=80bd=25cd=55abcd=76a=71b=48c=68d=43abc=65bcd=70acd=86abd=1044*假設(shè)二批原料中有一批的品質(zhì)低劣，造成所有的反應(yīng)值均比用另一批原料所得值低20，即原始反應(yīng)值減去20，低劣品質(zhì)原料是集區(qū)1與良好品質(zhì)原料批為集區(qū)2。計(jì)算結(jié)果， 4個(gè)主效果、6個(gè)2-因子交互作用效果、4個(gè)3-因子交互作用效果的估計(jì)值均與無集區(qū)效果的例6-2所得之效果估計(jì)值完全相同。當(dāng)劃出這些效果估計(jì)值的常態(tài)機(jī)率圖時(shí)，因子A、C、D與AC、AD交互作用為顯著重要效果。 ABCD交互作用效果的估計(jì)值原為1.375，但在此實(shí)驗(yàn)其估計(jì)值為-18.625，因ABCD交絡(luò)於集區(qū)，ABCD交互作用效果的估計(jì)值是原1.375加上區(qū)集效果(-20)，即ABCD = 1.375+(-20)= -18.625。集區(qū)效果亦可由二個(gè)集區(qū)平均反應(yīng)差得之，即集區(qū)效果 = =406/8 555/8 = -18.625所以，此效果真正估計(jì)= 集區(qū) + ABCD 此實(shí)驗(yàn)倘非以集區(qū)方式進(jìn)行，且前8次試驗(yàn)均減去20，則結(jié)果可能會(huì)非常不同。7-5 2k因子設(shè)計(jì)交絡(luò)於4個(gè)集區(qū)(Confounding the 2k Factorial Design in Four Blocks)建構(gòu)一個(gè)交絡(luò)於4個(gè)集區(qū)而每個(gè)集區(qū)有2k-2個(gè)觀測值的2k因子設(shè)計(jì)是有可能的，這種設(shè)計(jì)對(duì)於因子個(gè)數(shù)k 4而集區(qū)大小卻相當(dāng)小時(shí)特別有效。茲考慮25設(shè)計(jì)，如每個(gè)集區(qū)只能容納8次試驗(yàn)，則需要4個(gè)集區(qū)，選出2個(gè)效果交絡(luò)於集區(qū)，如ADE與BCE，此二個(gè)效果所對(duì)應(yīng)之定義對(duì)比為，L1 = x1+ x4 + x5 L2 = x2+ x3 + x5 則每一個(gè)處理組合會(huì)產(chǎn)生一個(gè)L1 (Mod 2)與L2 (Mod 2)的特定成對(duì)值，即(L1 , L2)= (0, 0), (0, 1), (1, 0),或(1, 1)，產(chǎn)生相同的(L1 , L2)值的處理組合將被指訂至同一集區(qū)，如，L1 = 0, L2= 0 (1), ad, bc, abcd, ab, ace, cde, bde L1 = 1, L2= 0 a, d, abc, bcd, be, abde, ce, acde L1 = 0, L2= 1 b, abd, c, acd, abce, ae, bcde, deL1 = 1, L2= 1 e, ade, bce, ab, abcde, bd, ac, cdL1 = 0L2 = 0(1) abcad acebc cdeabcd bdeabed abdeabc ce bcd acdeBlock 1L1 = 1L2 = 0Block 2L1 = 1L2 = 1b abceabd aec bcdeacd dee abcdeade bdbce ac ab cdBlock 4L1 = 0L2 = 1Block 3圖7-5 交絡(luò)ADE, BCE與ABCD之4個(gè)集區(qū)之25設(shè)計(jì)仔細(xì)思量，除了ADE與BCE外，尚有另一個(gè)效果被集區(qū)交絡(luò)，因4個(gè)集區(qū)有3個(gè)自由度，而ADE與BCE各有1個(gè)自由度，明顯地另有一個(gè)1個(gè)自由度的效果亦被交絡(luò)矣，此即ADE與BCE的廣義交互作用(Generalized Interaction)，其定義為ADE與BCE的乘積Mod 2，因此，ADE與BCE的廣義交互作用為(ADE)(BCE) = ABCDE2 = ABCD ，且亦交絡(luò)於集區(qū)。注意，對(duì)某個(gè)特定集區(qū)裡的任何2個(gè)效果的符號(hào)相乘(e.g., ADE與BCE)帶來該集區(qū)另一個(gè)效果的符號(hào)(即ABCD)。因此，ADE，BCE與ABCD都是交絡(luò)於集區(qū)。由25設(shè)計(jì)的正負(fù)符號(hào)，可知處理組合被指派至集區(qū)如下處理組合在ADE的符號(hào)BCE的符號(hào)ABCD的符號(hào)集區(qū)1-+集區(qū)2+-集區(qū)3-+-集區(qū)4+在上節(jié)7-4中提及之主集區(qū)的群理論性質(zhì)仍成立，主集區(qū)裡的2個(gè)處理組合的乘積產(chǎn)生主集區(qū)裡的另一個(gè)元素，亦即，如，ad bc = abcd；abe bde = ab2de2 = ad要建構(gòu)另一集區(qū)，則選一個(gè)不在主集區(qū)裡之處理組合(如b)與主集區(qū)裡的處理組合乘以b，則，b (1) = b；b ad = abd； b bc = c；b abcd = acd如此會(huì)產(chǎn)生集區(qū)3裡之8個(gè)處理組合。實(shí)務(wù)上，主集區(qū)可以從定義對(duì)比與群理論性質(zhì)得到，而其他集區(qū)之處理組合由上述方法決定。建構(gòu)一個(gè)4集區(qū)的2k設(shè)計(jì)的一般步驟： 選擇2效果與集區(qū)交絡(luò)，自然會(huì)有第3個(gè)效果(即是前2個(gè)的廣義交互作用)與集區(qū)交絡(luò)， 利用2個(gè)定義對(duì)比(L1 , L2)與主集區(qū)的群理論性質(zhì)來建構(gòu)所要的設(shè)計(jì)， 在選擇交絡(luò)於集區(qū)之效果時(shí)務(wù)必謹(jǐn)慎，以免有興趣的效果被交絡(luò)。犧牲3因子交互作用的資訊比犧牲2因子交互作用更合意(ADE 與BCE ABCD；ABCDE與ABD CE)7-6 2k因子設(shè)計(jì)交絡(luò)於2p個(gè)集區(qū)(Confounding the 2k Factorial Design in 2p Blocks)上述方法可擴(kuò)至建構(gòu)一個(gè)交絡(luò)於2p( p k )個(gè)集區(qū)，而其中每個(gè)集區(qū)恰有2k-p個(gè)處理組合的2k因子設(shè)計(jì)，實(shí)驗(yàn)者選出p個(gè)獨(dú)立要交絡(luò)之效果，此處獨(dú)立意指所選出的效果非其中任2個(gè)效果之廣義交互作用，這些集區(qū)可以利用所對(duì)應(yīng)的p個(gè)定義對(duì)比產(chǎn)生。另外，恰有2p-p-1個(gè)其他效果亦被交絡(luò)，即初選之p個(gè)獨(dú)立效果的廣義交互作用，當(dāng)然，選出p個(gè)獨(dú)立交絡(luò)效果時(shí)須謹(jǐn)慎，以免一些有興趣之效果被交絡(luò)矣。這些設(shè)計(jì)之統(tǒng)計(jì)分析，即所有效果平方和的計(jì)算如無集區(qū)劃分般，而集區(qū)平方和則為被交絡(luò)效果平方和之和。假設(shè)建構(gòu)一個(gè)26設(shè)計(jì)而交絡(luò)在23 = 8個(gè)集區(qū)，且每個(gè)集區(qū)有8個(gè)試驗(yàn)，茲選ABEF, ABCD, 與ACE作為p = 3個(gè)獨(dú)立將被集區(qū)交絡(luò)之效果，同時(shí)亦有2p-p-1=23-3-1=4效果被交絡(luò)，即這些為3個(gè)(ABEF, ABCD, 與ACE)之廣義交互作用，則為，(ABEF)(ABCD)= A2B2CDEF= CDEF(ABEF)(ACE)= A2BCE2F = BCF(ABCD)(ACE) =A2BC2DE = BDE(ABEF)(ABCD)(ACE)=A3B2CDE2F = ADF7-7 部份交絡(luò)(Partial Confounding)除非實(shí)驗(yàn)者有一個(gè)誤差的事先估計(jì)值，或假設(shè)某些交互作用可忽略，否則必須反覆設(shè)計(jì)以得到一個(gè)誤差的估計(jì)值，如23因子實(shí)驗(yàn)必須以2個(gè)集區(qū)來進(jìn)行且ABC被交絡(luò)，實(shí)驗(yàn)者決定反覆設(shè)計(jì)4次，如下圖，集區(qū)1集區(qū)2(1)acabbcabcabc反覆1集區(qū)1集區(qū)2(1)acabbcabcabc反覆2集區(qū)1集區(qū)2(1)acabbcabcabc反覆3集區(qū)1集區(qū)2(1)acabbcabcabc反覆4圖7-3 反覆4次的ABC被交絡(luò)之23設(shè)計(jì)由上圖(7-3)與其ANOVA表知，交互作用ABC的資訊是完全喪失，因每次反覆中ABC均與集區(qū)交絡(luò)，此稱之為完全交絡(luò)(Completely Confounded)。交絡(luò)ABC(1)abacbcabcabc反覆1交絡(luò)AB(1)cababcabacbc反覆2